3.3.2　抛物线的几何性质 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

3．3.2　抛物线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024海门实验中学)抛物线x2＝4y的对称轴是直线(　　)
A. x＝－2 B. y＝2
C. y＝0 D. x＝0
2 (2024通州中学月考)已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点M在抛物线C上，且MF＝6，则点M到y轴的距离为(　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 4
3 (2024江安中学月考)在下列抛物线中，开口最小的是(　　)
A. y2＝x B. y2＝x
C. y2＝2x D. y2＝4x
4 (2024白蒲中学月考)若坐标原点到抛物线y＝mx2 的准线的距离为2，则m的值为(　　)
A. ± B. ±
C. ±4 D. ±8
5 (2024淮安高中协作体期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，则＋的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 已知P是抛物线C：y2＝4x上一点，F为抛物线C的焦点，点M(2，1)，则△PMF周长的最小值为(　　)
A. 3 B. 1
C. ＋1 D. ＋3
二、 多项选择题
7 关于抛物线y2＝－2x，下列说法中正确的是(　　)
A. 开口向左
B. 焦点坐标为(－1，0)
C. 准线方程为x＝1
D. 对称轴为x轴
8 已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是抛物线C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 抛物线C的准线方程为x＝－4
B. 点F的坐标为(0，4)
C. FN＝12
D. △ONF的面积为16(O为坐标原点)
三、 填空题
9 设F为抛物线y2＝ax(a>0)的焦点，点P在抛物线上，且点P到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则PF＝________．
10 (2024太仓中学月考)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，N为抛物线上一点，若点N到x轴的距离为5，且NF＝6，则该抛物线的标准方程为________．
11 (2024福建厦门双十中学月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2，y0)(y0>0)，F为焦点，且PF＝4，则y0的值为________．
四、 解答题
12 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①FM＋FN＝MN；②OM＝ON＝MN＝8；③直线MN的方程为y＝6p.请分析说明M，N两点满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程．
13 (2024台州中学期中) 已知A为抛物线C：y2＝4x上的一个动点，F为抛物线C的焦点．
(1) 当AF＝2时，求点A的坐标；
(2) 若点B的坐标为(4，0)，求AB的最小值．
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024昆山中学月考)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A. (6，＋∞) B. [6，＋∞) C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
2 (2024南通中学月考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B. C. D. 1
3 (2024萍乡期中)已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若使AB＝2的直线l恰有2条，则p的取值范围为(　　)
A. (0，1) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (2，＋∞)
4 (2024南通月考)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则PA的最小值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024太湖中学期末)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若抛物线上一点M满足MF＝4，∠OFM＝120°，则p的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 (2024海门中学月考)已知抛物线C：y2＝24x的焦点为F，定点Q(6，3)，P为抛物线C上一动点，则PF＋PQ的最小值为(　　)
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
二、 多项选择题
7 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. x0＝3 B. y0＝2
C. OM＝ D. 点F(0，1)
8 (2024长沙一中期末)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 抛物线C的焦点坐标是(2，0)
B. x1x2＝4
C. 若x1＋x2＝5，则AB＝7
D. 若以M为圆心的圆与抛物线C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
三、 填空题
9 (2024上海交大附中期末)一种卫星接收天线(如图1)曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图2).已知接收天线的口径(直径)为4 m，深度为0.5 m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为________m.
图1 图2
10 (2024常州一中月考)已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为________．
11 (2024苏州十中期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，2)，记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d－PA的最大值为________．
四、 解答题
12 (2024海安实验中学月考)已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F(2，0)，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点．
(1) 求抛物线E的方程；
(2) 若FP＝2FQ，求实数k的值．
13 如图，已知抛物线 y＝x2－1与x轴交于A，B两点，P是该抛物线上位于第一象限内的点．
(1) 记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k2－k1为定值；
(2) 过点A作AD⊥PB，垂足为D，若AB平分∠PAD，求△PAD的面积．
3．3.2　抛物线的几何性质(1)
1. D　因为抛物线x2＝4y的焦点在y轴的非负半轴上，所以该抛物线的对称轴为直线x＝0.
2. C　由题意及抛物线定义，得点M到抛物线C的准线x＝－2的距离为6，所以点M到y轴的距离为6－2＝4.
3. A　在抛物线的标准方程中，一次项的系数的绝对值越小，说明对应抛物线的开口越小．故选A.
4. A　由题意，得m≠0，抛物线y＝mx2的标准方程为x2＝y, 则抛物线的准线方程为y＝－.由坐标原点到准线的距离为2，得|－|＝2，解得m＝±.
5. A　由已知，得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即y＝2x－2.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－3x＋1＝0，则x1＋x2＝3，x1x2＝1.过点A作准线的垂线AA′，过点B作准线的垂线BB′，则由抛物线可知AF＝AA′＝x1＋1，BF＝BB′＝x2＋1，所以＋＝＋＝＝1.
6. D　如图，由题意可判断点M(2，1)在抛物线内部，且易得点F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据两点间距离公式得MF＝.根据抛物线性质，得PM＋PF＋MF＝PM＋PN＋≥MN＋＝3＋，当且仅当N，P，M三点共线时，等号成立，所以△PMF周长的最小值为＋3.
7. AD　抛物线y2＝－2x的开口向左，焦点为，准线方程为x＝，对称轴为x轴，故A，D正确，B，C错误．故选AD.
8. ACD　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的方程可得，准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则AN＝4，FF′＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线BM＝＝6.由抛物线的定义知，MF＝MB＝6，结合题意知，MN＝MF＝6，故FN＝FM＋NM＝6＋6＝12，所以ON＝＝8，所以S△ONF＝×8×4＝16.故选ACD.
9. 　由题意，得点F，＝，解得PF＝.
10. x2＝4y　由抛物线x2＝2py(p>0)，得准线方程为y＝－.因为NF＝6，所以根据抛物线定义可知点N到准线的距离为6.又点N到x轴的距离为5，所以＝6－5，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y.
11. 4　由题意，得＋2＝4，解得p＝4，所以y2＝8x，所以y＝2×8＝16，解得y0＝4.
12. 若同时满足条件①②：
由FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
当OM＝ON时，MN＝2p，
所以OM＝ON＝p≠MN，
所以①②不同时成立；
若同时满足条件①③：
由FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
因为直线y＝6p不可能过点F，
所以①③不同时成立；
若同时满足②③：
因为OM＝ON＝MN＝8，直线MN的方程为y＝6p，
所以6p＝12，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
13. (1) 由题意，得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.
设点A(x，y)，由AF＝2，得x＋1＝2，解得x＝1，
将x＝1代入y2＝4x，得y＝±2，
所以点A的坐标为(1，2)或(1，－2).
(2) 设点A(x1，y1)，则x1≥0，y＝4x1，
则AB＝＝＝≥2，当且仅当x1＝2时，等号成立，
所以AB的最小值为2.
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
1. D　由题意，得＝3.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，故抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).
2. B　设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AF＋BF＝xA＋xB＋p＝3，则AB的中点C到y轴的距离d＝＝＝.
3. A　由抛物线的方程知抛物线的焦点为，通径长为2p，当AB垂直于x轴时，A，B两点的坐标为，此时ABmin＝2p<2，且p>0，即抛物线的焦点弦中，通径最短，所以04. D　设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，且PA2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝＋.因为y≤0，所以当y＝－时，PA2有最小值，所以PA的最小值为.
5. B　如图，过点M向准线作垂线，垂足为N，作FQ⊥MN.由题意，得四边形NQFT是矩形，故NQ＝TF＝p，NQ∥TF.因为∠OFM＝120°，所以∠QMF＝60°，则MQ＝MF，由抛物线定义，得MF＝MN＝4，所以p＋MF＝p＋2＝4，解得p＝2.
6. A　易知抛物线C的准线方程为x＝－6，如图，过点P作抛物线C的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义可知PK＝PF，所以PF＋PQ＝PK＋PQ≥QK＝6＋6＝12，当且仅当P，Q，K三点共线且QK⊥准线时，等号成立．故PF＋PQ的最小值为12.
7. AC　由抛物线C：y2＝4x的焦点为F，可得 F(1，0)，故D错误；因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以x0＋1＝4，所以x0＝3，故A正确；将 x0＝3代入抛物线方程，得y0＝±2，故B错误；OM＝＝，故C正确．故选AC.
8. ABD　对于A，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，所以p＝4，则F(2，0)，故A正确；对于B，当直线l的斜率不存在时，则l：x＝2，所以x1x2＝2×2＝4；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－2)，得消去y并整理，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4，故B正确；对于C，AB＝x1＋x2＋p＝5＋4＝9，故C错误；对于D，过点A，B，M分别向准线作垂线，垂足为A1，B1，M1，因为AA1＝AF，BB1＝BF，所以AB＝AF＋BF＝AA1＋BB1＝2MM1，即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确．故选ABD.
9. 2　如图，设抛物线的方程为y2＝2px.由题意，得抛物线过点，代入解得p＝4，故抛物线的焦点到顶点的距离为＝2.
10. 5　由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离即点A到准线y＝－1的距离，即4－(－1)＝5.
11. 　由抛物线的定义知，d＝PF，所以d－PA＝PF－PA≤AF＝＝，故当点P位于射线FA与抛物线交点时，取最大值.
12. (1) 因为抛物线E的顶点在原点，焦点为F(2，0)，
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2) 若k>0，不妨设QF＝a，则PF＝2a.
设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l，垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G，过点Q作QM⊥l，垂足为M.
由抛物线的定义，得PH＝PF＝2a，QM＝QF＝a，
所以PG＝a.
在Rt△PQG中，PG＝a，PQ＝3a，
所以由勾股定理可得QG＝2a，
所以k＝tan ∠QPG＝＝2.
同理可得当k<0时，k＝－2.
综上，k的值为±2.
13. (1) 由题意，得点A，B的坐标分别为A(－1，0)，B(1，0).
设点P的坐标为P(t，t2－1)，且t>1，
则k1＝＝t－1，k2＝＝t＋1，
所以k2－k1＝2为定值．
(2) 由直线PA，AD的位置关系知，kAD＝－k1＝1－t.
因为AD⊥PB，
所以kAD·k2＝(1－t)(t＋1)＝－1，解得t＝±.
因为P是第一象限内的点，所以t＝，则P(，1).
联立解得D，
所以△PAD的面积S＝AB·|yP－yD|＝1＋.