7.1正切同步强化练习（含解析）

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7.1正切
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点是射线上的任意一点，于，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （ ）

A． B． C． D．
3．如图，A(4，0)、B(0，3)，在第一象内作Rt△ABC，其中∠BAC=90°且 tan∠ABC=2，点P是直线AC上的动点，点Q是直线BC上的动点，则PB+PQ的最小值是( )
A．5 B．10 C． D．
4．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
6．如图，已知，，，，的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
8．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ）
A．2 B． C． D．
9．在中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D． 米
11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D相交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π﹣2 B．4π﹣ C．4π﹣2 D．2π﹣
12．如图，在中，， ，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ 　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝
14．如图，在中，为边上的中线，，若，的面积为20，则线段的长为 ．
15．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE=，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为 ．
17．如图，直角中，，根据作图痕迹，若，，则 cm．
三、解答题
18．计算：
(1).
(2).
19．如图，在一张长方形纸片中，，，点，分别是和的中点．现将这张纸片按图示方式折叠，求的大小及的长．
20．如图，是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出吗？
21．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上F处，求tan∠AFE.
22．如图，和都是等边三角形，点、、三点在同一直线上，连接，，交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，．
①求的值；
②求的长．
23．在中，，，，求的面积.
24．在中，，是方程的一个根，求和的值．
《7.1正切》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A C C D A A C
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
根据正切的定义即可得到答案．
【详解】解：，，
故选：A ．
2．A
【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可．
【详解】解：如图，

由正方形的性质可得，，，
∴，
∵，，
∴，
由题意知，，，，，
∴，，
∴，整理得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．D
【分析】延长BA到，使，过点作于点Q，交AC于点P，此时，即的最小值为，根据求的值即可．
【详解】延长BA到，使，过点作于点Q，交AC于点P如图所示：
∵A(4，0)、B(0，3)，
∴，，
在Rt△OAB中根据勾股定理可知，，
∴，
∵∠CAB=90°，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵直线外一点与直线上各个点的连线中垂线段最短，
此时最小，即最小，
∵，
∴设，则，
∵在中，根据勾股定理可知，，
∴，
解得：，（舍去），
则，
∴最小值为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，三角函数的应用，作出辅助线，找出什么情况下最小是解决本题的关键．
4．A
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
【详解】.
故选：A.
【点睛】此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
5．C
【分析】在直角三角形BCM中，根据60°的正切函数以及MB的长度，求出BC的长，然后根据AB为直径且AB与BC垂直，得到BC为圆O的切线，又因为CD也为圆O的切线，根据切线长定理得到切线长CD与BC相等，即可得到CD的长．
【详解】解：在直角△BCM中，
tan60°＝＝，
得到BC＝＝2，
∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，
∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，
∴CD＝BC＝2．
故选C．
【点睛】此题考查学生灵活运用三角函数解直角三角形，掌握圆外一点引圆的两条切线，切线长相等的应用，是一道中档题．
6．C
【分析】作交于D，根据，，得出，，进而得出，再根据勾股定理即可得出答案．
【详解】作交于D，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
故答案为：C．
【点睛】本题考查三角函数，勾股定理，正确计算是解题的关键．
7．D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
8．A
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可．
【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，
===2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
9．A
【分析】依题意，作出图形，设，则，进而求得，根据正切的定义求得即可．
【详解】如图，在中，，
，
设，则，
由勾股定理可得，
．
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义，求得是解题的关键．
10．C
【分析】利用三角函数值中正切，可得到与的关系，计算即可．
【详解】在中， ，
，
故选C．
【点睛】本题考查三角函数值的应用，注意区分三边对应关系．
11．A
【分析】从图中明确S阴=S半-S△，然后依公式计算即可．
【详解】∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
连接AB，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，
由题意知OB=2，
∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2，AB=AO÷sin30°=4
即圆的半径为2，
∴阴影部分的面积等于半圆的面积减去△ABO的面积，
故选A．
【点睛】辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意．
12．C
【分析】先根据已知求边长，再根据点P和Q的速度表示和的长，设的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．
【详解】解：，，
∴，
，
由题意得：，，，
设的面积为S，则，
，，，
∴当时，S有最大值为9，
即当时，的最大面积为，
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形及二次函数的最值，利用配方法求二次函数的最值是解题的关键．
13．1.
【分析】据△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，从而求出角A的正切值．
【详解】∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案为1．
14．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，由，得AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x，进而得CF=2x，再由勾股定理得CD=2x，由等腰三角形性质得DE=EC=CD=x，由为边上的中线，得BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC，最后根据面积和勾股定理求解即可.
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F
∵，
∴AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x
∴CF=2x
在Rt△DCF中
由勾股定理得CD==2x，
∵，AE⊥BC
∴DE=EC=CD=x
∵为边上的中线
∴BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC
又S△ABC =20
∴S△ADC=10
∴×AC×DF=10
∴×5x×4x=10
解得x=1或x=-1（舍去）
∴AC=5，BD=CD=2，EC=DE=CD=
∴BE= DE+ BD=3
在Rt△AEC中
由勾股定理得AE==2
在Rt△AEB中
由勾股定理得AB==
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了中线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质以及勾股定理求边长，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键.
15．
【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．
【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100
∴依题意，有
由①得
将③代入②，解得
故答案为：．
【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．
16．0或或
【分析】首先根据tan∠ADE=求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的中点得DM=EM=，根据tan∠ADE=求得PM=， 然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE==，
AE=3，
∴DE=，
∵M为ED的中点，
∴DM=EM=，
∴在Rt△PMD中，PM=DM an∠ADE=×=，
如图：
点N在线段PM上，时
，即，
∴，
∴；
点N在线段PM的延长线上，时
，即，
∴，
∴；
点N在线段PM的延长线上，时
，即，
∴，
∴．
故答案为：0或或．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
17．
【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，，
∴，
∴BC=4cm，
∴，
由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据计算解题，注意负号的作用；
（2）先通分，再将分式的除法转化为乘法计算．
【详解】（1）解：
（2）
．
【点睛】本题考查零指数幂与负整指数幂、正切、化简绝对值、分式的加减乘除运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．，EG=5cm
【分析】由翻折的性质可知：AH=AD=25cm．在Rt△ABH中，由勾股定理可求得BH=15cm，于是得到tan∠HAB=，从而可知∠HAB≈37°，于是可求得∠DAH≈53°．然后利用中位线定理得到EG的长度．
【详解】解：由翻折的性质可知：．
在中，．
．
．
∵，，
∴，
由折叠的性质，点G是DH中点，
∵点，分别是和的中点，
∴是△DCH的中位线，
∴．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据翻折的性质求得AH、AG、AF的长是解题的关键．
20．
【分析】由是等腰三角形，求解 再利用锐角的正切的定义求解即可.
【详解】解： 是等腰三角形，
而
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，锐角的正切的定义，掌握锐角的正切的定义是解题的关键.
21．
【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【详解】解：根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE＋∠BFC＝90°.
又Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.
在Rt△BFC中，根据折叠的性质，有CF＝CD，BC＝8，
CF＝CD＝10，
由勾股定理得BF＝，则tan∠BCF＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝
【点睛】本题考核知识点：矩形的性质、翻折变换(折叠问题)、锐角三角函数的定义. 解题关键点：注意折叠前后线段和角的关系.
22．（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出，再根据ASA得出即可．
（2）①过点作于点，根据直角三角形角所对直角边是斜边的一半可得，从而得出，由BE=6得出，，根据勾股定理得出，然后根据即可．
②在Rt中，根据勾股定理得出BD的长，再根据得出即可得出DF的长．
【详解】（1）证明：，
又，，．
和均为等边三角形，
，，
，，
，．
（2）①，，，
，，
，．
，，，
过点作于点，
为等边三角形，
，．
在Rt中，，
．
②在Rt中，，
，，，
，，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
23．24
【分析】设，则.由勾股定理可求出x的长，然后根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】解：在中，，.
设，则.
由勾股定理，得，
即．
解得，（舍去）.
∴，.
∴.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.
24．，．
【分析】首先求出，进而设BC＝4x，AB＝5x，利用勾股定理得出AC的值，即可求出tanA的值．
【详解】解：∵是方程的一个根，
解方程得：或，
∴或（舍去）．
∴设BC＝4x，则AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程、勾股定理以及三角函数等知识，根据已知表示出BC，AB的长是解题关键．
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