第六章图形的相似同步强化练习（含解析）

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第六章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H．若⊙O的半径为4，则MA―MH的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．如图，等边中，为边中点，于，交于点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．能判定与相似的条件是（ ）
A． B．，且
C．且 D．，且
5．在下列图形中，不是位似图形的是(　　)
A． B． C． D．
6．在同一时刻的阳光下，身高1.6 m的小强的影长是1.2 m，旗杆的影长是15 m，则旗杆的高为（　　）
A．16 m B．18 m C．20 m D．22 m
7．下列实际生活事例，形成位似关系的是（ ）
①放电影时，胶片和屏幕上的画面；②放映幻灯片时，幻灯片上的图片与屏幕上的图形；③照相时人物的影像与被缩小在底片上的影像．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．若3a=2b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知直线，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图与是位似图形，位似比是，已知，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．1
11．下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
12．下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
二、填空题
13．若各边分别为的两边为，，则当 时，．
14．在△ABC中， AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，位似比，若AB＝1.5，则DE＝ ．
16．巡警小王在犯罪现场发现一只脚印，他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照，照片送到刑事科，他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5 cm和3.1 cm，一张百元钞票的实际长度大约为15.5 cm，请问脚印的实际长度为 cm.
17．在平面直角坐标系中，与的相似比是，并且是关于原点的位似图形，若点B的坐标为，则其对应点的坐标是 ．
三、解答题
18．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足，求的值．
19．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、，且．
(1)证明：；
(2)若，，当点D在上运动时（点D不与B、C重合），且是等腰三角形，求此时的长．
20．如图所示是由边长为的个正三角形组成的正六边形网格，
①请在左图中画一个与已知相似但不全等的格点三角形；
②请写出该正六边形网格中所有格点直角三角形的斜边的长________．
21．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
22．如图，在中，，，D是边上的动点，E，F分别是，边上的点．
(1)若，且，求的度数；
(2)若，不改变α的值，以D为旋转中心，把按顺时针或逆时针方向适当转动后，和始终保持相似，求α的值．
23．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．
24．如图，BC与DF交于点，求证：∽．
《第六章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C D C D A C A
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
2．D
【分析】如图，作直径AB，连接BM，得到△ABM∽△MAH，由得到，根据函数的性质求解最值即可．
【详解】解：如图，作直径AB，连接BM，
∴，
∵⊙O的半径为4，
∴，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴,
∴，
∵，
∴的最大值是2，
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，二次函数的最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．B
【分析】作AC边上的高BG，垂足为G，在等边三角形中，利用三线合一定理，结合DE∥BD，可求出AE与AC的关系，从而得出CE与AC的关系，那么再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求．
【详解】解：从B点作AC边上的高BG，交AC于G，
∵DE⊥AC于E
∴DE∥BG
又∵D为AB边中点
∴AE=GE
∵△ABC为等边三角形，且BG为高
∴AG=GC
∴4AE=AC，即CE=AC
∵EF∥AB
∴△EFC∽△ABC
又∵CE=AC
∴△EFC与△ABC的面积之比=（AC）2：AC2=9：16．
故选：B．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
4．C
【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【详解】解：Ａ．，
Ｂ．，且，
Ｄ．，且，
均不能判断与相似，故错误；
Ｃ．且，能判定与相似，本选项正确
故选：C．
【点睛】本题是相似三角形的判定的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般．
5．D
【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．
【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
6．C
【分析】根据成比例关系可知，人身高与人的影长之比等于旗杆长与旗杆的影长之比，代入数据即可得出答案．
【详解】解：设旗杆高度为x米，有1.6：1.2=x：15，
解得：x=20．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．
7．D
【分析】根据位似变换的概念进行判断即可．
【详解】①放电影时，胶片和屏幕上的画面，形成位似关系，
②放映幻灯片时，幻灯片上的图片与屏幕上的图形，形成位似关系，
③照相时人物的影像与被缩小在底片上的影像，形成位似关系，
故选D.
【点睛】本题考查了位似的相关知识，熟练掌握位似是相似的特殊形式和位似的概念是解题的关键
8．A
【详解】试题分析：根据题意可得：b=，则原式==－．
考点：分式的求值．
9．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
10．A
【详解】试题分析：位似图形就是特殊的相似图形，位似比就是相似比，根据位似图形的性质可知AB: DE =1:2，据此解得AB=2．
故选A．
考点：位似图形的性质．
11．C
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；
B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；
D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查了相似图形的定义，解题的关键是牢记相似多边形的定义，难度较小．
12．D
【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可．
【详解】解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键．
13．3
【分析】根据相似三角形的性质得到．
【详解】解：∵，
∴,
∴，
∴DF=3cm，
故答案为：3．
【点睛】重点考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
14．8或；
【分析】分类讨论：当，根据相似的性质得；当，根据相似的性质得，然后分别利用比例性质求解即可．
【详解】解：，
当，则，即，解得；
当，则，即，解得，
综上所述，的长为8或．
故答案为：8或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.
15．4.5
【分析】根据位似图形的性质得出AO,DO的长,进而得出, ,求出DE的长即可
【详解】∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DE＝3×1.5＝4.5．
故答案为4.5．
【点睛】此题考查坐标与图形性质和位似变换，解题关键在于得出AO,DO的长
16．25
【详解】试题分析：根据题意可知：，所以设脚印的实际长度为xcm，列方程求解即可．
解：设脚印的实际长度为xcm，
根据题意得：，
解得：x=25．
∴脚印的实际长度为25cm．
故答案为25．
考点：相似多边形的性质．
点评：此题考查了相似多边形的性质．注意抓住是解此题的关键．
17．或
【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把点横纵坐标分别乘以或得到其对应点的坐标即可．
【详解】解：∵与的相似比是，并且是关于原点的位似图形，而点B的坐标为，
其对应点的坐标是或，
即点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
18．（1），（2）15．
【分析】（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，代入即可求出的值；
（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，利用a+b+c＝27求出k的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，
；
（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，
∵a+b+c＝45，
∴4k+5k+6k＝45，
∴k＝3，
∴a＝12，b＝15，c＝18，
∴a﹣b+c＝12﹣15+18＝15．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝4k，b＝5k，c＝6k进而得出k的值是解题关键．
19．(1)详见解析
(2)当是等腰三角形时，的长为3或
【分析】(1)证明即可．
(2)利用分类思想，分三种情况计算求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
∵
∴
∴．
（2）
当时
∴
∵
∴
∴
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当时，如图1，
∴
∵
∴
∴AD平分
∴AD垂直平分BC
∴；
当时，如图2
∵，
∴∽
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
综上所述，当是等腰三角形时，BD的长为3或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20．①图详见解析； ②，，，
【分析】①根据相似图形即是由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．
②根据正六边形网格由边长为的个正三角形组成，即可求出所有格点直角三角形的斜边的长．
【详解】解：①所画图形如下所示：

②该正六边形网格中所有格点直角三角形如上图所示，共有四种情况，其斜边分别为：，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了相似变换，注意相似变换不改变角的大小、但是对应边都扩大（或缩小）相同的倍数．
21．
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知，．
由，得，
即．
∴．
开平方，得（舍去）．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
22．(1)
(2)为或时，和始终保持相似．
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的性质；
（1）先求解，再求解，可得，再结合相似三角形的性质可得答案；
（2）分两种情况讨论，由当时，由（1）可得到；当时，可得．可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴分两种情况讨论，
当时，由（1）得；
当时，
则，
∴，
∴．
即为或时，和始终保持相似．
23．（1）证明见试题解析；（2）4．
【分析】（1）由菱形的对角线平分一组对角，得出∠ABD=∠CBD，再由∠ABM=2∠BAM，得出∠ABD=∠BAM，即可得出结论．
（2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABM=2∠BAM，
∴∠ABD=∠BAM，
∴AG=BG；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△MBG，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴=2，
∴=4，
∵S△BMG=1，
∴S△ADG=4．
【点睛】考点：菱形的性质．
24．见解析
【分析】由三角形外角关系可得，，又已知，故可得到∠B=∠D，又因公共角∠A，故可证两三角形相似.
【详解】，
，
∴，
又是公共角，
∴∽．
【点睛】本题考查了运用两角对应相等判定两三角形形似的方法.
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