7.4由三角函数值求锐角同步强化练习（含解析）

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7.4由三角函数值求锐角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则下列式子定成立的是
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( )
A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于( )
A． B． C． D．
5．已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（ ）
A．tanA= B．sin2A+sin2B=1 C．sin2A+cos2A=1 D．sinA=sinB
8．在中，，，则值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA的值为（ ）

A． B． C． D．
10．如果成立，那么锐角的度数应是（　　）
A． B． C． D．
11．已知sin·sin45°＝，则锐角为(　 　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
12．设、是的两个锐角，则关于的二次方程的根的情况为（ ）．
A．有两个相等的实根
B．没有实数根
C．有两个不等的实根
D．不能确定
二、填空题
13．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，的长是 ．
14．如果是锐角，且，那么 度
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是 ．
16．如图，矩形ABCD的边长，如果矩形ABCD以B为中心，按顺时针方向旋转到的位置（点落在对角线BD上），则△的形状为 ．
17．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β= ．
三、解答题
18．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1－tanA）2＋|sinB-|＝0．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求（1＋sinA）2－2－（3＋tanC）0的值．
19．如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接．
(1)求证四边形是平行四边形；
(2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点
① ；
②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）；
③连接，说明点是定点；
④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值．
20．若α为锐角，试证明：．
21．如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
22．如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
23．如图，在四边形ABCD中，平分．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求的面积．
24．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD2=AM AB；
（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．
《7.4由三角函数值求锐角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C B C D A A C
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【详解】解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b（其中a为∠A的对边），斜边为c，
则，，
∴sinA=cosB，
故选D．
【点睛】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键．
2．C
【详解】根据“锐角三角函数”的定义可知，在△ABC中，当∠C=90°，AC=3，AB=4时，求tanA、sinA中的任何一个，都需要先求出BC的长；sinB虽可直接由sinB=算出，但在求出∠B后还需利用直角三角形中两锐角互余才能求出∠A；而由：cosA=得到cosA的值后就可直接求得∠A的值了，所以C的方法更合适.
故选C.
3．C
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC．
【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cos∠OBC=cos30°= ．
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
4．C
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC,∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sin2A+sin2B=1，sinB>0，
∵sinA=，
∴sinB==.
故选C.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.
5．B
【分析】由为锐角，且，直接根据特殊角的三角函数值进行解答，即可得出结论．
【详解】解：∵为锐角，且，
又，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
6．C
【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围.
【详解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大，
由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°．
故选择C．
【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键.
7．D
【分析】根据同角三角函数的关系式直接进行判断即可．
【详解】根据同角的三角函数的关系：tanA=,sin2A+cos2A=1,sinB=sin(90° A)=cosB，可知只有D不正确.
故选D.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.
8．A
【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系．
9．A
【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据进行计算即可；
【详解】解：∵AB=25，BC=7，CA=24，
又∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴=；
故选A.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.
10．C
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
11．C
【分析】把sin45°＝ 代入已知,解出sinα的值,根据特殊角的三角函数值即可解答.
【详解】解：∵sin45°＝， sinα·sin45°＝
∴sinα·＝，解得sinα=
∴α=45°
故选C.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
12．A
【分析】由为的两个锐角，得，再由根据根与系数的关系可求得答案.
【详解】根据题意得，
∵是的两个锐角，即，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、锐角三角函数的定义、互余两角三角函数的关系，解题时要注意两个锐角的正切值都大于0，两角互余时，其正切值之积为1.
13．
【分析】先证，再求出的长，最后根据弧长公式求得的长．
【详解】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．
14．48
【分析】根据锐角三角函数关系：，即可求解．
【详解】∵是锐角，，
又∵，
∴48°．
故答案是48．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的关系，掌握，是解题的关键．
15．．
【分析】作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，过点M作MF⊥BC于F，利用矩形的判定方法证出四边形ABFM是矩形，再利用矩形的性质求出线段和的长，利用三角函数的比值关系即可得到∠E＝∠PNE＝30°，利用三角形外角的性质可得出∠MPN＝，再根据三角函数特殊值求解即可．
【详解】如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，
∴NC＝CE，PN＝PE，
∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AB＝MF＝2，AM＝BF，
∵AM＝CN，
∴BF＝AM＝CN＝CE，
∴BC＝EF＝，
∵
∴∠E＝30°，
∵PN＝PE，
∴∠E＝∠PNE＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴tan∠MPN＝，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数值等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
16．等边三角形
【分析】根据特殊角三角函数值求出∠CDB的度数，然后根据旋转的性质和等边三角形的判定即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝1，BC＝AD＝，∠DCB＝90°，
∴tan∠CDB＝，即∠CDB＝60°；
由旋转的性质可知：BD＝，
∴△为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角三角函数值，旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是抓住旋转过程中的不变量，灵活运用有关性质来解题．
17．90°
【分析】根据正余弦的性质，锐角三角函数中sin=cos（），即可解出.
【详解】∵sinα= cos（）= cosβ
∴=β
∴α+β=90°
【点睛】此题主要考查正余弦的关系，熟知锐角三角函数中sin=cos（）是解题的关键.
18．（1）△ABC是锐角三角形；（2）
【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0，
∴tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴原式=（1+）2-2-1，
=．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)①；②图见解析；③见解析；④
【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再利用平行线的性质可知，最后利用平行四边形的判定即可解答；
（2）①根据平行四边形的面积公式可知，再根据等腰直角三角形的性质可知进而即可解答；
②根据线段垂直平分线的性质及尺规作图法即可解答；
③连接，证明，则，，则，可以看作绕点B逆时针旋转得到的，即可证明结论成立；
④根据直角三角形的判定及平行线的判定可知，再利用函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（）可知四边形是平行四边形，过点作于点，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形的面积是，
∴，
∵是函函数图象上一点，
∴，
∴，
故答案为；
②如图所示，线段即为所求，
③连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴，，
∴，
∴可以看作绕点B逆时针旋转得到的，
∴点是定点；
④过点作轴的垂线，过点作于点，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∵点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，
∴，，
∴，
∵直线与轴构成的锐角的正切值是，
∴，
由①可知，
∴，
∴，，
∴，
解得：
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，函数的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，尺规作图法，图形的旋转、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握函数与几何图形的关系是解题的关键．
20．证明见解析.
【分析】根据在直角三角形中，正弦、余弦和正切的定义，将sina与cosa的值直接代入等式中验证结果是否等于tana.
【详解】证明：如图，
中，∠C=90°，设∠A=α，
则　∴
又 ∵ 　∴.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，本题属于基础证明题，应该熟练掌握三角函数的应用是解决此题的关键.
21．（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OA，然后证明，即可得到，从而得证；
（2）设的半径为，则，先利用勾股定理求出r，然后利用三角函数求出，再利用求解即可.
【详解】解：（1）证明：连接OA．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）设的半径为，则，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据已知条件先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明；
（2）过点A作BC垂线，垂足为F，根据已知条件求出BE边上的高，即可求解．
【详解】解：（1），
，
又，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
∵AD∥BC
，
，
，
四边形ABCD是菱形；
（2）如图，过点A作BC垂线，垂足为F，
，
，，
，
，
，
在中，
，
．
【点睛】本题主要考查平行四边形性质与判定，菱形的判定与性质，根据锐角三角函数求边长等知识点，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
24．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．
【详解】试题分析：（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；
（2）证明△ADM∽△ABD，即可得到结论；
（3）根据三角函数和勾股定理即可得到结果．
试题解析：（1）连接OD，
∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；
（2）∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2=AM AB；
（3）∵sin∠ABD=，∴sin∠1=，∵AM=，∴AD=6，∴AB=10，∴BD==8，∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin∠NBD=，∴DN=，∴BN==．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．
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