3.1.2　椭圆的几何性质 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

3．1.2　椭圆的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024徐州期末)椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2 (2024海门中学月考)已知点A(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－，)
B. (－∞，－)∪(，＋∞)
C. (－2，2)
D. (－1，1)
3 (2024宝鸡中学期中)已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点M，且椭圆的短轴长为2，则椭圆的方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，且一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，则该椭圆的左顶点为(　　)
A. (－2，0) B. (－3，0)
C. (－4，0) D. (－5，0)
5 (2024如东中学月考)已知点P(1，2)和焦点在y轴上的椭圆＋＝1，且过点P作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距c的取值范围是(　　)
A. (0，2) B. (2，＋∞)
C. (0，) D. (，＋∞)
6 (2024海安实验中学月考)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024金沙中学月考)为使椭圆＋＝1的离心率为，则正数m的值可以是(　　)
A. 1 B. C. D.
8 已知椭圆C：＋＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的长轴长为2
B. 椭圆C的焦距为6
C. 椭圆C的短半轴长为2
D. 椭圆C的离心率为
三、 填空题
9 (2024江安中学月考)以椭圆＋y2＝1的右焦点F为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为________．
10 (2024成都七中月考)已知椭圆＋＝1的焦距为4，则实数m的值为________．
11 (2024江门中学月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为________．
四、 解答题
12 已知椭圆＋＝1.
(1) 求椭圆的长轴长、短轴长及离心率；
(2) 求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且过点(，)的椭圆的标准方程．
13 (2024南通一中月考)已知定点A(a，0)，其中03．1.2　椭圆的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024姜堰中学月考)下列四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
2 (2024厦门一中期末)已知椭圆C上存在四个点与其两个焦点构成边长为1的正六边形，则椭圆C的长轴长为(　　)
A. ＋1 B. 2 C. 4 D. 4
3 (2024遂宁射洪中学月考)椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.若直线BF与以 A为圆心，为半径的圆相切，则该椭圆的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
4 (2024南阳中学月考)已知A为椭圆＋y2＝1的上顶点，P为椭圆上一点，则PA的最大值为(　　)
A. 2 B. C. 3 D.
5 (2024承德一中期末)已知F是椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，若过点F且垂直于x轴的直线被椭圆M截得的弦长等于点F到直线x＝4a距离的一半，则椭圆M的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024兴化期中)已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成30°的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024启东中学月考)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
8 (2024常州金坛期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m km，远地点B(离地面最远的点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则下列结论中正确的是(　　)
A. a－c＝m＋R
B. a＋c＝n＋R
C. 2a＝m＋n
D. 2b＝2
三、 填空题
9 (2024海门实验中学月考)直线y＝kx＋1－k与椭圆＋＝1的公共点个数为________．
10 若直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为________．
11 (2024天一中学月考)已知F1为椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长的最大值为5b，则该椭圆的离心率为________.
四、 解答题
12 已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过点F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程．
13 (2024启东联考)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1) 若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2) 若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程．
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
\一、 单项选择题
1 (2024通州中学月考)已知椭圆E的方程为＋＝8，则下列关于椭圆E的说法中正确的是(　　)
A. 长轴长为16
B. 短轴长为4
C. 焦距为2
D. 焦点为(－2，0)，(2，0)
2 (2025启东中学月考)在矩形ABCD中，AB＝2BC，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3 已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点，点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024常熟中学月考)过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆的标准方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
5 (2024天一中学月考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024渭滨区期末)已知F1，F2是椭圆Γ：＋y2＝1的左、右焦点，P为椭圆Γ上一点，则＋的最小值为(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 4
二、 多项选择题
7 (2024兴化中学月考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为(　　)
A. B.
C. 3－6 D.
8 (2024连云港高级中学月考)已知椭圆C：x2＋4y2＝16的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的任意一点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆C的离心率为
B. PF1＋PF2＝8
C. PF1的最大值为4＋2
D. 使∠F1PF2为直角的点P有4个
三、 填空题
9 (2025衢州期末)若椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点为F1，F2，上顶点为P，则∠F1PF2＝________．
10 (2024河南信阳高级中学期初)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则AF1＋BF1＝________．
11 (2024嘉定期末)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，弦长AB＝8，若△ABF2的内切圆的面积为π，则椭圆的离心率为________．
四、 解答题
12 已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且>2，求实数a的取值范围．
13 (2024如东中学月考)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)，A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于点A的任一点，若点P到点A距离的最大值仅在点P为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝3.
(1) 若离心率e＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；
(2) 若椭圆Γ是“圆椭圆”，求实数a的取值范围．
3．1.2　椭圆的几何性质(1)
1. D　在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝＝3，故该椭圆的离心率为e＝＝.
2. B　因为点A(a，1)在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，解得a<－或a>.故实数a的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞).
3. B　由题意，得解得故椭圆的方程为＋＝1.
4. D　圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心是(3，0)，所以椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是(3，0)，即c＝3.又椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，即b＝4，所以a＝＝5，所以椭圆的左顶点为(－5，0).
5. C　由题意，得点P在椭圆的外部，所以＋>1，解得04，所以46. C　如图，由△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，得PF2＝F2F1，即2＝2c，则e＝＝.
7. CD　当02时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意．故正数m的值可以是或.
8. BD　因为椭圆C：＋＝1，所以a＝，b＝，c＝3，且椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的长轴长为2，焦距为6，短半轴长为，离心率e＝＝.故选BD.
9. (x－)2＋y2＝4　在椭圆＋y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝＝，右焦点为F(，0)，圆半径等于a＝2，所以圆的方程为(x－)2＋y2＝4.
10. 10或2　椭圆＋＝1的焦距为4，即2c＝4，c＝2，当焦点在x轴时，则a2＝m，b2＝6，所以m－6＝4，解得m＝10；当焦点在y轴上时，则a2＝6，b2＝m，所以6－m＝4，解得m＝2.故实数m的值为10或2.
11. 　因为以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b，即e>.又012. (1) 由题意可知a＝，b＝2，c＝1，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为4，离心率为.
(2) 因为椭圆＋＝1的焦点坐标为(±1，0)，
所以与其有相同焦点的椭圆的标准方程可设为＋＝1(A>1)，
将点代入，得＋＝1，
解得A2＝9或A2＝(舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
13. 设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
则PA2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2)＝＋4－a2，
当0所以当x＝a时，PA＝4－a2＝1，
解得a＝>(舍去)；
当当且仅当x＝3时，PA＝a2－6a＋9＝1，
解得a＝2或a＝4(舍去)，
综上，实数a的值为2.
3．1.2　椭圆的几何性质(2)
1. B　椭圆＋＝1的离心率e1＝＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝＝，椭圆＋＝1的离心率e3＝＝，椭圆＋＝1的离心率e4＝＝，显然02. A　如图，由多边形ABCDEF是边长为1的正六边形，得AF＝1，在△ACF中，由正六边形的性质，得AC⊥AF，∠ACF＝30°.又AF＝1，得AC＝.由椭圆定义，得AF＋AC＝1＋＝2a，即椭圆的长轴长为＋1.
3. B　由题意，得A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，所以直线BF的方程为bx＋cy－bc＝0.又直线BF与以A为圆心，为半径的圆相切，所以＝，化简，得＝，可得离心率e＝＝.
4. B　由题意可知A(0，1)，设P(x，y)，由＋y2＝1，得x2＝7－7y2，－1≤y≤1，则PA＝＝＝.因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，PA最大为＝.
5. C　由题意，得＝(4a－c)，即4(a2－c2)＝4a2－ac，即4c＝a，故椭圆M的离心率为.
6. A　如图，因为圆柱的底面半径为4，所以椭圆的短轴2b＝8，得b＝4.又椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，所以cos 30°＝，解得a＝，得c＝＝＝＝，故椭圆的离心率e＝＝＝.
7. AD　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则由题意可知且a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝2，c＝1，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选AD.
8. ABD　由题意，得m＝a－c－R，n＝a＋c－R，所以a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，m＋n＝2a－2R，故A，B正确，C错误；又2b＝2＝2，故D正确．故选ABD.
9. 2　因为直线y＝kx＋1－k恒过点(1，1)，且＋<1，所以(1，1)是椭圆内部的一点，所以直线与椭圆恒有2个交点．
10. ＋y2＝1　直线x＋2y－2＝0中，令x＝0，解得y＝1；令y＝0，解得x＝2，故椭圆的右焦点坐标为(2，0)，上顶点坐标为(0，1)，则 c＝2，b＝1，则a＝＝，故椭圆的方程为＋y2＝1.
11. 　设椭圆的左焦点为F2，则有AF1＋BF1＋AB≤AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a＝5b，则c＝＝a，所以所求离心率为.
12. 由题意，得△AF1B的周长为AB＋AF1＋BF1＝AF2＋AF1＋BF2＋BF1＝4a＝16，
所以a＝4.
因为椭圆的离心率为，
所以＝，则c＝2，
所以b2＝16－12＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
13. (1) 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c，
所以a＝c，e＝＝.
(2) 由题意，得A(0，b)，F2(1，0).
设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3.
又c2＝1，所以b2＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
1. B　因为＋＝8>4，所以椭圆E是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0).由题意，得2a＝8，即a＝4.由b2＝a2－c2＝12，得其方程为＋＝1，所以其长轴长为8，焦距为4，短轴长为4.
2. A　由题意，得2c＝，即ac＝a2－c2，所以e2＋e－1＝0，e∈(0，1)，解得e＝.
3. B　因为点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，所以解得所以椭圆的离心率为e＝＝.
4. A　因为椭圆4x2＋9y2＝36，即＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，所以c＝＝，椭圆的焦点为(±，0).设椭圆的方程是＋＝1(m>n>0)，则解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.
5. B　如图，设椭圆E的上顶点、右顶点、左焦点分别为A，B，F，则A(0，b)，B(a，0)，F(－c，0)，且b2＋c2＝a2，所以AB＝，AF＝＝a，BF＝a＋c.由题意，得△ABF为等腰三角形，则AB＝BF，所以＝a＋c，化简，得b2＝c2＋2ac.又b2＋c2＝a2，所以2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝.又06. A　由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4，由基本不等式，得4＝PF1＋PF2≥2，当且仅当PF1＝PF2＝2时等号成立，所以PF1·PF2≤4，所以＋＝≥＝1，即＋的最小值为1.
7. BCD　设椭圆的焦距为2c(c>0).由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a.因为PF1＝3PF2，所以PF1＝，PF2＝.由题意，得解得≥.又0<<1，所以≤<1，所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选BCD.
8. BCD　由原方程可得椭圆的标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝2，则c＝＝2，所以e＝＝，故A错误；由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝2a＝8，故B正确；由椭圆的性质知F1Pmax＝a＋c＝4＋2，故C正确；因为b9. 　由题意，得a＝2，b＝1.在Rt△OPF2中，cos ∠OPF2＝＝＝，又∠OPF2∈，所以∠OPF2＝，故∠F1PF2＝2∠OPF2＝.
10. 6　由题意，得点A，B关于原点O对称，而O为线段F1F2中点，如图，连接AF2，BF2，则四边形AF1BF2为平行四边形，BF1＝AF2，所以AF1＋BF1＝AF1＋AF2＝6.
11. 　由题意，得直线AB的方程为y＝(x＋c)，即x－y＋c＝0，所以点F2到直线AB的距离d＝＝c.因为△ABF2的内切圆面积为π，所以半径r＝1，所以由等面积可得AB·d＝×4a·r，解得e＝＝.
12. 因为点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，
所以＋＝1，即＋＝1，即b2＝.
因为a>b>0，a2>>0，所以a>.
又因为>2，
所以a2＋b2>4(a2－b2)，
即a2又a>0，所以综上，实数a的取值范围是.
13. (1) 由题意，得A(0，3).
因为e＝＝＝，解得a＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
设P(x，y)(－3≤y<3)，
则PA2＝x2＋(y－3)2＝12＋(y2－6y＋9)＝－y2－6y＋21，
二次函数开口向下，对称轴为y＝－9，
所以函数在区间[－3，3)上单调递减，
所以当y＝－3时，函数取最大值，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，
所以椭圆＋＝1是“圆椭圆”．
(2) 由题意，得椭圆的方程为＋＝1，点A(0，3).
设P(x，y)(－3≤y<3)，
则PA2＝x2＋(y－3)2＝a2＋(y2－6y＋9)＝y2－6y＋a2＋9，y∈[－3，3).
因为a＞b＝3，所以1－＜0.
由题意，得当且仅当y＝－3时，函数值达到最大值，
则≤－3，解得－3≤a≤3.
综上，实数a的取值范围为(3，3].