6.4探索三角形相似的条件同步强化练习（含解析）

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6.4探索三角形相似的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在中，点D，E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4．在边BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（　　）
A．甲的说法正确 B．乙的说法正确
C．甲、乙的说法都正确 D．甲、乙的说法都不正确
4．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
6．如图，点、分别在的、边上，增加下列哪些条件：①；②；③，使与一定相似（ ）

A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
7．下列各条件中，能判断的是（　　）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
8．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )

A． B． C． D．
9．如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．
B．；
C．；
D．
10．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B．
C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB
12．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm，AD，A′D′分别为△ABC与△A′B′C′的中线，下列结论中：①AD∶A′D′＝4∶3；②△ABD∽△A′B′D′；③△ABD∽△A′B′C′；④△ABC与△A′B′C′对应边上的高之比为4∶3.其中结论正确的序号是 ．
14．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB ．
15．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是 （请填上编号）．
16．如图，已知，则图中相似三角形是 ．

17．如图，要使，需要补充一个条件可以是 ．（只需要填写一个即可）
三、解答题
18．如图，，直线，交于点，且分别与直线，，交于点，，和点，，，已知，，，，求的长度．
19．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：．
20．如图△ABC中，AB=8，AC=6，如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B出发沿BA方向向点A运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发沿AC方向向点C运动，设运动时间为t（单位：秒），问t为何值时△ADE与△ABC相似．
21．如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，，求的长度．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．
23．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，过A作 AF⊥DE，垂足为F．△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
24．如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．
《6.4探索三角形相似的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C A A C C D B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，先求出点的坐标为，再根据可得，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得，从而可得的值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，
，
，
，，
∴，，
，解得，
，
，
，
的面积为3，
，即，
整理得：，
将点代入得：，
整理得：，
将代入得：，解得，
则，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点的坐标是解题关键．
2．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：因为，所以，故A选项错误；
因为，所以，故B选项错误；
因为不能判定，故C选项正确；
因为，且夹角，能确定，故D选项错误．
故选：C．
3．B
【分析】分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP两种情况讨论可分别得到和，均可求出BP值，可得点P有2个.
【详解】解：∵AB∥DC，∠ABC＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
如图，
①若△ABP∽△PCD，则，即，
解得：BP＝2；
②若△ABP∽△DCP，则，即，
解得：BP＝；
所以这样的点P有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活的利用有一个角相等且这个角两边的线段对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
4．C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
【详解】解：①，则，故①符合题意；
②，则，故②符合题意；
③，且夹角，则，故③符合题意；
④由可得，此时不确定，故④不符合题意，
故选：C．
5．A
【分析】过点D作与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2
【详解】过点D作与BF交于点G，如图：
是的中线
即
即
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．
6．A
【分析】利用相似三角形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】①∵ ,
,故正确；
②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以与不一定相似，故错误；
③∵，
,故正确；
所以正确的是：①③
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．
【详解】A、，，只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意；
B、 ，，不是与的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意；
C、由可得，再由得，利用两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断，故C符合题意；
D、由，得，则得，故D不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案．
【详解】∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大．
9．D
【分析】根据三角形相似的判别方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、
由勾股定理可得：，
∴
∴，选项正确，不符合题意；
B、
∴，选项正确，不符合题意；
C、∵，
∴，选项正确，不符合题意；
D、不能证明两三角形相似，选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了三角形相似的判定方法，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：由图可知：，
若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意；
若，不能判定与相似，故B符合题意；
故选：B．
11．B
【分析】A．利用对应边成比例,且夹角相等来判断即可;
B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等;
C．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可;
D．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可．
【详解】解：A．∵,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等．
C．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
D．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似．注意:两边对应成比例必须夹角相等．
12．B
【分析】由可以得到，即可求解，
本题考查了平行线截线段成比例，解题的关键是：熟练掌握平行线截线段成比例．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：．
13．①②④
【分析】根据△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm，求出AD∶A′D′= AB：A′B′=4：3，对应高的比也等于相似比，再根据相似的性质及两边对应成比例且夹角相等可以证明△ABD∽△A′B′D′，即可得到答案.
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm,
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为4：3，
∴AD∶A′D′= AB：A′B′=4：3，则①正确
同理△ABC与△A′B′C′对应边上的高之比为4∶3. 故④正确，
又∵BC∶B′C′= AB：A′B′
且BD=BC, B′D′=B′C′
∴BD：B′D′= AB：A′B′
且∠ABD=∠A′B′D′
∴△ABD∽△A′B′D′，故②正确，
没有条件证明△ABD∽△A′B′C′，所以③错误，
故正确的选项为：①②④.
【点睛】主要根据相似三角形的对应高，对应中线的比等于相似比进行求解，并且考察了相似三角形的判定.
14．∠D=∠C或∠E=∠B或
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB
故答案为：∠D=∠C或∠E=∠B或
15．①③
【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．
【详解】∵①中的三角形的三边分别是：2，，；
②中的三角形的三边分别是：3，，；
③中的三角形的三边分别是：2，2，2；
④中的三角形的三边分别是：3，，4；
∵①与③中的三角形的三边的比为：1：
∴①与③相似．
故答案为①③．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
16．
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：可添加条件：．
证明如下：
∵，，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】解：∵b∥c，，，
∴．
∵，
∴．
∵a∥c，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴，
∵，
∴．
20．当t=或时，△ADE与△ABC相似
【分析】设运动时间为t，则BD=2t，AE=t，AD=82t；再结合∠A=∠A，然后分和两组情况代入求出t的值即可．
【详解】解：设运动时间为t，则BD=2t，AE=t，AD=82t，
∵∠A=∠A，
∴分两种情况：
①当时，即，解得：t=；
②当时，即，解得：t=；
综上所述：当t=或时，△ADE与△ABC相似．
【点睛】本题主要考查的就是相似三角形的判定，注意分类讨论，不出现漏解的现象成为解答本题的关键．
21．
【分析】首先根据题意，证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质，得出，，然后再根据平行线分线段成比例定理，得出，，再根据，即可得出的长，进而得出的长．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
答：的长度是．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、平行线分线段成比例定理、比例的性质，解本题的关键在熟练掌握平行线分线段成比例定理．
22．见解析．
【分析】根据AC＝AB证明，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，AD∥BC，
∵AC＝AB，
∴AO＝AB，
∴，
∵，
∴，
∵∠CAB＝∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，
∴∠ABD＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠ABD＝∠DAC．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形边、角、对角线的关系；在证明两角相等时，除了运用平行线、全等三角形外，还可以证明两三角形相似，得对应角相等．
23．相似，理由见解析
【分析】结论：相似．根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：相似．理由如下：
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴△DEC∽△ADF．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．
24．见解析
【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线段成比例定理证明结论．
【详解】证明：作EH∥AC交BC于H，
∵点E为AD的中点，
∴DH＝HC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，又DH＝HC，
∴BH＝3HC，
∵EH∥AC，
∴，
∴EF＝BF．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键．
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