第七章锐角三角函数同步强化练习（含解析）

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第七章锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小诚在距离旗杆底部B点的A处测得旗杆顶部C的仰角为，则旗杆BC的高为（ ）
A． B． C． D．
3．一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（　　）
A．1：3 B．1： C．1： D．1：
4．某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（ ）
A．1000 m B．500 m C．500m D．m
5．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上．设，，当长度变化时，下列代数式的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某飞机在空中A点处测得飞行高度h＝1000m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC为( )
A．500m B．2000m C．1000m D．1000m
8．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图,某人在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i为1∶,点P,H,B,C,A在同一个平面上,点H,B,C在同一条直线上,且PH⊥HC．则A,B两点间的距离是(　　)
A．15米 B．20米 C．20米 D．10米
11．如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，连结、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中为直径，点为弧的中点，点在弧上，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B=　 　．
14．如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为，点的仰角为，点到建筑物的距离为米，则 米．

15．一架长的梯子靠在墙面上，梯子的底端B到墙角的距离为3，则梯子的坡度为
16．如图，在中，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ．
17．如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为 ．
三、解答题
18．如图所示，一测量员站在岸边的A处，刚好正对河岸另一边B处的一棵大树，这位测量员沿河岸向右走了50 m到达C处，在C处测得∠ACB＝38°，求河的宽度．(精确到0.01 m，tan 38°≈0.7813)
19．如图，在楼AB与楼CD之间有一旗杆EF，从AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到楼CD的底部D点，且俯角为45°，从楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到楼AB的G点，BG=1米，且俯角为30°，已知楼AB高20米，求旗杆EF的高度．（结果精确到1米）

20．如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2cm.
(1) 求⊙O的半径r；
(2) 求劣弧的长(结果保留).
21．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是弧AB上的两点，∠AOD＞∠AOC，
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
22．（1）如图（1），在Rt中，，，，求的度数．
（2）如图（2），AO是圆锥的高，OB是底面半径，，求的度数．
23．如图，在中，，，，点在上，且．求的长和的值．
24．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，坡CD的坡度i=1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）

《第七章锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B C D D D A B
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=，BC=1，
∴sinA=，
∴∠A=45°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．B
【分析】利用的正切求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
3．A
【详解】根据斜坡的长度和高度可以得出斜坡的水平距离为3米，则坡比=垂直高度：水平距离=1：3．
故选A．
4．B
【分析】根据坡度比可求出坡角，然后根据AE=1000m，解直角三角形，求出EF的值即可．
【详解】如图所示：
由题意得,AE=1000米,tanA=1:，
∴∠A=30°.
∴EF=AE sinA=1000×sin30°=1000×=500(m)
故选B.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键.
5．C
【分析】此题考查了锐角三角函数关系，画出图形根据锐角三角函数定义求解是解题关键．
根据题意画出图形，表示出的长，进而求出答案．
【详解】解：如图所示：

∵ ，
∴设，
则，
则，
故选C．
6．D
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，正切的定义；过点作于点，根据勾股定理求得，，根据正切的定义得出，进而根据矩形的性质可得，即可得出的关系，即可求解．
【详解】解∵四边形是矩形，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵在中，，，，
设，则
在中，，
在中，，
∴
∴
解得：：
∴，
∴
∴，
∴，
又∵
∴
∴
故选：D．
7．D
【分析】首先根据图示，可得∠B=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以tan30°即可求出BC的长．
【详解】解：∵从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，
∴∠B=∠α=30°，
在Rt△ABC中，BC===．
故选D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
8．D
【分析】根据网格的特点找到格点，使得，则，构造，即可求解．
【详解】如图，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，
．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
故选A．
10．B
【详解】根据题意得：∠APB=60° 15°=45°,∠PBH=60°，
∵PH⊥HC，PH=30米，
∴PB= ==20 (米)，
∵tan∠ABC==，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABP=180° ∠PBH ∠ABC=180° 60° 30°=90°，
∴∠PAB=∠APB=45°，
∴AB=PB=20(米).
即A. B两点间的距离是：20米．
故选：B.
11．D
【分析】连接，根据点，是以为直径的半圆的三等分点，可得,点是的二等分点，则垂直平分，得到,，根据的长为，可求得，根据,可求得结果．
【详解】解，如图示，连接，
点，是以为直径的半圆的三等分点，
∴,
∴点是的二等分点，
∴垂直平分，
∴,
又∵的长为，
设半径，则有，
∴，
∴,，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了不规则图形的面积计算，三角形的面积和扇形面积的计算，熟悉相关性质是解答本题的关键．
12．C
【分析】过C作直径CE，连接DE、CD，过C点作CF⊥AD于F，在Rt△CDE中，求得CD的长，在Rt△ACF中，求得CF、AF 的长，再在Rt△CDF中，求得DF的长，从而求得AD的长．
【详解】过C作直径CE，连接DE、CD，
∵CE为直径，= ，
∴∠CDE=90，∠CAD=∠E，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴OC⊥AB，即∠AOC=90，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC=，
过C点作CF⊥AD于F，
在Rt△ACF中，
∴，
∴CF=，
AF=，
在Rt△CDF中，CF，，
∴DF=，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，作出辅助线利用圆周角定理得到是解题的关键．
13．90°
【分析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：sinA=，tanB=，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠A+∠B=90°
故答案为90°
【点睛】本题考查特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数值，本题属于基础题型．
14．/
【分析】根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案；
【详解】在 中，
则
在 中，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．/
【分析】根据坡度的定义即可求解．
【详解】解：如图，，，
在中，，
梯子的坡度为：．
故填．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．
16．
【分析】根据直角三角形30度角的性质得到，由平行四边形的性质推出，最短也就是最短，过O作的垂线，当P与重合时，的值才是最小，根据三角函数求出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵最短也就是最短，
∴过O作的垂线，
当P与重合时，的值才是最小，
∴则的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，直角三角形30度角的性质，垂线段最短，正确理解垂线段最短是解题的关键．
17．．
【详解】解：如图，连接AC，由题意可得：
AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5，
∴BC2+AC2=AB2，AB=，AC=，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=
故答案为：．
18．39.07
【详解】试题分析：在直角三角形中，根据已知条件利用所给角的正切值求得AB即可．
试题解析：在Rt△BAC中，∠ACB=38°．
则AB=AC tan38°≈50×0.7813=39.065≈39.07（米）．
答：河的宽度约为39.07米．
19．旗杆EF的高度约为8米．
【分析】过点G作GP⊥CD于点P，与EF相交于点H．设EF的长为x米，在Rt△GEH中利用锐角三角函数的定义可得出GH的长，再由BD=BF+FD=GH+FD即可得出结论．
【详解】过点G作GP⊥CD于点P，与EF相交于点H．设EF的长为x米，

由题意可知，FH=GB=1米，EH=EF﹣FH=（x﹣1）米，
又∵∠BAD=∠ADB=45°，
∴FD=EF=x米，AB=BD=20米，
在Rt△GEH中，∠EGH=30°，
∵tan∠EGH=，即
∴GH=（x﹣1）米，
∵BD=BF+FD=GH+FD，
∴（x﹣1）+x=20，
解得，x≈8米，
答：旗杆EF的高度约为8米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（1）2cm；（2）πcm．
【详解】试题分析：（1）作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形即可求得圆的半径；
（2）根据弧长公式即可求的结果．
(1) 作OC⊥AB于C，则AC=AB=cm，
∵∠AOB=120°，OA=OB
∴∠A=30°
∴在Rt△AOC中， r=OA==2cm；
(2) cm.
考点：本题考查的是垂径定理，弧长的计算，解直角三角形
点评：解答本题的关键是正确作出辅助线，利用垂径定理构造直角三角形，同时熟记弧长公式：
21．（1）见解析（2）见详解；（3）增大；（4）减小．
【分析】第（1）（2）问作辅助线,分别在Rt△OEC和Rt△DFO中利用三角函数定义表示出所求三角函数,再利用不等式的性质：不等号两边同时除以同一个不为零的正数时不等号仍成立即可解题；第（3）（4）两问根据特殊三角函数值,总结规律即可解题.
【详解】解：（1）如图所示，作CE⊥OA与E,作DF⊥OA与F.
∵sin∠AOC=, sin∠AOD=,,
∴0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；（不等式性质）
（2）∵cos∠AOC=, cos∠AOD=,,
∴1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；（不等式性质）
（3）由特殊的直角三角函数值,总结规律,即可发现对于锐角而言, 锐角的正弦函数值随角度的增大而增大；
（4）由特殊的直角三角函数值,总结规律,即可发现对于锐角而言, 锐角的余弦函数值随角度的增大而减小.
【点睛】本题考查了三角函数的大小比较,不等式的性质,中等难度,熟悉三角函数定义,表示出三角函数是解题关键.
22．（1）；（2）
【分析】（1）由三角函数的定义可计算出，再根据特殊角的三角函数即可求出的大小；
（2）由圆锥的性质可判断，再由三角函数的定义可计算出，再根据特殊角的三角函数即可求出的大小．
【详解】解：（1）∵在中，
∴，
∴．
（2）由圆锥的性质可知：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握三角函数的定义以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
23．，
【分析】在中，根据已知条件，得到，进而求出；设，从而，在中，利用勾股定理得到，解得，从而得到．
【详解】解：在中，，，，
，解得；
设，
，
，
，
在中，，，，，则，即，解得，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及已知正切值求边长、已知边的关系求正切值问题，熟练掌握正切函数定义、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
24． 米.
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，由已知可求∠DCF=30°，可求DF，利用勾股定理可求CF，由题意得∠E=30°，可求 EF，BE，利用AB=BE×tanE即可计算得解．
【详解】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，则∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF=，
由题意得∠E=30°，则 EF=
∴BE=BC+CF+EF=6+4，
∴AB=BE×tanE=（6+4）×=米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．
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