7.2正弦、余弦同步强化练习（含解析）

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7.2正弦、余弦
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中为直径，点为弧的中点，点在弧上，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若，则的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC∶AC∶AB等于（ ）
A．1∶2∶5 B．1∶∶
C．1∶∶2 D．1∶2∶
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，sinA=，那么AB的长是（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（ ）

A． B． C． D．
6．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米．
　　
A．0.4 B．0.5 C． D．0.6
7．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，点D在AC上，．若，，则BD的长度为（ ）
A． B． C． D．4
9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，，．下列四个选项，正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则cos∠ ECB= ．
14．已知点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.若AB＝2，则cosB＝ ，BC＝ ．
16．在中，，则的值为
17．如图，线段AB是的直径，弦，垂足为H．点M是上任意一点，，则的值为 ．
三、解答题
18．若四边形的一组对角α，β，满足∠α∠β＝180°，我们把这个四边形称为可衍生四边形，∠β为二倍角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠A＝130°，当四边形ABCD为可衍生四边形，且∠C为二倍角时，求∠B的度数；
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点E是圆上一点，连结并延长CE，AD交于点F，延长CD，BA交于点G，CD DG＝AD DF，求证：四边形ABCF是可衍生四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，EG，若CD是⊙O的直径，AF⊥EG，AG＝5AB，求sin∠FAG的值．
19．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
（1）求的值；
（2）若BD＝10，求sin∠A的值.
20．如图，在△ABC中
（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．
21．在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于点，求的值．
22．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosA，tanA的值．
23．等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值.
24．在中，，，，求，和的值．
《7.2正弦、余弦》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A B D A C A C
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】过C作直径CE，连接DE、CD，过C点作CF⊥AD于F，在Rt△CDE中，求得CD的长，在Rt△ACF中，求得CF、AF 的长，再在Rt△CDF中，求得DF的长，从而求得AD的长．
【详解】过C作直径CE，连接DE、CD，
∵CE为直径，= ，
∴∠CDE=90，∠CAD=∠E，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴OC⊥AB，即∠AOC=90，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC=，
过C点作CF⊥AD于F，
在Rt△ACF中，
∴，
∴CF=，
AF=，
在Rt△CDF中，CF，，
∴DF=，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，作出辅助线利用圆周角定理得到是解题的关键．
2．D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB==80，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角函数的定义及特殊角度的三角函数值，可求出边长比．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= =，
∴∠A=30°,cosA==，
∴BC:AC:AB=1∶∶2.
故选C.
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练掌握三角函数是解题的关键.
4．A
【分析】根据正弦函数的定义可直接求解．
【详解】解：∵sinA＝，BC=2，
∴AB＝＝3，
故选A．
【点睛】本题考查了正弦函数的定义，是角所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．
5．B
【分析】过点作于点．先利用勾股定理求出、的长，再利用的面积求出的长，最后在直角中求出的正弦值．本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用的面积求出边上的高是解决本题的关键．
【详解】解：过点作于点．
，
．
，
．
．
．
故选：B．
6．D
【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．
【详解】解：在Rt△AOH中，sinA，
∴OA＝2OH，
在Rt△BOH中，sinB，
∴OB＝3OH
∵AB＝3米，
∴2OH+3OH＝3，
解得：OH＝0.6（米），
故选：D．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据正弦的定义解答即可．掌握锐角的对边a与斜边c的比叫做的正弦成为解题的关键．
【详解】解：在中，，
故选：A．
8．C
【分析】根据三角函数的概念求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证明，从而得出比例关系，求出的长．
【详解】解：∵ ，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角函数、相似三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角函数以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
9．A
【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，进而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【详解】如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴sinE=sin30°=.
故选A.
10．C
【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴根据勾股定理得：，
∴，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
11．C
【分析】先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．
【详解】如图，根据勾股定理得，BC==12，
∴sinA=．
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．
12．B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：，，，
，
为直角三角形，且，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
13．
【分析】连接AD， BE，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：∠ABD=∠CBE，根据等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函数得出结论．
【详解】解：连接AD， BE，
，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠ECB=∠DAB．
AB=5，BD=4 ，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，余角的性质，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．这两个性质在圆的证明题中经常运用，要熟练掌握．
14．
【分析】设点A的坐标为（a，），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，继而得出y与x的函数关系式．
【详解】解：设A（a，），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC＝AO，
∵AO＝，
∴CO＝，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即，
解得：y＝，
在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，
将y＝代入，可得：x2＝，
故x＝，y＝＝，
则xy＝﹣9，
故可得：（x＞0）．
故答案为：（x＞0）．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．
15．
【详解】如图所示：
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30o，
∴cosB=,
又∵cosB=,
∴BC=.
故答案是：,.
16．
【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．
【详解】解：由题意作图如下：
由勾股定理可得AB===10，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．
17．/0.6
【分析】因为线段AB是的直径，弦，故，在中，利用勾股定理求出OC的长，求出，根据，得到，故可得．
【详解】解：连接OC，OD，
∵线段AB是的直径，弦，
∴，
∴在中，，，设OC为x，
由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理与同弧所对的圆周角与圆心角的关系，相同大小的角的三角函数值相同，是解答本题的关键．
18．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由定义以及四边形内角和定理可得∠B的度数；
（2）根据圆内接四边形的一个外角等于内对角，再证明可得，进而可得，结合定义即可得证；
（3）连接，设交于点，证明，进而证明，求得，进而证明，再证明，求得，根据正弦的定义即可求得
【详解】（1）四边形为可衍生四边形，∠C为二倍角，∠A＝130°，AD⊥CD，
,，
，
，
（2），
即，
，
，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
四边形ABCF是可衍生四边形；
（3）连接，设交于点，如图，
CD是⊙O的直径，
，
由（2）可知，
，
，
又,，
，
，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
AF⊥EG，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了新定义四边形，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是90°，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义，综合运用以上知识是解题的关键．
19．（1） （2）
【详解】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
又∵DE＝3，BC＝9，
∴＝＝.
（2）根据（1）＝得：
＝，
∵BD＝10，DE＝3，BC＝9，
∴＝，
∴AD＝5，
∴AB＝15，
∴sin∠A＝＝＝.
20．(1)见解析;(2)
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的一半长为半径画弧，两弧交于两点，再过两点画直线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得EC=BC=6，BD=CD=9，再根据余弦定义可求解．
【详解】解：（1）如图所示，直线DE即为所求；
（2）∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，
∴cos∠C＝＝＝．
【点睛】本题考查基本作图，三角函数定义，关键是掌握线段垂直平分线的画法，以及线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．
【分析】构造及直角三角形，根据平行的性质转化角并利用正弦的定义解题即可．
【详解】连接，，如图所示，
则 ，
．
设每个小正方形的边长为 ，
则 ，，．
是直角三角形，．
．
．
【点睛】本题主要考查三角函数函数值的求法，能够熟练构造直角三角形是解题关键．
22．sinA＝；cosA＝；tanA＝．
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度为4；然后利用锐角三角函数的定义解答．
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA
【详解】
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝4，
∴sinA＝＝；
cosA＝＝；
tanA＝＝．
【点睛】本题关键考查了勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，能正确运用定义写出三角比是解决本题的关键．
23．或
【分析】过顶点作底边的高线，分类讨论：当腰为6时，底边长为4；当底边为6时，腰长为5，然后分别根据余弦的定义求解即可．
【详解】过顶点作底边的高线，则垂足平分底边，
①当6为腰时，底边为4，
∴底角的余弦为： ，
②当6为底边时，腰为5，
∴底角的余弦为： ，
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，根据题意构建出直角三角形是解题关键.
24．，，．
【分析】先利用勾股定理计算出b的值，然后根据正弦、余弦和正切的定义求解．
【详解】解： ，
所以，
，
．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
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