2.2　直线与圆的位置关系 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 (2024通江中学期中)已知圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)与直线x－y＋2＝0相切，则r的值为(　　)
A. 2 B. C. 2 D. 3
2 (2024南京一中期中)直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A. 相交但直线不过圆心
B. 相切
C. 相离
D. 相交且直线过圆心
3 (2024长阳一中月考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋(y－1)2＝2没有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－)∪(，＋∞)
B. (，＋∞)
C. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
D. (2，＋∞)
4 (2024苏州国裕外语学校月考)从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向圆引切线，则此切线的长是(　　)
A. B. 2
C. D.
5 (2024淮安中学期中)已知点P(m，n)在圆O：x2＋y2＝6外，则直线mx＋ny＝6与圆O的位置关系为(　　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 无法确定
6 (2025如皋部分学校月考)已知直线ax＋by＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1相切，则b2＋2a的值(　　)
A. 与a有关，与b有关
B. 与a有关，与b无关
C. 与a无关，与b有关
D. 与a无关，与b无关
二、 多项选择题
7 (2025通州中学月考)已知直线l：x＋y－＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C相离
B. 直线l与圆C相交
C. 圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D. 圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
8 (2024重庆五中期中)已知直线l：3x＋4y－5＝0，圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝16，P是圆M上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 过点M且与直线l垂直的直线方程为3x－4y－2＝0
B. 直线l与圆M相交
C. 点P到直线l的距离最大值是5
D. 点P到直线l的距离最小值是1
三、 填空题
9 与圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10切于点A(4，－1)的直线方程为________________．
10 已知圆 x2＋y2＝a，直线l：y＝x－2，圆上恰有一个点到直线l的距离等于1，则a＝________．
11 (2024东台中学月考)直线ax＋y－a＝0(a∈R)与圆(x－2)2＋y2＝4的位置关系是________．
四、 解答题
12 已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1) 当m为何值时，曲线C表示圆？
(2) 若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．
13 (2024江安中学月考)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆满足：
(1) 有两个公共点；
(2) 只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 (2024宿迁中学期中)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的过点(1，－1)且与圆C相切，则满足条件的直线l有(　　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
2 (2024海安中学月考)过点P(2，4)的直线与圆O：(x－3)2＋y2＝1相切于点A，则切线段PA长为(　　)
A. 3 B. 4 C. D. 5
3 (2024石家庄一中期末)过点P(1，－1)且与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切的直线方程为(　　)
A. x＋y＝0 B. x－y－2＝0
C. x－y＝0 D. x－y＋2＝0
4 (2024清河中学月考)圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　)
A. B.
C. 1 D. 5
5 (2024徐州一中期末)过点A(3，1)的圆C与直线x－y＝0相切于点B(1，1)，则圆C的方程为(　　)
A. (x－2)2＋y2＝2
B. (x－2)2＋(y－1)2＝1
C. (x－3)2＋(y－4)2＝9
D. (x－3)2＋(y＋1)2＝8
6 (2024如东中学期中)过点P(4，2)向圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0作两条切线，则两切线夹角的余弦值为(　　)
A. B. － C. D.
二、 多项选择题
7 (2024天星湖中学月考)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为(　　)
A. x＝4
B. 15x＋8y－36＝0
C. y＝－3
D. 8x－15y－3＝0
8 (2024启东中学月考)过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. 有一条切线方程为y＝1
B. 有一条切线方程为3x－4y－5＝0
C. OP⊥AB
D. 四边形OAPB的面积为2
三、 填空题
9 (2024天津求真高级中学月考)若P(1，1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．
10 若实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，x≠0，则的取值范围是________．
11 (2024天一中学月考)已知直线l1：x－y＋3＝0，l2：2x＋y＝0相交于点A，则点A的坐标为________，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，过点A作圆C的切线，则切线方程为________．
四、 解答题
12 (2024重庆大都中学月考)已知圆C经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 若过点(－2，1)作圆C的切线，求该切线方程．
13 (2024淄博实验中学期初)已知圆C的方程为x2＋y2－2x＋4y－m＝0.
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 若圆C与直线l：x＋y＋3＝0交于M，N两点，且MN＝2，求实数m的值．
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
一、 单项选择题
1 (2024北京四中开学考试)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－3，－1] B. [－1，3]
C. [－3，1] D. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)
2 (2024南通中学月考)以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3 B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3
C. (x＋2)2＋(y－1)2＝9 D. (x－2)2＋(y＋1)2＝9
3 (2024南京一中月考)过点A(1，1)的直线l与圆x2＋y2＝3交于M，N两点，则弦长MN的最小值为(　　)
A. B. 2 C. 1 D. 2
4 (2024启东中学月考)直线x＋y－3＝0截圆x2＋y2＝r2(r>0)所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025通州中学月考)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A. B. 1 C. D.
6 (2024学军中学月考)已知直线mx－y－4m＋1＝0与圆x2＋y2＝25相交，且所得弦长为整数，则这样的直线有(　　)
A. 10条 B. 9条 C. 8条 D. 7条
二、 多项选择题
7 已知直线l：(m－1)x＋(2m－1)y－4m＋4＝0 和圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l恒过点(4，0)
B. 圆C被x轴截得的弦长为2
C. 当m＝时，直线l与圆C相切
D. 当8 (2024盐城一中月考)定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”．则下列直线是圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的“相关直线”的为(　　)
A. y＝1 B. 3x－4y＋12＝0
C. 2x＋y＝0 D. 12x－5y－17＝0
三、 填空题
9 (2024句容中学期中)直线l：x＝3被圆C：x2＋(y－1)2＝25截得的弦长为________．
10 已知P是圆C：(x＋3)2＋(y－2)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为________．
11 (2024东台中学月考)已知直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
四、 解答题
12 (2024同济大学第一附属中学月考)过点P(3，1)作圆x2＋y2＝4的割线，割线被圆截得的弦长为2，求该割线方程．
13 (2024江安中学月考)已知圆C与y轴相切，圆心C在射线y＝x＋2(x≥0)上，且截直线2x－y－2＝0所得弦长为.
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 已知点P(1，－4)，直线(m－1)x＋(4m－5)y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m使得PA＝PB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
1. D　圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2的圆心为(1，－3)，半径为r，则圆心到直线的距离d＝r＝＝3.
2. A　由圆的方程，得圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，所以点(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝＝3. C　由题意，得圆心的坐标为(a，1)，半径为，则>，解得a>2或a<－2.
4. B　设切点的坐标为Q，圆心为C.如图，连接PQ，PC，CQ，则CQ⊥PQ，故切线长PQ＝＝＝2.
5. A　由点P(m，n)在圆O：x2＋y2＝6外，得m2＋n2>6，圆心O(0，0)到直线的距离d＝<，所以直线mx＋ny＝6与圆O相交．
6. D　圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1，0)，半径为1，则圆心到直线的距离d＝＝1，化简，得a2－2a＋1＝a2＋b2，即b2＋2a＝1，故b2＋2a的值与a，b均无关．
7. BD　由圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，得其圆心坐标为(1，－1)，半径为2，圆心(1，－1)到直线l：x＋y－＝0的距离d＝＝1<2，所以BD正确，AC错误．故选BD.
8. BC　直线l：3x＋4y－5＝0的斜率为－，圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝16的圆心M(2，1)，半径r＝4，过点M且与直线l垂直的直线方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0，故A错误；圆心M(2，1)到直线l：3x＋4y－5＝0的距离d＝＝19. 3x＋y－11＝0　由圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，得C(1，－2)，则kAC＝＝，所以与圆C相切于点A的直线斜率k＝－3，所以切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.
10. 1　圆x2＋y2＝a的圆心为(0，0)，r＝，a>0，由题意，得圆心到直线l：x－y－2＝0的距离d＝＝r＋1＝＋1，则a＝1.
11. 相交　由ax＋y－a＝0，得y＝－a(x－1)，所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1，0).因为(1－2)2＋02<4，所以点(1，0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆(x－2)2＋y2＝4相交．
12. (1) 由曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0，得m<5，
所以当m<5时，曲线C表示圆．
(2) 圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
因为直线l：y＝x－m与圆C相切，
所以＝，
解得m＝±3，满足m<5，
所以m＝±3.
13. 方法一：将直线的方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4).
当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法二：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
1. B　由题意，得圆C的圆心为C(－1，1)，半径r＝，所以点(1，－1)到点(－1，1)的距离为＝2>r，所以点(1，－1)在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条．
2. B　由题意，得圆O的圆心为O(3，0)，半径r＝1，OP＝＝，则切线段PA的长为＝＝4.
3. A　由题意，得圆C的圆心为C(2，0)，半径为.因为点P(1，－1)在圆C上，所以过点P的切线与CP垂直，且kCP＝＝1，所以过点P(1，－1)的切线斜率为－1，所以所求直线的方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋y＝0.
4. A　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.
5. A　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以圆心为C(a，b)，半径为r.因为过点A(3，1)的圆C与直线x－y＝0相切于点B(1，1)，所以kBC＝＝－1，且(3－a)2＋(1－b)2＝r2，BC＝＝r，解得a＝2，b＝0，r2＝2，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝2.
6. C　由题意，得圆C的圆心为C(1，1)，半径r＝1.因为P(4，2)，如图，设PM，PN为切线，切点分别为M，N，所以PC＝＝，设PC与PM的夹角为α，则sin α＝＝，则PM，PN的夹角为2α，则cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
7．AB　由题意，得圆的圆心为(3，1)，半径为1.当过点A(4，－3)切线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k(x－4)－3，则d＝＝1，解得k＝－，所以y＝－(x－4)－3，即15x＋8y－36＝0；当斜率不存在时，直线x＝4显然与圆相切，综上，切线的方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.故选AB.
8. ACD　由题意，得两条切线的斜率都存在．设切线得方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，根据圆心O到直线kx－y－2k＋1＝0的距离等于半径r，得d＝＝1，解得k＝0或k＝，所以切线方程为y＝1或4x－3y－5＝0，故A正确，B错误；如图，因为PA，PB是圆O的切线，所以PB⊥OB且PA⊥OA，可得P，B，O，A四点共圆，根据∠PBO＝∠PAO，OB＝OA，PO＝PO，可知△POB≌△POA，所以PO平分AB，PA＝PB，可得PO是AB的中垂线，即OP⊥AB，故C正确；由点P(2，1)，得PO＝＝，PB＝＝2，所以四边形OAPB的面积S＝2S△POB＝2×OB·PB＝2××1×2＝2，故D正确．故选ACD.
9. 2x－y－1＝0　由题意，得点C(3，0)，且PC⊥MN，kPC＝＝－，所以kMN＝2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，整理，得2x－y－1＝0.
10. (－∞，－]∪[，＋∞)　由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1，所以点(x，y)表示以(0，2)为圆心，半径为1的圆上的点(不包含圆与y轴的交点)，表示点(x，y)与点(0，0)的斜率．如图，设直线y＝kx，则点(0，2)到直线kx－y＝0的距离d＝＝1，解得k＝±，所以的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).
11. (－1，2)　3x＋4y－5＝0或x＝－1　联立l1：x－y＋3＝0，l2：2x＋y＝0，解得x＝－1，y＝2，所以点A的坐标为(－1，2).若切线斜率存在，设切线的方程为y－2＝k(x＋1)，则kx－y＋2＋k＝0，所以2＝，解得k＝－，所以切线的方程为3x＋4y－5＝0；若斜率不存在，直线方程x＝－1，显然与圆C相切．综上，切线方程为x＝－1或3x＋4y－5＝0.
12. (1) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为圆经过点A(－1，1)，B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
所以解得
所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2) 当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设l：y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，
则点C(3，－2)到直线l的距离为圆C的半径，
即d＝＝5，解得k＝，此时l：y＝x＋.
综上，直线l的方程为x＝－2或y＝x＋.
13. (1) 方程x2＋y2－2x＋4y－m＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5＋m，
因为此方程表示圆，所以5＋m>0，即m>－5，
故实数m的取值范围是(－5，＋∞).
(2) 由(1)，得圆心C(1，－2)，半径r＝，
如图，过点C作CA⊥MN于点A，则MA＝MN＝，
圆心C(1，－2)到直线l：x＋y＋3＝0的距离为d＝CA＝＝，
由图可得r2＝d2＋MA2，即5＋m＝()2＋()2，
解得m＝2.
即实数m的值为2.
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
1. C　(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a，0)，半径为.由题意，得≤，解得－3≤a≤1.故实数a的取值范围为[－3，1].
2. D　圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
3. D　由圆的方程x2＋y2＝3，可知圆心O(0，0)，半径r＝，当OA垂直l时，MN最小，此时点O到直线l的距离d＝OA＝，所以MNmin＝2＝2＝2.
4. C　设劣弧的两个端点为A，B，圆心为O，由题意，得△OAB为正三角形，圆心O到直线AB：x＋y－3＝0的距离为r，故r＝，解得 r＝.
5. D　由题意，得圆心到直线的距离d＝＝.设弦长为l，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即l＝2＝.
6. C　由题意，得直线mx－y－4m＋1＝0过定点(4，1)，圆的半径为5，最短弦长为2＝∈(5，6)，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有2条，其中有1条斜率不存在，舍去；最长的弦长为直径10，也恰有1条；弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条．
7. ABC　对于A，由(m－1)x＋(2m－1)y－4m＋4＝0，得m(x＋2y－4)－x－y＋4＝0.由解得所以直线l恒过点(4，0)，故A正确；对于B，在(x－2)2＋(y－1)2＝4中，令y＝0，解得x＝2±，所以圆C被x轴截得的弦长为2，故B正确；对于C，当m＝时，直线l为x＝4，此时圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心(2，1)到直线x＝4的距离为2，与圆C的半径相等，所以直线l与圆C相切，故C正确；对于D，当圆心(2，1)到直线l的距离d＝＝<2时，直线l与圆C相交，解得m<或m>，故D错误．故选ABC.
8. BC　由题意，得圆C的圆心为C(－1，2)，半径r＝2.设圆C到“相关直线”的距离为d，一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，则1＋d9. 8　由解得或即直线l：x＝3与圆C交于(3，5)和(3，－3)两点，所以弦长为|5－(－3)|＝8.
10. 3＋1　由题意知，直线过定点(0，－1)，所以圆心(－3，2)到定点的距离为＝3，所以点P到直线y＝kx－1距离的最大值为3＋1.
11. 4±　圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±.
12. 由题意，得点P在圆x2＋y2＝4的外部，所以割线的斜率一定存在．
设割线的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
因为圆心(0，0)到割线的距离为d＝＝＝1，解得k＝0或k＝，
所以割线的方程为y＝1或3x－4y－5＝0.
13. (1) 因为圆心C在射线y＝x＋2(x≥0)上，
所以可设圆心为C(t，t＋2)，其中t≥0.
又圆C与y轴相切，所以圆的半径r＝|t|.
则＋＝(|t|)2，
解得t＝2，t＝－4(舍去)
故所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝4.
(2) 由(1)，得C(2，4)，因为PA＝PB，CA＝CB，
所以点P，C在线段AB的中垂线上，则PC⊥AB.
因为kPC＝＝8，所以kAB＝＝－，解得 m＝，
当m＝时，圆心C到直线的距离d＝>2，
即直线与圆相离，与条件矛盾，
故不存在实数m使得PA＝PB.