7.5解直角三角形同步强化练习（含解析）

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7.5解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，则四边形PCDQ面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，且已知b和∠B，下列求c的表达式正确的是( )
A．c＝bcosB B．c＝bsinB C．c＝ D．c＝
4．如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，线杆DC的高度为，两根拉线与互相垂直，，若、、在同一条直线上，则拉线的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（　　）
A． B． C． D．
9．如图，杭州市郊外一景区内有一条笔直的公路a经过两个景点A，B，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东60°方向，又位于景点B的北偏东30°方向，且景点A、B相距200m，则景点B、C相距的路程为（　　）
A．100 B．200 C．100 D．200
10．如图，在中，，D是上一点，连结，若，则的长可表示为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，是内一点，，，，，则的长为 ．
14．如图，已知半的直径为3，弦与弦交于点，,垂足为点，，则弦的长为 ．
15．四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，则四边形ABCD的面积为 ．
16．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AB=，则∠B= .
三、解答题
18．在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°.求∠BAC的度数.
19．在Rt中，，，，求，的度数．
20．在中，，所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
（1）；
（2）．
21．如图，在中，，，的平分线，求的度数及边，的长．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=，求BE的值.
23．如图，已知：内接于⊙O，是⊙O的切线，的延长线交于点．
（1）若∠B=2∠D ，求∠D的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求⊙O的半径．
24．如图，在中，，，，垂足为G，且，E为的中点，．

（1）求证：是等边三角形．
（2）过点G作于点F，连接、，求的长．
《7.5解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C C B D B B C
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】设BP=x（x≥0），过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，利用正弦三角函数求得S△PBC ，S△ADQ，当两三角形的面积和最小时，四边形的面积最大，根据x≥0即可判断；
【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，设BP=x（x≥0），则AQ=3--x=-x，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，
∴，，，
∴S△PBC=，
S△ADQ，
S△ABC=，
S△PBC+S△ADQ=≥（x=0时，有最小值），
∴四边形PCDQ面积≤-=，
故选： C．
【点睛】，本题考查了正弦三角函数，等边三角形的性质，根据面积关系正确作出辅助线是解题关键．
2．D
【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
【详解】
∵在中，，，
∴，
设，则，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
3．C
【详解】试题解析：在中，，
故选C.
4．C
【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．
【详解】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4，CP=EP．
在△OEF和△OBP中，，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP．
设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，
∴AF=AB﹣BF=1+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，
解得：x=，
∴DF=4﹣x=，
∴cos∠ADF=，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；
先求解，可得，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
故选：C
6．B
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由，即可求出BC的长度．
【详解】解：∵两根拉线与互相垂直，DC垂直AB,
∴∠CAB+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∵，∴
在Rt△BCD中，；
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
7．D
【详解】试题分析：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.
∵BC=3，，∴.
故选D.
考点：1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义.
8．B
【详解】解：CD=BD-BC=.
故选B.
9．B
【详解】试题分析：根据方位角可得：∠A=30°，∠CBA=120°，则∠C=30°，则△ABC为等腰三角形，故BC=AB=200m，故选B．
10．C
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出的长进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
则，
，
故，
则，
故，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握三角函数是解题关键．
11．A
【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得．
【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
设AC=BC=a，
∵AC⊥BC，AC=BC=a，
∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，
∴DE=，BE=，
∴CE=BC+BE=3a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．
12．C
【分析】等腰三角形两边的长为4cm和9cm，题目没有明确说明哪条是底边，哪条是腰，因此要分两种情况讨论；
对每一种情况，还需利用三角形三边关系验证能否构成三角形，若能构成三角形，再根据等腰三角形的性质以及余弦的定义进一步解答即可得到答案.
【详解】①当腰长为4cm时，则另外两边长分别为4cm和9cm，
4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，即此三角形不存在；
②当腰长为9cm时，则另外两边长分别为9cm和4cm，满足三角形三边关系，如图，
过A作AD⊥BC,垂足为D.
∵ AB=AC AD⊥BC，
∴ BD=DC (三线合一)，
∵ BD=DC ，BC=4，
∴ DC=2，
∵ AD⊥BC DC=2， AC=9，
∴ cos∠BCA= =，即等腰三角形的底角的余弦值是 .
故选C.
【点睛】本题考查等腰三角形和三角函数的知识，解答本题需掌握等腰三角形三线合一的性质以及余弦的定义.
13．
【分析】过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出的长．
【详解】如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．
【分析】由AC=BD知 ，得 ，根据OD⊥AC知，从而得，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；
【详解】∵OD⊥AC，
∴，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴，即，
∴，
∴，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=3，
∴AF=AOsin∠AOF=，
则AC=2AF=；
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．36
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】如图，
∵∠C=90°CD=3，BC=4
∴BD===5
在△ABD中，AB2+BD2=25+144=169=AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB BD+BC CD，
=×5×12+×3×4，
=36．
故答案为36
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
16．
【分析】先根据∠D的正切值设AB=2x，AD=3x，然后根据等腰直角三角形的性质求出CD的长，即可求解.
【详解】解：在Rt△ABD中，
∵
∴设AB=2x，AD=3x，
∵∠ACB=45°，
∴AC=AB=2x，
则CD=AD﹣AC=3x﹣2x=x，
∴
故答案为．
点睛：此题主要考查了解直角三角形的性质，关键是设出未知数表示出相应的线段的长，从而求比值.
17．30°
【详解】 ，则
18．∠BAC的度数为105°或15°.
【详解】试题分析:本题考查解直角三角形,由于题目没有给出△ABC的形状,所以要将∠BAC分为钝角和锐角进行分类分析,可过点A作AD⊥BC,在Rt△ADB中,结合已知的条件可求出∠BAD和AD, 在Rt△ADC中,结合已知条件AD和AC,利用锐角三角函数可求出∠CAD,再结合图形求出∠BAC.
解:(1)如图①，当∠BAC是钝角时，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.在Rt△ABD中，∵∠B=30°，
∴∠BAD=60°，AD=AB·sin 30°=1.
在Rt△ACD中，CD===1，
∴△ACD是等腰直角三角形，则∠CAD=45°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.
(2)如图②，当∠BAC是锐角时，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
∵∠B=30°，∴AD=AB·sin 30°=1，∠BAD=60°.
∴CD===1，
∴∠DAC=45°，
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°-45°=15°.
综上可知，∠BAC的度数为105°或15°.
常见错解:解题时只考虑了一种情况(∠BAC为钝角或∠BAC为锐角)，而忽略了另一种情况(∠BAC为锐角或∠BAC为钝角)，从而造成漏解.
19．，
【分析】由正切的三角函数的定义即可求得∠A的正切值，从而可求得这个角的度数，进而可求得∠B的度数．
【详解】Rt △ABC 中， ∠C=90° ，
∵
∴
∴∠B=90゜ －∠A=60゜
【点睛】本题考查了正切函数的定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，关键是求得∠A的正切值．
20．（1），，；（2），，
【分析】（1）利用勾股定理求出b，根据tanA==1，求出∠A即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出c，根据tanA==，求出∠A即可解决问题．
【详解】解：（1）b=，
tanA==1，
∴∠A=45°，
∴∠B=90°-45°=45°；
（2）c=，
tanA==，
∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21．，，
【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，先求解，结合角平分线的定义可得，可得的大小，再求解，即可．
【详解】解：在中，
∵，，，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
22．（1）；（2）3.
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACH=90°，
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB=；
（2）∵sinB=，
∴AC：AB=1：，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB==，
设CE=x（x＞0），则AE=x，则，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，，
∵AB=2CD=，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．
23．（1）；（2）4
【详解】解：（1）如图，连结
∵AD是⊙O的切线 ∴
设，则，，
∴
∴
∴
（2）解：，．
∴．
∴．
在Rt中，
∴⊙O的半径是4．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明AD=AB且∠BAD=60 即可得到结论；
（2）证明△EGF是直角三角形，再运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∴，∴是等边三角形．
（2）解：为的中点，
∴．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴△EGF是直角三角形，
又∵，
∴∠BFG=90
∴∠FBG=30 ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握相关的判定与性质是解答此题的关键．
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