7.6用锐角三角函数解决问题同步强化练习（含解析）

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7.6用锐角三角函数解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（ ）．
A．200m B．100m C．100m D．100（+1）m
2．如图，登山爱好者在山脚A处测得山顶B处的仰角∠BAC为30°，在坡比为5：12的山坡AD上走1300米到达D处．已知BD的坡比为1：1，则山的高BC为（　 ）米．

A． B． C．1000 D．
3．缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心处水平向前走米到点处，再沿着坡度为的斜坡走一段距离到达点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在点观察到观景塔顶端的仰角为再往前沿水平方向走米到处，观察到观景塔顶端的仰角是，则观景塔的高度为（ ）（tan22°≈0.4）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图所示，一架飞机在空中A点处测得飞行高度为h米，从飞机上看到地面指挥站B的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为（ ）
A．h·sinα米 B．h·cosα米 C．h·tanα米 D．米
5．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝( )米(结果可保留根号)．
A．(7＋21) B．(6＋21) C．(21＋4) D．(21＋6)
6．如图所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ）
A．6米 B．3米 C．3米 D．12米
7．某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）米
A． B． C． D．
9．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）米．
A． B． C． D．
10．某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
11．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物的高度，如图，已知斜坡的坡度为，小明在坡底点处测得建筑物顶端处的仰角为，他沿着斜坡行走米到达点处，在测得建筑 物顶端处的仰角为，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（ ）
A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°
二、填空题
13．小明在某风景区的观景台O处观测到东北方向的P处有一艘货船, 该船正向南匀速航 行30分钟后再观察时,该船已航行到O的南偏东30,且与O相距6km的Q处．如图所示．货船的航行速度是 km/h．（结果用根号表示．）
14．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是 m
15．如图所示，在一笔直的海岸线l上有A．B两个观测站，已知AB=2km，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 km；
16．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
17．如图，点P，A，B，C在同一平面内，点A，B，C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 千米．
三、解答题
18．如图，是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点，再经过一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点，在处测得建筑物顶端的仰角37°．
(1)求点到建筑物的水平距离；
(2)求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，，，，均在同一平面内．）
19．如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
20．如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．
21．在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）
22．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少m（取1．41，结果精确到0．1m）？
23．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥，测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长是多少？（结果保留根号）
24．北京时间年月日时分，尼泊尔发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面、两处均探测出建筑物下方处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置的深度．结果精确到米．参考数据：，，，
《7.6用锐角三角函数解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D A B B D A D
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】由所给角的三角函数可以用AB表示出BC，DB长．根据DB-BC=DC求解，可求出树高AB．
【详解】根据俯角的定义，结合题意可得：
BC==AB，BD==AB．
∴CD=BD-BC=（-1）AB=200m．
∴树高AB=100（+1）m．
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
2．A
【详解】解：如图：

∵DE：AE=5：12，
设DE=5x，AE=12x，则AD=，
∴DE：AE：AD=5：12：13，
∵AD=1300米，
∴AE=1200米，DE=500米，
设EC=y米，
∵BD的坡比为1：1，
∴ BF=y米．
又∵∠BAC=30°，
∴AC=CB．
即：1200+y=（500+y），
解得y=350-150．
∴BF=350-150，
∴CB=BF+CF=350+350（米）．
故选A．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
3．A
【分析】作交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是矩形,根据AB的坡度，设表示出 在中， 在中， 根据 列出式子，求出的值，即可求解.
【详解】如图，作交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是矩形,
可以假设
则，
在中，
在中，
解得：
答：观景塔的高度DE为21米.
故选A.
【点睛】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.
4．D
【分析】由锐角三角函数的定义直接进行解答即可．
【详解】解：如图所示，
∵AC=h，∠ABC=α，
∴BC= 米．
故选D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．A
【分析】作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．
【详解】解：作AE⊥CD于点E．
在直角△ABD中，∠ADB=45°，
∴DE=AE=BD=AB=21（米），
在直角△AEC中，CE=AE tan∠CAE=21×tan30°=21×=（米）．
则CD=（21+）米．
故选A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．
6．B
【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．
【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是6 m，坡度为1：2．
∴垂直高度为3m．
根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是=（m）
故选B．
【点睛】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度．
7．B
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵tanα=1：=，
∴坡角α=60°．
故选B．
【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握，关键是坡度=坡角的正切值解答．
8．D
【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度．
【详解】在中，，
∵坡面米，坡角，
∴该山坡的高度，
故选：D．
9．A
【分析】根据三角形的定义，在直角三角形中可以得出正切值．
【详解】解：tan=，
则BC=，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题的关键是掌握正切的定义．
10．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意可知，在中，米，，利用三角函数即可求出的高度．
【详解】解：∵，米，，
∴，
∴（米）．
故选：D．
11．D
【分析】如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.利用坡度先求出FG与EG，设DE=CD=x，表示出FH，CH，再利用三角函数即可解得.
【详解】如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.
根据题意易知DC=DE，EF=13m，∠CFH=35°，HF=GD，HD=FG
∵斜坡的坡度为，且EF=13m
故FG=5m，EG=12m
设DE=CD=x，则FH=DE+EG=x+12，CH=CD-HD=CD-FG=x-5
在直角三角形CHF中，
解得x≈44.7
故选D
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于能够画出辅助线.
12．C
【分析】作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．
【详解】作DE⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴AB=DE=9
∴sinC
∴∠C=30°
∴∠ADC=150°
∴较长的腰与底所成的角为30°或150°
故选C．
【点睛】考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．
13．6+6
【详解】试题分析：先解直角△OAQ，得出OA=OQ=3km，AQ=OA=3km，再解直角△OAP，得出PA=OA=3km，则PQ=PA+AQ=（3+3）km，然后根据速度=路程÷时间即可求出货船的航行速度．
如图，在直角△OAQ中，∠OAQ=90°，∠Q=30°，OQ=6km，
∴OA=OQ=3km，AQ=OA=3km．
在直角△OAP中，∠OAP=90°，∠AOP=45°，OA=3km，
∴PA=OA=3km，
∴PQ=PA+AQ=（3+3）km，
∴货船的航行速度是（3+3）÷=6+6（km/h）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
14．
【分析】首先过点C作CE⊥AB于点E，易得∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，利用正弦函数，即可求得答案．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE中，BC=50m，
∴h=CE=BC sin60°=（m）．
故答案为．
【点睛】此题考查了坡度坡角问题．能构造出直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解决此题的关键．
15．
【分析】先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后在Rt△CDB中，CD=BC，计算即可得答案．
【详解】根据题得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在Rt△CDB中，CD=BC=2×=（km），
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的相关计算，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值的应用是解题的关键．
16．26
【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2．4，AE=10米，AE⊥BD，
∵i=，
∴BE=24米，
∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．
17．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和BC的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．
【详解】解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA=90°，∠PAC=30°，
∵AP=12千米，
∴PC=6千米，AC=6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB=90°，PC=6千米，
∴∠PBC=60°，
∴千米，
∴（千米），
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．(1)18米；
(2)约为14.5米．
【分析】（1）延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，则四边形BMCN是矩形，首先根据CD的坡度求出CN和ND，进而可得EM的值；
（2）在Rt△AEM中，根据37°的正切可得AM，再根据AB＝AM+BM可得答案．
【详解】（1）解：延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，
如图所示：
则四边形BMCN是矩形，
在Rt△CDN中，∵tan∠CDF＝，
∴设CN＝5a，则ND＝12a，
∴CD＝＝13a＝2.6，
解得a＝0.2，
∴CN＝1米，ND＝2.4米，
∴EM＝EC+ND+BN＝4+2.4+11.6＝18（米），
答：点E到建筑物AB的水平距离是18米；
（2）解：在Rt△AEM中，
∵AM＝EM tan37°≈18×0.75=13.5（米），
∴AB＝AM+BM＝13.5+1≈14.5（米）．
答：建筑物AB的高度约为14.5米．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．铁塔AB的高约为11米．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出DN、BN的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
【详解】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，
在Rt△BND中，
∵∠DBN=20°，BD=10，
∴DN=BDsin∠DBN≈10×0.34=3.4，
BN=BDcos∠DBN≈10×0.94=9.4，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD，
∴四边形BNCE为矩形，
∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=9.4，
∴AB=9.4+1.6=11（米）．
答：铁塔AB的高约为11米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
20．1575米.
【详解】如图，过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F，
∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形，
∴EC＝DF．
在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1600．
∴AE＝AD·sin∠ADE＝1600sin15°，
DE＝AD·cos∠ADE＝1600cos15°，
∵EC＝AC－AE，∴EC＝500－1600sin15°．
在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝ECtan15°，
∴BC＝CF＋BF＝1600cos15°＋（500－1600sin15°）·tan15°≈1575．
∴运动员飞行的水平距离约为1575米．
21．潜艇C离开海平面的下潜深度为308米
【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．
【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，
根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=65°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt三角形ACD中，，
在Rt三角形BCD中，BD=CD tan68°，
∴，
解得：（米），
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
22．（1）点P的坐标为．（2）2．8m．
【分析】（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．
【详解】(1)如图，过点P 作PB⊥OA，垂足为B．设点P 的坐标为(x，y)．在Rt△POB 中，
∵tanα＝，
∴ OB＝＝2y．
在Rt△PAB 中，∵tanβ＝，
∴ AB＝y．
∵ OA＝OB＋AB，
即2y＋y＝4，
∴ y＝．
∴ x＝2×＝3．
∴ 点P 的坐标为(3，)．
(2)设这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx，由函数图象经过(4，0)，(3，)两点，可得
解得，
∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋2x．当水面上升1 m 时，水面的纵坐标为1，即－x2＋2x＝1，解得x1＝2－，x2＝2＋，
∴x2－x1＝2＋－(2－)＝2≈2.8．
因此，若水面上升1 m，则水面宽约2.8 m．
【点睛】本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识，出现角的度数（30°、45°或60°）或角的三角函数值，通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题．
23．．
【分析】本题要求的实际上是到的距离，可通过构建直角三角形来求解．过点作于点．就是所求的值．因为是直角三角形和的公共直角边，可用表示出和的长，然后根据的值来求出的长．
【详解】解：过点作于点，就是连接两岸最短的桥．
设千米．
在的东北方向，A在C北偏西30°方向，
，
∴在直角三角形中，有，
∴在直角三角形中，．
∵，
∴，
∴（千米）．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，然后把条件和问题转化到直角三角形中进行计算．
24．米
【分析】本题考查了解直角三角形，作交的延长线于，在直角三角形和直角三角形中，根据已知角的正切值列方程求解即可，通过三角函数列出方程是解题的关键．
【详解】解：作交延长线于，设 米，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴ ，
解得：米，
答：该生命迹象所在位置的深度约为米．
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