1.3　两条直线的平行与垂直 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)过A(2，5)，B(－4，5)两点的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 平行
C. 重合 D. 以上都不对
2 (2024天津实验中学月考)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)和点B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 6 D. 0或6
3 顺次连接点A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)所构成的图形是(　　)
A. 平行四边形 B. 直角梯形
C. 等腰梯形 D. 以上都不对
4 (2024江安中学月考)与直线3x－2y＋3＝0平行，且过点(1，1)的直线方程是(　　)
A. 2x－3y＋1＝0 B. 2x＋3y－5＝0
C. 3x－2y－1＝0 D. 3x＋2y－5＝0
5 (2024长治一中月考)已知直线2x－3y－3＝0与直线ax＋by－4＝0平行，则的值为(　　)
A. － B. － C. D.
6 已知直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A. 4和3 B. －4和3
C. －4和－3 D. 4和－3
二、 多项选择题
7 (2024广州二中月考)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1，0)，B(3，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l恒过定点(0，1)
B. 当m＝0时，直线l的斜率不存在
C. 当m＝1时，直线l的倾斜角为
D. 当m＝－时，直线l与直线AB平行
8 满足下列条件的直线l1，l2一定互相平行的是(　　)
A. 直线l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，直线l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B. 直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点M(3，2)，N(－2，－3)
C. 直线l1平行于y轴，直线l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)
D. 直线l1：y＝1，直线l2：y＝2
三、 填空题
9 过点P(3，4)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为________．
10 (2024南通一中月考)已知a∈R，设直线l1：x＋ay－1＝0，l2：ax＋y－1＝0，若l1∥l2，则a＝________．
11 直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角α为________，过点(2，0)且与直线l平行的直线方程是________．
四、 解答题
12 (2024盐城一中月考)判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1) l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；
(2) l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0.
13 (2025启东中学检测)已知直线l经过点P(3，－3)，在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0.
(1) 求直线l的一般式方程；
(2) 若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，求实数m的值．
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
一、 单项选择题
1 (2024海门证大中学月考)已知直线l1的倾斜角α1＝30°，若l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. － B.
C. － D.
2 (2024黄山一中期中)已知点A(1，－2)，B(m，0)，若直线AB与直线l：x＋2y－1＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A. －3 B. 2
C. 3 D. 4
3 (2024海门期末)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(3，7)为顶点的三角形是(　　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
4 已知点M(3，0)，N(1，4)，点P在y轴上，且∠MPN＝90°，则点P的坐标为(　　)
A. (0，1) B. (0，2)
C. (0，3) D. (0，1)或(0，3)
5 (2025金沙中学月考)下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(　　)
A. ax＋2y－1＝0与2x＋ay＋2＝0
B. 6x－4y－3＝0与10x＋15y＋c＝0
C. 2x＋3y－7＝0与4x－6y＋5＝0
D. 3x－4y＋b＝0与3x＋4y＝0
6 (2024白城一中期中)已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A. 10 B. －4
C. 0 D. 14
二、 多项选择题
7 (2024昆山中学月考)设平面内四点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下列结论中正确的是(　　)
A. PQ∥SR B. PQ⊥PS
C. PS∥QS D. PR⊥QS
8 已知直线2x＋ay＝2和ax＋2y＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若l1∥l2，则a＝2
B. 若l1⊥l2，则a＝0
C. 若l1∥l2，则a＝±2
D. 若l1⊥l2，则a＝1
三、 填空题
9 (2024白蒲中学月考)过点(－2，0)且与直线y＋1＝2x垂直的直线方程为________．
10 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则边AB上的高所在直线的斜率为________．
11 已知直线l过点(1，－4)，若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，则直线l的方程是________；若直线l与直线2x＋3y＋5＝0垂直，则直线l的方程是________．
四、 解答题
12 (2024昆山中学月考)
(1) 已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD；
(2) 已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2.
13 已知直线l：(a＋b)x＋(a－2b)y－(a－b)＝0(a，b均为不等于0的实数)，直线m：x＋2y－1＝0.
(1) 若l∥m，求的值；
(2) 若a＝1时，直线l过定点A，且l⊥OA(O为坐标原点)，求实数b的值．
1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
1. B　因为斜率都为0且不重合，所以平行．
2. C　由直线l的倾斜角为，得直线l的斜率为－1.因为直线l与l1平行，所以直线l1的斜率为－1，即＝－1，解得a＝6.
3. A　因为A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)，所以kAB＝＝，kBC＝＝－3，kCD＝＝，kAD＝＝－3，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，所以四边形ABCD是平行四边形．
4. C　设与直线3x－2y＋3＝0平行的直线方程为3x－2y＋m＝0(m≠3)，则3×1－2×1＋m＝0，解得m＝－1，故所求直线的方程为3x－2y－1＝0.
5. B　由题意，得＝，所以＝－.
6. C　由题意，得＝，则n＝－3.又直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，所以＝≠，解得m＝－4.
7. CD　直线l恒过点(0，－1)，故A错误；当m＝0时，直线l的方程为y＝－1，斜率为0，故B错误；当m＝1时，直线l的斜率为－1，倾斜角为，故C正确；当m＝－时，直线l的方程为y＝x－1.又直线AB的方程为y＝(x－1)，即y＝x－，与直线l斜率相同且不重合，所以直线l与直线AB平行，故D正确．故选CD.
8. ACD　对于A，kAB＝－，kCD＝－，且A，B，C，D四点不共线，则l1∥l2，故A正确；对于B，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，则l1∥l2或l1，l2重合，故B错误；对于C，直线l2即为y轴，l1∥l2，故C正确；对于D，直线l1∥l2，故D正确．故选ACD.
9. 2x－y－2＝0　设与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0，将点P(3，4)代入，得m＝－2×3＋4＝－2，故所求直线的方程为2x－y－2＝0.
10. －1　由题意，得a2＝1，解得a＝±1.当a＝1时，两直线重合，舍去，故a＝－1.
11. 　x＋y－2＝0　由题意，得直线l的斜截式方程为y＝－x－，所以k＝tan α＝－.又0≤α<π，则α＝.过点(2，0)且与直线l平行的直线的斜率为－，所以 y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.
12. 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，
所以k1＝k2.
又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，
所以l1与l2不重合，
则l1∥l2.
(2) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－，
所以k1≠k2，
则l1与l2不平行．
13. (1) 设直线l的方程为＋＝1(a≠0).
将点P(3，－3)代入，得＋＝1，解得a＝6，
所以直线l的方程为－＝1，
故直线l的一般式方程为x－y－6＝0.
(2) 若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，
则m2×(－1)－1×(2m－3)＝0，解得m＝－3或m＝1，
当m＝－3时，直线l′的方程为x－y＋＝0，满足题意；
当m＝1时，直线l′的方程为x－y－6＝0，与直线l重合，不满足题意．
综上，实数m的值为－3.
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
1. C　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，所以直线l2的斜率为tan 120°＝－.
2. B　直线l：x＋2y－1＝0的斜率k＝－，因为直线AB与直线l：x＋2y－1＝0垂直，所以kAB＝＝2，解得m＝2.
3. B　因为kAB＝＝－，kAC＝＝，所以kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC，故该三角形为直角三角形．
4. D　因为点P在y轴上，所以设点P(0，y).因为M(3，0)，N(1，4)，且∠MPN＝90°，所以kMP·kNP＝·＝－1，解得y＝1或y＝3，即P(0，1)或(0，3).
5. B　对于A，当a＝0时，两直线分别为y＝，x＝－1，此时它们垂直；当a≠0时，两直线的斜率之积为－·＝1，此时它们不垂直，故A错误；对于B，两直线的斜率之积为×＝－1，两直线垂直，故B正确；对于C，两直线的斜率之积为－×＝－≠－1，两直线不垂直，故C错误；对于D，两直线的斜率之积为×＝－≠－1，两直线不垂直，故D错误．
6. B　由题意，得k1＝－，k2＝，所以－×＝－1，解得a＝10.将点(1，c)代入直线l1的方程，得c＝－2，代入直线l2的方程，得b＝－12，所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
7. ABD　由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，所以PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.又kPS≠kQS，所以PS与QS不平行．故选ABD.
8. BC　若l1∥l2，则4－a2＝0且－a≠－4，解得a＝±2，故A错误，C正确；若l1⊥l2，则2a＋2a＝0，解得a＝0，故B正确，D错误．故选BC.
9. y＝－x－1　直线y＋1＝2x的斜率为2，则所求直线的斜率为－，而所求直线过点(－2，0)，所以所求直线的方程为y－0＝－(x＋2)，即y＝－x－1.
10. －　因为A(－2，－4)，B(6，6)，所以直线AB的斜率为k＝＝，所以边AB上的高所在直线的斜率为－.
11. 2x＋3y＋10＝0　3x－2y－11＝0　 设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程是2x＋3y＋m＝0，将点(1，－4)代入，得m＝10，故所求的直线方程为 2x＋3y＋10＝0.设与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线l的方程是 3x－2y＋n＝0，将点(1，－4)代入，得n＝－11，故所求的直线方程为 3x－2y－11＝0.
12. (1) 由斜率公式，得kAB＝＝，kCD＝＝－，
则kABkCD＝×＝－1，所以AB⊥CD.
(2) 由直线l1，l2的方程可知，
它们的斜率分别为k1＝－，k2＝＝，
则k1k2＝×＝－1，所以l1⊥l2.
13. (1) 因为l∥m，所以＝≠，
解得＝－.
(2) 当a＝1时，直线l：(1＋b)x＋(1－2b)y＋b＝1，
即(x－2y＋1)b＝1－x－y.
令得即A，
所以OA的斜率k＝2，
故kl＝－＝，解得b＝－.