2.1　圆 的 方 程 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

2．1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝3的圆心和半径分别为(　　)
A. (－1，－1)，3 B. (－1，－1)，
C. (1，1)，3 D. (1，1)，
2 若点(a，0)在圆x2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，1) B. (－∞，1)
C. [0，1) D. (1，＋∞)
3 已知圆C经过点A(1，3)，若圆C上存在点B与点A关于直线y＝x对称，且圆心C为(－1，a)，则圆C的半径为(　　)
A. B. 2 C. 10 D. 20
4 (2024江安中学月考)点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　　)
A. 点在圆外 B. 点在圆内
C. 点在圆上 D. 无法判断
5 (2024扬州中学月考)若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋(y＋a)2＝1的一条对称轴，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. D. －
6 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线l：y＝x－1对称的圆的方程为(　　)
A. (x－2)2＋y2＝2
B. (x＋2)2＋y2＝2
C. x2＋(y－2)2＝2
D. x2＋(y＋1)2＝2
二、 多项选择题
7 (2024泰兴中学月考)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆M的圆心为(4，－3)
B. 圆M的圆心为(－4，3)
C. 圆M的半径为5
D. 圆M被y轴截得的线段长为6
8 (2025启东汇龙中学月考)过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为(　　)
A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4
B. (x－1)2＋(y－1)2＝4
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4
三、 填空题
9 (2024马坝高级中学期中)圆心为(0，1)且与直线y＝－2相切的圆的方程为________．
10 (2024姜堰二中月考)若点(1，2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部，则实数a的取值范围是________．
11 已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的标准方程为________．
四、 解答题
12 求满足下列条件的圆的方程：
(1) 经过点A(3，2)，B(2，)，圆心在x轴上；
(2) 经过直线2x＋y＋1＝0与x－2y＋3＝0的交点，圆心为点C(－2，1).
13 (2024启东一中月考)已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
(1) 过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2) 过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
2．1.2　圆的方程(2)
一、 单项选择题
1 (2024泰州中学期中)圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)
A. (－1，2)，3 B. (1，－2)，3
C. (－1，2)，9 D. (1，－2)，9
2 (2024海门实验中学月考)已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(－1，－5)，B(2，4)，C(5，－5)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A. x2＋y2－4x－2y－20＝0
B. x2＋y2＋4x－2y－20＝0
C. x2＋y2－4x＋2y－20＝0
D. x2＋y2＋4x＋2y－20＝0
3 (2024南通一中月考)已知方程x2＋y2＋2x－2ay＋2a＋4＝0表示一个圆，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1]∪[3，＋∞)
B. [－1，3]
C. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
D. (－1，3)
4 (2024启东中学月考)已知圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，若圆O的半径小于8，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－7，13)
B. (－∞，－3)∪(9，＋∞)
C. (3－2，－3)∪(9，3＋2)
D. (－7，－3)∪(9，13)
5 (2023抚顺德才高级中学期中)已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－3) B. (－∞，－3]
C. D.
6 已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程为(　　)
A. x2＋y2＋4x－2y＋7＝0
B. x2＋y2－8x－2y－9＝0
C. x2＋y2＋8x＋2y－6＝0
D. x2＋y2－4x＋2y－5＝0
二、 多项选择题
7 (2024河北高新区一中月考)关于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列说法中正确的是(　　)
A. 圆关于点(2，0)对称
B. 圆关于直线y＝0对称
C. 圆关于直线x＋3y－2＝0对称
D. 圆关于直线x－y＋2＝0对称
8 (2024徐州三中期初)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆心C的坐标为(2，7)
B. 点Q在圆C外
C. 若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 若M是圆C上任一点，则MQ的取值范围为[2，6]
三、 填空题
9 已知圆C的方程为 x2＋y2－4x＋6y＋4＝0，则圆心C的坐标为________，半径为________．
10 已知点A(－3，0)，B(1，0)，平面内的动点P满足PA＝3PB，则点P的轨迹形成的图形面积是________．
11 (2024启东中学月考)若圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线x－by＋6＝0对称，则b＝________．
四、 解答题
12 (2024天津滨海中学期末)已知平面内的动点M与两个定点A(－1，1)，B(－1，4)的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线Γ，求曲线Γ的方程，并说明其形状．
13 (2024前黄中学期中)已知△ABC的顶点为A(0, 2)，B(6, 4)，C(4, 0).
(1) 求边AC的垂直平分线的一般式方程；
(2) 求△ABC的外接圆的方程．
2．1.3　圆的方程(3)
一、 单项选择题
1 (2024南通中学月考)已知圆C的圆心在y轴上，且过A(3，1)，B(－3，5)两点，则圆C的方程为(　　)
A. x2＋(y－1)2＝17 B. x2＋(y－3)2＝17
C. x2＋(y＋1)2＝13 D. x2＋(y－3)2＝13
2 (2024昌平区期末)“a＞1”是“坐标原点在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的外部”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024南通一中月考)已知实数x，y满足x2＋y2－2x－8＝0，则x2＋y2的取值范围是(　　)
A. [4，10] B. [8，10] C. [4，16] D. [8，16]
4 如图，已知ACB为一弓形，且点A，B，C的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，(0，2)，则弓形ACB所在圆的方程为(　　)
A. x2＋y2＝16
B. x2＋y2＝4
C. x2＋(y＋2)2＝20
D. x2＋(y＋3)2＝25
5 已知直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆(x－1)2＋(y－1)2＝2 022的圆心，则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
6 (2024茂名一中期中)若P为圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0上任意一点，点Q(1，2)，则PQ的取值范围为(　　)
A. [2＋，＋∞) B. (0，2－]
C. [2－，2＋] D. (0，2＋]
二、 多项选择题
7 设圆的方程是(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，其中a>0，b>0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该圆的圆心为(a，b)
B. 该圆过原点
C. 该圆与x轴相交于两个不同的点
D. 该圆的半径为a2＋b2
8 (2024淮安高中校协作体期中联考)已知三点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB的距离为2
B. 直线BC的一般式方程为x－2y－1＝0
C. 以BC为直径的圆方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0
D. △ABC外接圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0
三、 填空题
9 (2024长沙一中期末)过点M(－1，1)，且圆心与圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程是________．
10 (2024海门实验中学月考)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，且P是圆C上任意一点，则AP的最小值是________．
11 (2024启东中学检测)如图，DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且＝，当点P在圆x2＋y2＝4上运动时，点M的轨迹方程为________．
四、 解答题
12 (2024海门包场中学月考)已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l1上，直线l1过点D(－4，0)且与直线l2：2x－7y＋1＝0平行．
(1) 求直线l1的方程；
(2) 求圆C的标准方程．
13 (2024连云港四校期中联考)赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1 400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1) 求这座圆拱桥所在圆的方程；
(2) 若该景区游船的宽为10m，水面以上的高为3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. (参考数据：≈1.732)
2．1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
1. B　(x＋1)2＋(y＋1)2＝3，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝()2，所以其圆心和半径分别为(－1，－1)，.
2. A　因为点(a，0)在圆x2＋y2＝1的内部，所以＜1，解得－1＜a＜1.
3. B　由题意，得直线y＝x经过圆心(－1，a)，所以a＝－1，所以r＝AC＝＝2．
4. A　因为(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>2，所以点P(m，3)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝2外．
5. A
6. A　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以圆C的圆心为(1，1)，半径为r＝.设点(1，1)关于直线l：y＝x－1对称的点为(x0，y0)，则解得所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为r＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝2.
7. ACD　由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，得圆心为(4，－3)，半径为5，故AC正确，B错误；令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确．故选ACD.
8. BC　设圆心为C(a，b)，则圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，故a＝b，则圆心C(a，a).由CA＝2，得(a－1)2＋(a＋1)2＝4，解得a＝±1，故圆心C(1，1)或C(－1，－1)，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4.故选BC.
9. x2＋(y－1)2＝9　由题意，知圆心为(0，1)，半径为3，故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝9.
10. (－2，1)　因为点(1，2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<9，即a2＋a－2<0，解得－211. (x－3)2＋(y－2)2＝13　直线AB的斜率k＝＝－1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1.又AB的中点为，所以直线m的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0.联立解得所以圆心坐标为C(3，2).又半径r＝CA＝，故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13.
12. (1) 设圆的方程为(x－m)2＋y2＝r2.
因为圆的方程经过点A(3，2)，B(2，)，
所以解得
故圆的方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2) 联立解得即交点的坐标为(－1，1)，
则圆的半径为＝1，
故圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝1.
13. (1) 当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，即周长最小．
即线段AB的中点(0，1)为圆心，
半径r＝AB＝.
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2) 方法一：因为直线AB的斜率为k＝－3，
所以线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，联立两直线方程，得圆心坐标是C(3，2).
r＝AC＝＝2.
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
2．1.2　圆的方程(2)
1. A　由方程x2＋y2＋2x－4y－4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，故圆心的坐标为(－1，2)，半径为3.
2. C　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A(－1，－5)，B(2，4)，C(5，－5)三点都在圆上，所以解得即所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－20＝0.
3. C　因为方程x2＋y2＋2x－2ay＋2a＋4＝0表示一个圆，所以22＋(－2a)2－4×(2a＋4)>0，即a2－2a－3>0，所以a>3或a<－1.
4. D　因为圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，所以圆O的标准方程为(x－m)2＋(y＋2m)2＝m2－6m－27，故05. A　由x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0，得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，所以圆心的坐标为(a，－2a)，半径为3.因为圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上的所有点都在第二象限，所以解得a<－3.
6. B　根据题意，圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则圆的圆心为(4，1)，半径r＝×＝，则圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0.
7. ABC　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标为(2，0).对于A，圆是关于圆心对称的，故A正确；对于B，圆关于直径所在直线对称，直线y＝0经过圆心，故B正确；对于C，直线x＋3y－2＝0经过圆心，故C正确；对于D，直线x－y＋2＝0不经过圆心，故D错误．故选ABC.
8. AB　对于A，由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得 (x－2)2＋(y－7)2＝8，显然该圆的圆心C的坐标为(2，7)，故A正确；对于B，因为(－2－2)2＋(3－7)2>8，所以点Q在圆C外，故B正确；对于C，若点P(m，m＋1)在圆C上，则(m－2)2＋(m＋1－7)2＝8，解得m＝4，即点P(4，5)，所以直线PQ的斜率为＝，故C错误；对于D，因为CQ＝＝4，该圆的半径为2，所以4－2≤MQ≤4＋2，即2≤MQ≤6，故D错误．故选AB.
9. (2，－3)　3　圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋4＝0，整理，得(x－2)2＋(y＋3)2＝9，故圆心C的坐标为(2，－3)，半径为3.
10. 　设点P的坐标为(x0，y0).因为PA＝3PB，所以＝3，整理，得x＋y－3x0＝0，即＋y＝，所以点P的轨迹方程为＋y2＝，其轨迹为以点为圆心，为半径的圆，所以轨迹形成的图形面积为.
11. 　圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线x－by＋6＝0对称，即圆心在直线上．由x2＋y2＋4x－12y＋1＝0，得圆心(－2，6)，则－2－6b＋6＝0，解得b＝.
12. 设点M的坐标为(x，y).
由＝，得＝，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，
故曲线Γ是以(－1，0)为圆心，半径为2的圆．
13. (1) 设AC的中点为D，所以D，即点D的坐标为(2，1).
由题意，得kAC＝＝－，所以边AC上高的斜率为2.
又AC的垂直平分线过点D(2，1)，
所以AC的垂直平分线的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
(2) 设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A，B，C三点坐标代入上式，得解得
所以圆M的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝10.
2．1.3　圆的方程(3)
1. D　圆C的圆心在y轴上，则可设圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2，圆过A(3，1)，B(－3，5)两点，则解得故圆C的方程为x2＋(y－3)2＝13.
2. B　坐标原点在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的外部，则解得a＞1且a≠2，故“a＞1”是“坐标原点在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的外部”的必要且不充分条件．
3. C　将x2＋y2－2x－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，得圆的圆心为(1，0)，半径为3，实数x，y满足x2＋y2－2x－8＝0，可知x2＋y2的几何意义是圆上点到原点距离的平方，而圆心(1，0)到原点的距离为1，圆的半径为3，可知(0，0)在圆内，可得圆上点到原点距离范围为[2，4]，所以x2＋y2的取值范围是[4，16].
4. D　因为圆心在弦AB的中垂线上，所以圆心在y轴上，可设圆心为P(0，b).因为AP＝CP，所以＝|2－b|，解得b＝－3，所以圆心P(0，－3)，半径r＝CP＝5，所以圆的标准方程为x2＋(y＋3)2＝25.
5. A　由题意，得圆心为(1，1)，因为直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆心，所以a＋b＝1，即a＝1－b，所以a2＋b2＝(1－b)2＋b2＝2b2－2b＋1＝2＋，所以当b＝时，a2＋b2取得最小值.
6. C　将圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4，故圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.因为(1－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点Q(1，2)在圆的内部，且CQ＝＝，所以PQ的取值范围为[|r－CQ|，r＋CQ]，即PQ∈[2－，2＋].
7. BC　由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为(a，－b)，半径为，故AD错误；因为(0－a)2＋(0＋b)2＝a2＋b2，所以该圆过原点，故B正确；在圆的方程(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2中，令y＝0，得(x－a)2＋b2＝a2＋b2，即(x－a)2＝a2，得x＝2a或x＝0.因为a>0，所以该圆与x轴相交于两个不同的点，故C正确．故选BC.
8. BCD　由题意，得AB的距离为＝，故A错误；直线BC的方程为＝，即x－2y－1＝0，故B正确；以BC为直径的圆，圆心为(3，1)，半径为，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0，故C正确；设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，代入A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)三点坐标，得解得所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0，故D正确．故选BCD.
9. (x－2)2＋(y＋3)2＝25　由圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝16，所以圆C的圆心坐标为C(2，－3)，又CM＝＝5，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
10. 5　点A(8，－6)与圆C的圆心(0，0)的距离等于 ＝10，故AP的最小值是10－5＝5.
11. ＋＝1(y≠0)　设点M的坐标为(x，y)，点P(x0，y0)，且y0≠0，则由题意，得即因为点P在圆x2＋y2＝4上运动，所以x2＋＝4(y≠0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
12. (1) 由题意，设直线的方程为l1：2x－7y＋m＝0，
将点D(－4，0)代入，得m＝8，
所以直线l1的方程为2x－7y＋8＝0.
(2) 设圆心的坐标为(m，n)，半径为r.
由题意，得
解得m＝3，n＝2，r2＝13，
故圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
13. (1) 设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
因为该拱圆过点A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4)，
所以解得
所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0，
即x2＋(y＋6)2＝100.
(2) 当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100，
解得y＝5－6≈2.66<3，
所以该景区的游船不能从桥下通过．