3.2.1　双曲线的标准方程 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

3.2.1　双曲线的标准方程(1)
一、 单项选择题
1 平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 线段
C. 两条射线 D. 双曲线
2 (2024常州中学期中)若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为(　　)
A. (0，1) B. (－∞，0)∪(1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (1，＋∞)
3 (2024南通中学月考)方程－＝2可化简为(　　)
A. x2＋＝1 B. x2－＝1(x>0)
C. y2＋＝1 D. y2－＝1(y>0)
4 (2024海安曲塘中学月考)已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为(5，0)，则实数a的值为(　　)
A. 9 B. 6 C. 5 D. 3
5 (2024海门实验中学月考)已知双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
6 与椭圆E：＋＝1共焦点，且过点(2，2)的双曲线的标准方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
二、 多项选择题
7 已知在平面直角坐标系中，AB＝6，P为平面内一动点，且 PA－PB＝2a(a∈R)，则下列说法中正确的是　(　　)
A. 当a＝0时，点P的轨迹为一条直线
B. 当a＝3时，点P的轨迹为一条射线
C. 当a＝－3时，点P的轨迹不存在
D. 当a＝2时，点P的轨迹是双曲线
8 (2024苏州中学月考)已知曲线C的方程为＋＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当m＝1时，曲线C表示一个圆
B. 当0C. 当m>2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线
D. 当m<0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
三、 填空题
9 如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是________．
10 (2025东台中学月考)经过点A(2，)，B(3，－2)的双曲线的标准方程为________．
11 (2024海门中学月考)已知双曲线－＝1的一个焦点到原点的距离为3，则实数m的值为________．
四、 解答题
12 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 焦点分别为(0，－6)，(0，6)，且经过点A(－5，6)；
(2) 经过点(3，)，(－4，－2).
13 (2024扬州中学期中)已知＋＝1.
(1) 当m为何值时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
(2) 当m为何值时，方程表示双曲线．
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
一、 单项选择题
1 (2024南通一中月考)已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则PF1－PF2等于(　　)
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
2 (2024徐州二中调研)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1＝9，则PF2等于(　　)
A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 5或13
3 (2024无锡一中期中)以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4 (2024盐亭中学月考)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P 为双曲线右支上一点，PF1＝3PF2，则∠F1 PF2的大小为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5 (2024泰州文正实验学校期中)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若AB＝2，则△ABF1的周长为(　　)
A. 12 B. 14 C. 10 D. 8
6 (2024启东中学月考)若双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、 多项选择题
7 已知曲线C：mx2－ny2＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若mn>0，则曲线C为双曲线
B. 若m>0且m＋n<0，则曲线C为焦点在x轴上的椭圆
C. 若m>0，n<0，则曲线C不可能表示圆
D. 若m>0，n＝0，则曲线C为两条直线
8 在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝r和C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2<4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是(　　)
A. 两个椭圆
B. 两个双曲线
C. 一个双曲线和一条直线
D. 一个椭圆和一个双曲线
三、 填空题
9 (2024天星湖中学月考)若方程－＝1所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是________．
10 (2024邗江中学期中)已知椭圆＋＝1和双曲线x2－＝1共焦点，则实数m的值为________．
11 椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则点P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，点P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
四、 解答题
12 (2024昆山中学月考)四个森林防火观察站A，B，C，D的坐标依次为(5，0)，(－5，0)，(0，5)，(0，－5)，他们都发现某一地区有火讯．若A，B观察到的距离相差为6，且离A近，C，D观察到的距离相差也为6，且离C近．试求火讯点的坐标．
13 (2024保定期初)已知定点F(3，0)，定直线l：x＝，曲线C上有一动点P，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且PF＝3PM.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若点P在y轴的右侧，Q(5，4)，求△PFQ周长的最小值．
3.2.1　双曲线的标准方程(1)
1. D　根据双曲线的定义，及|MF1－MF2|＝4，且F1F2＝6＞4，可知点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6.
2. B　因为方程＋＝1表示双曲线，所以(1－m)m＜0，解得m<0或m>1.
3. D　方程的几何意义为动点(x，y)到定点(0，－2)，(0，2)的距离之差为2，且2<4，可知动点的轨迹是以(0，－2)，(0，2)为焦点，2a＝2的双曲线的上支，故原方程可化简为y2－＝1(y>0).
4. D　由题意，得c＝5，则a2＋16＝25，解得a＝3.
5. B　由题意，得2a＝|－|＝4，所以a＝2.又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线C的标准方程为－＝1.
6. C　椭圆E：＋＝1的焦点坐标为(0，－4)，(0，4)，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
7. AB　对于A，当a＝0时，PA＝PB，则点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，故A正确；对于B，当a＝3时，PA－PB＝6＝AB，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为B，故B正确；对于C，当a＝－3时，PA－PB＝－6＝－AB，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为A，故C错误；对于D，当a＝2时，PA－PB＝4PB，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，故D错误．故选AB.
8. ACD　当m＝1时，曲线C是x2＋y2＝1，故A正确，B错误；当m>2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；当m<0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确．故选ACD.
9. (1，＋∞)　原方程化为标准方程为－＝1.由题意知k－1>0，且|k|－2>0，解得k>2.又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1，所以c>1，即半焦距c的取值范围是(1，＋∞).
10. －＝1　设双曲线的标准方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，代入点A，B(3，－2)的坐标，得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
11. 7或－2　当焦点在x轴上时，m>5，a2＝m，b2＝m－5，则c2＝a2＋b2＝m＋m－5＝9，解得m＝7；当焦点在y轴上时，m<0，a2＝5－m，b2＝－m，则c2＝a2＋b2＝5－m＋(－m)＝9，解得m＝－2.综上，实数m的值为7或－2.
12. (1) 由题意，得焦点在y轴上，
故设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，
代入点的坐标，得解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) 由题意，得解得3(2) 由题意，得(m－3)(11－m)<0，解得m<3或m>11.
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
1. B　因为P为双曲线－＝1右支上一点，所以PF1－PF2＝2a＝6.
2. B　由题意，得a＝4，b＝2，c＝6，|PF1－PF2|＝2a＝8.因为PF1＝9，所以|9－PF2|＝8，得PF2＝1或PF2＝17.若PF2＝1，则点P在双曲线右支上，PF2≥c－a＝2，不成立；若PF2＝17，则点P在双曲线左支上，PF2≥c＋a＝10，成立，即PF2＝17.
3. D　由题意，得双曲线的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0).设椭圆的方程为＋＝1，c2＝a2－b2.由题意，得a＝4，c＝2.故椭圆的方程为＋＝1.
4. C　由双曲线的定义，得PF1－PF2 ＝4.又PF1＝3PF2，所以PF1＝6，PF2＝2.因为F1F2＝2，所以在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝.因为0°<∠F1 PF2 <180°，所以∠F1 PF2＝60°.
5. A　由题意，得a2＝4，则2a＝4，由双曲线的定义，得AF1－AF2＝BF1－BF2＝4，又AF2＋BF2＝AB＝2，所以AF1＋BF1＋AB＝AF1－AF2＋BF1－BF2＋2AB＝4＋4＋4＝12，所以△ABF1的周长为12.
6. D　由题意，得a＝，b＝1，c＝＝2，所以线段F1F2是圆x2＋y2＝4的直径，所以PF1⊥PF2，所以所以PF1·PF2＝2，S△PF1F2＝PF1·PF2＝1.
7. ABD　若mn>0，则曲线C为焦点在 x轴或y轴上的双曲线，故A正确；由m>0且m＋n<0，可得n<0，|n|>m>0，>，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆，故B正确；若m＝1，n＝－1，则曲线C是单位圆，故C错误；若m>0，n＝0，则曲线C的方程可化为±x＝1，表示两条直线，故D正确．故选ABD.
8. BC　由题意知，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以C1C2＝4.设动圆P的半径为r.当r1＋r2<4时，两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．①若均内切，则PC1＝r－r1，PC2＝r－r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上；②若均外切，则PC1＝r＋r1，PC2＝r＋r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同；③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则PC1＝r－r1，PC2＝r＋r2，PC2－PC1＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，PC1－PC2＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC.
9. (－，0)和(，0)　由题意，得(9－k)(4＋k)>0，解得－410. 7　由题意，得焦点在x轴上，9－m＝1＋(m－6)，解得m＝7.
11. 24　24　由题意知，椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5).由椭圆与双曲线的定义可得所以或又F1F2＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以所求周长为PF1＋PF2＋F1F2＝14＋10＝24，所求面积为S△F1PF2＝PF1·PF2＝24.
12. 设火讯点P的坐标为(x，y).
因为观察到的距离相差为6，且AB＝CD＝10>6，
所以点P在双曲线上，则c＝5，a＝3，
所以b＝＝4.
因为离A近，所以点P在双曲线－＝1(x≥3)上．
因为离C近，所以点P也在双曲线－＝1(y≥3)上．
联立两双曲线的方程可得
即火讯点的坐标为.
13. (1) 设点P(x，y).
因为PF＝3PM，所以＝3|x－|，
整理，得8x2－y2＝8，
即曲线C的方程为x2－＝1.
(2) 设曲线C的左焦点为F′，则F′(－3，0).
因为点P在双曲线C的右支上，
所以PF′－PF＝2a＝2，所以PF＝PF′－2.
因为FQ＝＝2，
所以△PFQ的周长为 PF＋PQ＋FQ＝PF′＋PQ＋2－2.
当Q，P，F′三点共线时，PF′＋PQ取得最小值QF′＝＝4，
所以△PFQ周长的最小值为6－2.