2024级高一5月联考数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知a为实数,若复数为纯虚数,则=( )
A. B. C. D.
2. 设是三个不同平面,且,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图所示,正方形的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
A. B. C. D.
4.在中,内角的对边分别为,已知,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
5. 已知为所在平面内的一点,为的中点,则( )
A. B. C. D.
6.若,则( )
A. B. C. D.
7.点在所在平面内,下列说法正确的是( )
A.若,则为锐角三角形 B.若点是的重心,则 + =
C.若,则
D.若为边长为2的正三角形,点在线段BC上运动,则
8.如图,底面是边长为2的正方形,半圆面底面,点为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时,二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
9. 已知向量,,下列说法正确的是( )
A. (+) B.
C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为
10. 若复数,则( )
A. B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足,则的最大值为
11. 如图,正方体的棱长为2,,分别是,的中点,点是底面内一动点,则下列结论正确的为( )
A. 存在点,使得平面
B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线BA1与EF所成的角的大小为
D. 若//平面,则点P的轨迹的长度为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知圆锥底面半径为,侧面展开图是圆心角为的扇形,则此圆锥的母线长为 .
13.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.为了估算圣.索菲亚教堂的高度,某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高约为36m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°,在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°,则可估算圣.索菲亚教堂的高度CD约为 m.
14. 三棱锥的顶点都在球的球面上,且,若三棱锥的体积最大值为,则球的表面积为_____.
四、解答题:本题共6小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在平面直角坐标系中,已知,,.
(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值;
(2)若,以的边AC所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体,求该几何体的表面积.
16.(15分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,E,F分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
17.(15分)在△中,内角的对边分别为.
(1)求;
(2)若△的面积为,求边上的中线的长.
18. (17分)已知函数,图象的相邻对称轴之间的距离为.(1)求的解析式和函数单调递增区间;;
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位得的图象,若关于的方程在上只有一个解,求实数的取值范围.
19. (17分)如图,已知三棱台中,平面平面,是以为直角顶点的等腰直角三角形,且.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的大小;
高一5月数学试题答案
一、1. A 2. B 3. B 4.D 5. C 6.C 7.B 8.D 9. AD 10. BCD 11. AC
12. 13. 54 14.
15求证:
16.解析:证明:(1)如图,取中点,连接.分别是和的中点,,且,∵四边形为矩形,且E为AD的中点,,,且,∴四边形为平行四边形,又平面,GD平面,∴平面.
(2)∵底面为矩形,∴.∵平面平面,平面平面,
∴AB⊥平面.而平面, ,又,,平面,
平面,而平面,∴平面平面.
17.【详解】(1)因为,由正弦定理得,因为,由余弦定理得:,又,所以.
(2)由,所以,由(1),所以,
因为为边上的中线,所以,则
,即.故边上的中线的长为.
18. (1),,
,,因为图象的相邻对称轴之间的距离为,所以的最小正周期为,
所以,得,所以.令.
则,所以的单调递增区间为;【2】由(1)知,将图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,再向左平移个单位得的图象.令,,则,所以,因为在上只有一个解,由的图象(如图)可得,或,所以的取值范围是.
19.【1】在三棱台中,,,在等腰梯形中,,由余弦定理得:,
则,即,而平面平面,平面平面平面,所以平面.
(2)过,垂足为,因为平面,又平面,所以,
又,,平面,所以平面,平面,得 又,平面,则平面,为与平面所在角,,因此,所以与平面所成角为.