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7.2正弦、余弦
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如图,在中为直径,点为弧的中点,点在弧上,若,则的长是( )
A. B. C. D.
2.在中,,若,则的长是( )
A. B. C.60 D.80
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则BC∶AC∶AB等于( )
A.1∶2∶5 B.1∶∶
C.1∶∶2 D.1∶2∶
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果BC=2,sinA=,那么AB的长是( )
A.3 B. C. D.
5.如图,在由小正方形组成的网格中,小正方形的边长均为1,点,,都在小正方形的顶点上,则的正弦值是( )
A. B. C. D.
6.已知一个不等臂跷跷板AB长3米,支撑柱OH垂直地面,当AB的一端A着地时,AB与地面夹角的正弦值为,如图1;当AB的另一端B着地时,AB与地面夹角的正弦值为,如图2,则支撑柱OH的高为( )米.
A.0.4 B.0.5 C. D.0.6
7.如图,在中,,则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图,中,,点D在AC上,.若,,则BD的长度为( )
A. B. C. D.4
9.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sin∠E的值为( )
A. B. C. D.
10.在中,,,.下列四个选项,正确的是( )
A. B. C. D.
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
12.如图,在的正方形网格中,的顶点都在格点上,则的正弦值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图,AB是⊙O的直径,,AB=5,BD=4,则cos∠ ECB= .
14.已知点A是双曲线在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为一边作等边三角形ABC,点C在第四象限,随着点A的运动,点C的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 .
15.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°.若AB=2,则cosB= ,BC= .
16.在中,,则的值为
17.如图,线段AB是的直径,弦,垂足为H.点M是上任意一点,,则的值为 .
三、解答题
18.若四边形的一组对角α,β,满足∠α∠β=180°,我们把这个四边形称为可衍生四边形,∠β为二倍角.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AD⊥CD,∠A=130°,当四边形ABCD为可衍生四边形,且∠C为二倍角时,求∠B的度数;
(2)如图2,四边形ABCD内接于⊙O,点E是圆上一点,连结并延长CE,AD交于点F,延长CD,BA交于点G,CD DG=AD DF,求证:四边形ABCF是可衍生四边形;
(3)如图3,在(2)的条件下,连结AE,EG,若CD是⊙O的直径,AF⊥EG,AG=5AB,求sin∠FAG的值.
19.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,DE=3,BC=9.
(1)求的值;
(2)若BD=10,求sin∠A的值.
20.如图,在△ABC中
(1)作图,作BC边的垂直平分线分别交于AC,BC于点D,E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)条件下,连接BD,若BD=9,BC=12,求∠C的余弦值.
21.在如图所示的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,,,,都在格点处,与相交于点,求的值.
22.在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,求sinA,cosA,tanA的值.
23.等腰三角形周长为16,一边长为6,求底角的余弦值.
24.在中,,,,求,和的值.
《7.2正弦、余弦》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A B D A C A C
题号 11 12
答案 C B
1.C
【分析】过C作直径CE,连接DE、CD,过C点作CF⊥AD于F,在Rt△CDE中,求得CD的长,在Rt△ACF中,求得CF、AF 的长,再在Rt△CDF中,求得DF的长,从而求得AD的长.
【详解】过C作直径CE,连接DE、CD,
∵CE为直径,= ,
∴∠CDE=90,∠CAD=∠E,
∴,
∴,
∵点C为的中点,
∴OC⊥AB,即∠AOC=90,
∴△AOC为等腰直角三角形,
∴AC=,
过C点作CF⊥AD于F,
在Rt△ACF中,
∴,
∴CF=,
AF=,
在Rt△CDF中,CF,,
∴DF=,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查了圆周角定理,勾股定理,三角函数等知识,作出辅助线利用圆周角定理得到是解题的关键.
2.D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值,求出BC,然后利用勾股定理即可求解.
【详解】解:∵∠ABC=90°,sin∠A==,AC=100,
∴BC=100×3÷5=60,
∴AB==80,
故选D.
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形,掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.
3.C
【分析】根据三角函数的定义及特殊角度的三角函数值,可求出边长比.
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= =,
∴∠A=30°,cosA==,
∴BC:AC:AB=1∶∶2.
故选C.
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值,熟练掌握三角函数是解题的关键.
4.A
【分析】根据正弦函数的定义可直接求解.
【详解】解:∵sinA=,BC=2,
∴AB==3,
故选A.
【点睛】本题考查了正弦函数的定义,是角所对的直角边与斜边的比,理解定义是关键.
5.B
【分析】过点作于点.先利用勾股定理求出、的长,再利用的面积求出的长,最后在直角中求出的正弦值.本题考查了解直角三角形,构造直角三角形,利用的面积求出边上的高是解决本题的关键.
【详解】解:过点作于点.
,
.
,
.
.
.
故选:B.
6.D
【分析】根据正弦的定义得到OA=2OH,OB=3OH,根据题意列式计算即可.
【详解】解:在Rt△AOH中,sinA,
∴OA=2OH,
在Rt△BOH中,sinB,
∴OB=3OH
∵AB=3米,
∴2OH+3OH=3,
解得:OH=0.6(米),
故选:D.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数,熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
7.A
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义,根据正弦的定义解答即可.掌握锐角的对边a与斜边c的比叫做的正弦成为解题的关键.
【详解】解:在中,,
故选:A.
8.C
【分析】根据三角函数的概念求出的长,再根据勾股定理求出的长,再证明,从而得出比例关系,求出的长.
【详解】解:∵ ,,
∴
∴
∴
∵,
∴
∴
∴
∴
故选:C.
【点睛】本题主要考查了三角函数、相似三角形的判定和性质以及勾股定理,熟练掌握三角函数以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.
9.A
【分析】首先连接OC,由CE是⊙O切线,可证得OC⊥CE,又由圆周角定理,求得∠BOC的度数,进而求得∠E的度数,然后由特殊角的三角函数值,求得答案.
【详解】如图,连接OC,
∵CE是⊙O的切线,
∴∠OCE=90°,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠COE=∠A+∠OCA=60°,
∴∠E=180°-90°-60°=30°,
∴sinE=sin30°=.
故选A.
10.C
【分析】根据勾股定理求出的长,根据锐角三角函数的定义判断即可.
【详解】解:如图,
在中,,,
∴根据勾股定理得:,
∴,,,
故选:C.
【点睛】本题考查了勾股定理,锐角三角函数的定义,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.
11.C
【分析】先根据勾股定理求出BC得长,再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可.
【详解】如图,根据勾股定理得,BC==12,
∴sinA=.
故选C.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理,熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键.
12.B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.
【详解】解:,,,
,
为直角三角形,且,
则,
故选:B.
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义,熟知在一个三角形中,如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方,那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键.
13.
【分析】连接AD, BE,根据直径所对的圆周角是直角,构建两个直角三角形,再利用等弧所对的圆周角相等得:∠ABD=∠CBE,根据等角的余角相等得:∠ECB=∠DAB,最后利用等角的三角函数得出结论.
【详解】解:连接AD, BE,
,
∴,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=∠ADB=90°,
∴∠ECB+∠EBC=90°,∠DBA+∠DAB=90°,
∴∠ECB=∠DAB.
AB=5,BD=4 ,
,
∴.
【点睛】本题考查了圆周角定理,解直角三角形,余角的性质,以及勾股定理等知识.掌握圆周角的两个定理:①在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.这两个性质在圆的证明题中经常运用,要熟练掌握.
14.
【分析】设点A的坐标为(a,),连接OC,则OC⊥AB,表示出OC,过点C作CD⊥x轴于点D,设出点C坐标,在Rt△OCD中,利用勾股定理可得出x2的值,继而得出y与x的函数关系式.
【详解】解:设A(a,),
∵点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB⊥OC,OC=AO,
∵AO=,
∴CO=,
过点C作CD⊥x轴于点D,
则可得∠AOD=∠OCD(都是∠COD的余角),
设点C的坐标为(x,y),则tan∠AOD=tan∠OCD,即,
解得:y=,
在Rt△COD中,CD2+OD2=OC2,即y2+x2=3a2+,
将y=代入,可得:x2=,
故x=,y==,
则xy=﹣9,
故可得:(x>0).
故答案为:(x>0).
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题,涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识,综合考查的知识点较多,解答本题的关键是将所学知识融会贯通,注意培养自己解答综合题的能力.
15.
【详解】如图所示:
∵∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=30o,
∴cosB=,
又∵cosB=,
∴BC=.
故答案是:,.
16.
【分析】根据正弦函数是对边比斜边,可得答案.
【详解】解:由题意作图如下:
由勾股定理可得AB===10,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了直角三角函数,利用正弦函数是对边比斜边是解题关键.
17./0.6
【分析】因为线段AB是的直径,弦,故,在中,利用勾股定理求出OC的长,求出,根据,得到,故可得.
【详解】解:连接OC,OD,
∵线段AB是的直径,弦,
∴,
∴在中,,,设OC为x,
由勾股定理可得:,
解得:,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查垂径定理与同弧所对的圆周角与圆心角的关系,相同大小的角的三角函数值相同,是解答本题的关键.
18.(1);(2)见解析;(3)
【分析】(1)由定义以及四边形内角和定理可得∠B的度数;
(2)根据圆内接四边形的一个外角等于内对角,再证明可得,进而可得,结合定义即可得证;
(3)连接,设交于点,证明,进而证明,求得,进而证明,再证明,求得,根据正弦的定义即可求得
【详解】(1)四边形为可衍生四边形,∠C为二倍角,∠A=130°,AD⊥CD,
,,
,
,
(2),
即,
,
,
,
四边形是圆的内接四边形,
,
,
,
,
,
四边形ABCF是可衍生四边形;
(3)连接,设交于点,如图,
CD是⊙O的直径,
,
由(2)可知,
,
,
又,,
,
,
,
四边形是圆的内接四边形,
,
,
,
,
,
,
AF⊥EG,
,
又,
,
,
.
【点睛】本题考查了新定义四边形,圆内接四边形的性质,直径所对的圆周角是90°,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,锐角三角函数的定义,综合运用以上知识是解题的关键.
19.(1) (2)
【详解】解:(1)∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
又∵DE=3,BC=9,
∴==.
(2)根据(1)=得:
=,
∵BD=10,DE=3,BC=9,
∴=,
∴AD=5,
∴AB=15,
∴sin∠A===.
20.(1)见解析;(2)
【分析】(1)分别以B、C为圆心,大于BC的一半长为半径画弧,两弧交于两点,再过两点画直线即可;
(2)根据线段垂直平分线的性质可得EC=BC=6,BD=CD=9,再根据余弦定义可求解.
【详解】解:(1)如图所示,直线DE即为所求;
(2)∵DE是BC的垂直平分线,
∴EC=BC=6,BD=CD=9,
∴cos∠C===.
【点睛】本题考查基本作图,三角函数定义,关键是掌握线段垂直平分线的画法,以及线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
21.
【分析】构造及直角三角形,根据平行的性质转化角并利用正弦的定义解题即可.
【详解】连接,,如图所示,
则 ,
.
设每个小正方形的边长为 ,
则 ,,.
是直角三角形,.
.
.
【点睛】本题主要考查三角函数函数值的求法,能够熟练构造直角三角形是解题关键.
22.sinA=;cosA=;tanA=.
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度为4;然后利用锐角三角函数的定义解答.
正弦:把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作
余弦:把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作
正切:把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA
【详解】
∵Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,
∴AC==4,
∴sinA==;
cosA==;
tanA==.
【点睛】本题关键考查了勾股定理和锐角三角函数的定义及运用,能正确运用定义写出三角比是解决本题的关键.
23.或
【分析】过顶点作底边的高线,分类讨论:当腰为6时,底边长为4;当底边为6时,腰长为5,然后分别根据余弦的定义求解即可.
【详解】过顶点作底边的高线,则垂足平分底边,
①当6为腰时,底边为4,
∴底角的余弦为: ,
②当6为底边时,腰为5,
∴底角的余弦为: ,
【点睛】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形,根据题意构建出直角三角形是解题关键.
24.,,.
【分析】先利用勾股定理计算出b的值,然后根据正弦、余弦和正切的定义求解.
【详解】解: ,
所以,
,
.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数,解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义.
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