6.5相似三角形的性质同步强化练习（含解析）

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6.5相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知E、F分别是△ABC中AB、AC边上的点，，且AE：AB＝3：5，那么为（　　）
A．3：5 B．3：25 C．9：25 D．9：16
2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，F是BA延长线上一点, FD⊥BC于D,交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
3．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边长为39，那么较大的三角形的面积为（　　）
A．90 B．180 C．270 D．540
4．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是　　
已知：如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且，，
求证：∽．
证明：又，，，，∽．
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边形ABCD，点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得,BC＝EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结，交于点，若D、E在反比例函数上，S△DHG＝4，则k的值为（　　）
A．30 B．24 C．20 D．15
6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）
A．2：1 B．4：1 C．1：2 D．1：4
7．如图，则下列式子中不成立的是（ ）

A． B． C． D．
8．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（ ）
A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．1：3
9．如图，已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（ ）
A．1：8 B．1：2 C．1：9 D．1：3
10．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点与相似，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
11．若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则=（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1：3 D．1：1.5
12．如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 .平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段 .
14．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，，若AC=10，AE=4，则BC= ．
15．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 ．
16．如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
17．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，P是AB上一点，连接PC，以PC为直径作⊙M交BC于D，连接PD，作DE⊥AC于点E，交PC于点G，已知PD＝PG，则BD＝ .
三、解答题
18．如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F．
（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，，求的长．
19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，，求AB的长．
20．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
21．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长．
小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系．
22．如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒．
(1)根据题意知： （用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的面积等于面积的？
(3)当运动几秒时，与相似？
23．如图，的直径，C为上的一点，已知，垂足为D，并且，求的长．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
《6.5相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B A C D C D C
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】根据，可得△AEF∽△ABC，再相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝
∴＝9：16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2．A
【分析】通过公共角，直角，对顶角的角度信息判断相似的三角形，最后根据相似三角形的传递性得到相似三角形的对数.
【详解】三角形ABC与三角形BDF中，有∠B公共，∠FDB=∠BAC=90°，则
三角形EFA与三角形EDC中，有∠FAE=∠EDC=90°，∠FEA=∠DEC，则
三角形EFA与三角形BDF中，有∠F公共，∠FAE=∠FDB=90°，则
所以根据相似的传递性四个三角形两两相似
故共有6对.
故答案为A.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，务必清楚的是两个角对应相等的三角形相似.
3．C
【详解】试题解析：∵52+122=132，
∴三边长为5、12、13的三角形是直角三角形，面积=×5×12=30，
两个三角形的相似比为，
则两个三角形的面积比为（）2=，
∴较大的三角形的面积为30×9=270，
故选C．
4．B
【分析】根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；
【详解】证明：，
，
又，
，
∽．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．
5．A
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，过点作轴于点，设，根据为的中点，则,进而证明，求得的值，以及S△DHG＝4，求得平行四边形的面积，根据割补法利用建立一元一次方程求得的值，即可求得的值．
【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，过点作轴于点，
设，其中
C（0，4）,BC＝EC，
为的中点，则
，
即
解得
为平行四边形对角线的交点
是的中位线
,
平行四边形
又
四边形是平行四边形
轴
，
设
都在反比例函数上，
则
解得
故选A
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数与几何图形，平行四边形的性质，掌握以上知识，并添加适当的辅助线是解题的关键．
6．C
【详解】试题分析：直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．
解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选C．
考点：相似三角形的性质．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，故A，B，C正确,D错误
故选：D．
8．C
【分析】由相似三角形对应线段的比等于相似比可求得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形对应高线之比是3：1，
∴两个相似三角形的相似比是3：1，
∴它们对应角的平分线之比为3：1．
故选：C
【点睛】本题主要了考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．
9．D
【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2．
∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．
故选D．
【点睛】本题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．
10．C
【分析】分∽和∽两种情况讨论，求得AE和BE的长度，根据勾股定理可求得DE和EC的长度，由此可得的长．
【详解】解：由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，
若∽，
则，即,
解得或，
当时，，，
，
当时，，，
，
若∽，
则，即，解得（不符合题意，舍去），
故或，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，能结合图形，分类讨论是解题关键．注意不要忽略了题干中格点三角形的定义．
11．B
【详解】解：∵相似比=1：3，∴面积比=1：9．故选B．
12．A
【分析】画出裁切后的矩形，再利用相似求解即可．
【详解】如图所示，四边形ABQN是裁切后的矩形：
∴，，
∴
∴
∵正方形HFG的面积是24
∴
∴
∴
∴
∴
∴
解得
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是正确的画出裁切后拼成的矩形．
13． 成比例 成比例
【详解】试题解析：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
故答案为成比例，成比例.
14．15
【分析】因为平分，，可证，从而求出DE长，再根据相似三角形即可解题．
【详解】解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．即．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．根据平行线和角平分线得出是等腰三角形是解题关键．
15．
【详解】∵正六角星形A2F2B2D2C2E2边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，
∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的．
同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，
∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的．
16．或2或12
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：若，
∴，
设，
，
，
解得；
若，
∴，
设，
，
，
解得；
综上所述，的长度为或2或12，
故答案为：或2或12．
17．
【分析】作AH⊥BC于H．首先证明△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，推出PC=PG+CG=，在Rt△PCD中，根据PD2+CD2=PC2，构建方程即可解决问题.
【详解】如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=2，AH⊥BC，
∴∠B=∠ACD，BH=CH=2，AH==4，
∵PC是直径，
∴∠PDC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP=∠CED=90°，
∵PD=PG，
∴∠PDG=∠PGD=∠CGE，
∵∠PDG+∠CDE=90°，∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠PDG=∠ECD=∠B=∠EGC，
∵∠PDB=∠DEC=∠AHB=90°，
∴△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，
则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，
∴PC=PG+CG=，
在Rt△PCD中，∵PD2+CD2=PC2，
∴4a2+（4-a）2=（）2，
解得a=或4（舍弃），
∴BD=．
故答案为．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程方程解决问题，属于中考常考题型．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形性质，直角三角形证明即可；
（2）设OD=x，求证，列比例求解即可．
【详解】解：证明：连接OD，如图：
∵AB为直径，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴ED=EB，
∴，
∵，
∴，
∵OA=OD，
∴
∵，，
∴，
∴
∴是圆O的切线．
（2）∵E是BC中点，BC=4,
∴BE=2，
∴，
在和中，，，
∴，
∴设OD为x，
则，
解得：,
则．
【点睛】本题主要考查圆切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用角的等量转化是解决本题的关键．
19．4
【分析】利用垂径定理得到：，圆周角定理：，证明，利用对应边对应成比例进行计算即可．
【详解】解：∵是⊙O的直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握垂径定理和圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
20．（1）y=x2－4x＋3；（2）=2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．
【分析】（1）根据题意可设函数解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；
（2）由（1）及题意可设直线BC的解析式为y=kx＋3，然后求解，进而可求证△ACD为直角三角形，然后利用面积计算公式求解即可；
（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有当∠DFE=90°，即 DF∥x轴和当∠EDF=90°，然后进行分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，
得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式：；
（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：
3k＋3=0，k= －1，
∴直线BC：y=－x＋3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴，，，
即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴= AD CD==2；
（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得
当x=2+时，y=－x+3=1－；
当x=2－时，y=－x+3=1+；
∴、；
②∠EDF=90°，
易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：
，解得 ；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形存在性的讨论是解题的关键．
21．阅读理解，；解决问题，猜想：，理由见解析．
【分析】阅读理解，作，证明和，列比例式并根据，，可得结论；
解决问题，作，证明，得，设，则，再证明，得，代入可得结论．
【详解】解：阅读理解，
过点作交于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，即，
∴，
同理得：，
∴，
∵，
∴；
解决问题，
猜想：，理由是：
如图，作交于点M，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及到相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题．
22．(1)
(2)或秒
(3)或秒
【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．
（1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解．
【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，；
（2）解：根据题意得：经过t秒后，，则；
当的面积等于面积的时，
即，
解得；或；
答：经过或秒后，的面积等于面积的；
（3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若则，即，解得；
②若则，即，解得；
由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．
答：当运动的时间为或秒时，与相似．
23．．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，由于CD⊥AB，于是得到∠ADC＝∠BDC＝90°，推出∠A＝∠BCD，证得△ACD∽△BCD，得到比例式，代入数据即可得到结果．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△BCD，
∴，
∵AB＝13cm，CD＝6cm，
∴BD＝AB AD，
∴CD2＝AD（AB AD），
即：36＝AD（13 AD），
解得：AD＝4，BD＝9，
∵AD＜BD，
∴AD＝4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）DE＝．
【分析】（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；
（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．
【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，
∴∠BAM＝∠EDA，
在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，
∴BM＝，
∴AM＝，
由（1）知，△ADE∽△MAB，
∴，
∴，
解得，DE＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．
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