华师大版数学七年级上册第五章第1节相交线2垂线同步检测

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华师大版数学七年级上册第5章第1节5.1.2垂线同步检测
一、选择题
1．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（　　）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
答案：B
解析：解答：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条．
故选：B．
分析：根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，进行判断．此题注意“有且只有一条直线”的含义．
2．如图，CO⊥AB于点O，DE经过点O，∠COD=50°，则∠AOE为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
答案：B
解析：解答：∵CO⊥AB，
∴∠COB=90°，
又∵∠COD=50°，
∴∠DOB=90°-50°=40°，
∴∠AOE=∠DOB=40°，
故选：B．
分析：由已知条件和观察图形可知∠COD与∠DOB互余，∠DOB与∠AOE是对顶角，由此进行求解．注意领会由垂直得直角这一要点．
3．如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC=30°，则∠BOE=（　　）
A．30°
B．60°
C．120°
D．130°
答案：C
解析：解答：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°，
∴∠BOE=∠EOD+∠BOD=90°+30°=120°．
故选：C．
分析：根据垂直的定义和对顶角相等进行计算求出∠BOE的度数．此题考查了对顶角相等的性质、垂直的定义．
4．下列命题中错误的是（　　）
A．两直线相交，若有一组邻补角相等，则两直线垂直
B．两直线相交，若有两个角相等，则两直线垂直
C．两直线相交，若有一组对顶角互补，则两直线垂直
D．两直线相交，若有三个角相等，则两直线垂直
答案：B
解析：解答：A．两直线相交，若有一组邻补角相等，又因为一组邻补角的和是180°，所以这一组邻补角中的每一个角都是90°，则这两条直线垂直．所以A正确．
B．两直线相交，有两个角相等，若这两个角是对顶角，则这两个角的度数不确定，不能判定这两直线垂直．所以B是错误的．
C．两直线相交，若有一组对顶角互补，又因为一组对顶角是相等的，则这一组对顶角中的每一个角都是90°，这两条直线垂直．所以C正确．
D．两直线相交，有三个角相等，可以确定有一组对顶角是相等的，这一组对顶角中的每一个角都是90°，则这两条直线垂直．所以D正确．
故选：B．
分析：两条直线相交，相交成的角中，若有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直．此题利用垂直的定义、对顶角和互补的性质计算．
5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
答案：C
解析：解答：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
分析：根据射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC得出答案．解决此题的关键是找准角的关系．
6．下列语句：
①一条直线有且只有一条垂线；
②不相等的两个角一定不是对顶角；
③不在同一直线上的四个点可画6条直线；
④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．
其中错误的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：B
解析：解答：①一条直线有且只有一条垂线，说法错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，说法正确；
③不在同一直线上的四个点可画6条直线，说法错误，应为4或6条；
④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，说法正确．
故选：B．
分析：根据垂线的性质、对顶角的性质、两点确定一条直线、邻补角互补等知识逐一进行判断．
7．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=∠AOC，则∠BOC=（　　）
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
答案：D
解析：解答：∵∠COD=180°，OE⊥AB，
∴∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°，∠AOE=90°，
∴∠AOC+∠EOD=90°，①
又∵∠EOD=∠AOC，②
由①、②得，∠AOC=60°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°．
故选：D．
分析：根据平角、直角及角的和差关系先求出∠AOC+∠EOD=90°，再与已知∠EOD=∠AOC联立，求出∠AOC，最后利用互补关系求出∠BOC．
8．如图，AB⊥CD，垂足为B，EF是经过B点的一条直线，已知∠EBD=145°，则∠CBE，∠ABF的度数分别为（　　）
A．55°，35°
B．35°，55°
C．45°，45°
D．25°，55°
答案：B
解析：解答：∵∠CBE+∠EBD=180°，∠EBD=145°，
∴∠CBE=180°-∠EBD=35°，
∵∠CBE与∠DBF是对顶角，
∴∠DBF=∠CBE=35°，
∵AB⊥CD，
∴∠ABF=90°-∠DBF=55°．
故选：B．
分析：根据已知条件，利用互补关系、互余关系及对顶角相等的性质进行求解．
9．如图所示，已知OA⊥OB，OC⊥OD，则图中∠1和∠2的关系是（　　）
A．互余
B．互补
C．相等
D．以上都不对
答案：C
解析：解答：∵OA⊥OB，
∴∠1+∠AOC=90°；
∵OC⊥OD，
∴∠2+∠AOC=90°；
∴∠1=∠2．
故选：C．
分析：已知OA⊥OB，OC⊥OD，可根据等式：∠2+∠AOC=∠AOC+∠1=90°，推出∠1=∠2．此题主要考查了垂直的定义、等角的余角相等的性质．
10．一副三角板，如图所示叠放在一起，则∠AOB+∠COD=（　　）
A．180°
B．150°
C．160°
D．170°
答案：A
解析：解答：由已知，得∠AOC=90°，∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠COD=∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD=∠AOC+∠BOD=180°．
故选：A．
分析：利用角的和差关系，将∠AOB拆分为三个角的和，再利用垂直的定义、互余关系求角的度数．
11．下列说法：
①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角；
②如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；
③邻补角的两条角平分线构成一个直角；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
其中正确的是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：C
解析：解答：①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角，正确；
②直线延长可能有交点，错误；
③邻补角的两条角平分线构成一个直角，正确；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：C．
分析：根据对顶角、相交线、邻补角、垂线段最短等知识对各选项逐一进行判断，可得出结论．一定要紧扣概念中的关键词语，善于区分不同概念之间的联系和区别．
12．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离（　　）
A．小于2cm
B．等于2cm
C．不大于2cm
D．等于4cm
答案：C
解析：解答：∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短）的长度，
2＜4＜5，
∴点P到直线l的距离小于等于2，即不大于2，
故选：C．
分析：点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段的长度，结合已知，得点P到直线l的距离小于等于2．关键是要明确点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段的长度．
13．如图，∠1=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（　　）
A．75°
B．15°
C．105°
D．165°
答案：C
解析：解答：∵∠1=15°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=75°，
∵∠2+∠BOC=180°，
∴∠2=105°．
故选：C．
分析：由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知先求∠BOC，再由∠2与∠COB互补，求出∠2．
14．如图，能表示点到直线的距离的线段共有（　　）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
答案：D
解析：解答：根据点到直线的距离定义，可知：
AB表示点A到直线BC的距离的线段；
AD表示点A到直线BD的距离的线段；
BD表示点B到直线AC的距离的线段；
CB表示点C到直线AB的距离的线段；
CD表示点C到直线BD的距离的线段．
共5条．
故选：D．
分析：根据点到直线的距离的概念进行判断选择．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即为点到直线的距离．
15．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为（　　）
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．90°
答案：C
解析：解答：∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．
故选：C．
分析：根据垂直关系知∠AOC=90°，已知∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
二、填空题
16．一如图，一棵小树生长时与地面所成的∠1=80°角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于 度．
答案：10
解析：解答：∵∠3是80°角的余角，
∴∠3=90°-80°=10°，
又∵∠2是∠3的对顶角，
∴∠2=∠3=10°．
故答案为：10．
分析：由图可知，∠1+小树生长时与地面所成的角=90°，可求得∠3；又∠3和∠2互为对顶角，根据对顶角相等的性质可求∠2．
17．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短．理由是_
答案：垂线段最短
解析：解答：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．由此作答．此题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，体现了数学的实际运用价值，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
18．如图，BC⊥AC，C为垂足，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，则点B到AC的距离是_ cm，点A到BC的距离是_ cm，点A、点B的距离是_ cm．
答案：8｜6｜10
解析：解答：点B到AC的距离是线段BC的长度，为8cm，
点A到BC的距离是线段AC的长度，为6cm，
点A、点B的距离是线段AB的长度，为10cm．
故答案为：8；6；10．
分析：根据点到直线的距离的定义解答，过一点向一直线引垂线，这一点与垂足之间的线段的长度叫做这一点到这条直线的距离；熟记概念是解题的关键．
19．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠BOE=_ 度，∠AOG=_ 度．
答案：62｜59
解析：解答：：∵AB⊥CD，
∴∠AOD=∠AOC=90°，
∵∠FOD=28°，
∴∠AOF=90°-28°=62°，
∴∠BOE=62°；
∵∠FOD=28°，
∴∠COE=28°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOE=90°+28°=118°，
∵OG平分∠AOE，
∴∠AOG=118°÷2=59°．
故答案为：62；59．
分析：首先由垂直定义可得∠AOD=∠AOC=90°，然后计算出∠AOF的度数，再根据对顶角相等可得∠BOE的度数；首先计算出∠AOE的度数，再由角平分线的性质得∠AOG的度数．
20．如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°，则∠BOE=_ ，∠AOC= _ ．
答案：65°｜25°
解析：解答：∵OF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
∵∠DOF=65°，
∴∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=90°-25°=65°．
由直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=25°，
故答案为：65°；25°．
分析：要求∠BOE的度数，根据垂直的定义知∠DOE是直角，从而转化为求∠BOD的度数，根据∠BOD与∠DOF互余可以求出；∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，可以求出．
三、解答题
21．如图，∠1=30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．
答案：60°｜30°
解答：由题意得：
∠3=∠1=30°（对顶角相等）
∵AB⊥CD（已知）
∴∠BOD=90°（垂直的定义）
∴∠3+∠2=90°
即30°+∠2=90°
∴∠2=60°
解析：分析：∠1与∠3是对顶角；∠2与∠3互为余角．由此进行解答．注意：由垂直得直角．
22．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE=26°，求∠BOF的度数．
答案：32°
解答：∵OE⊥CD，
∴∠COE=180°-90°=90°，
又∵∠AOE=26°，∠AOC=∠BOD=64°，
又∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠BOD=32°．
解析：分析：先由OE⊥CD，得∠COE=90°，再结合角平分线和对顶角的性质得到答案．关键是根据垂线、角平分线定义、对顶角相等得出所求角与已知角的关系转化求解．
23．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，求∠AOD的度数．
答案：125°
解答：∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°．
又∵∠COE=35°，
∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD=125°．
解析：分析：根据图形先求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质求∠AOD的度数．求∠AOD的度数时，也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．
24．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
（1）求∠COD的度数．
答案：45°
解答：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC=180°，
解得∠BOC=135°，
∴∠AOC=180°-∠BOC
=180°-135°=45°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=45°．
（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．
答案：OD⊥AB
解答：OD⊥AB．
理由：由（1）知
∠AOC=∠COD=45°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，
∴OD⊥AB（垂直定义）．
解析：分析：利用∠AOC=∠BOC及补角的性质可求出∠COD的度数；求出∠AOD的度数可判断OD与AB的位置关系．注意领会由直角得垂直这一要点．
25．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，求∠BOD的度数．
答案：60°｜120°
解答：①当OC、OD在AB的一旁时，
∵OC⊥OD，∠COD=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°；
②当OC、OD在AB的两旁时，
∵OC⊥OD，∠AOC=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=120°．
解析：分析：此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解．此题主要考查了垂直、邻补角的定义，注意分两种情况分析．
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