4.4　数学归纳法 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

4．4　数学归纳法*
4.4.1　数学归纳法(1)
一、 单项选择题
1 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)时，第一步应证明(　　)
A. f(2)＝1＋2 B. f(1)＝1
C. f(1)＝1＋2＋3 D. f(1)＝1＋2＋3＋4
2 (2025启东联考)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n+2＜2n+3(n∈N*)时，第一步需要验证的不等式是(　　)
A. 1＜24 B. 1＋2＜24
C. 1＋2＋22＜24 D. 1＋2＋22＋23＜24
3 (2024海门证大中学)用数学归纳法证明“2n≥n2(n∈N*，n≥4)”时，第二步应假设(　　)
A. 当n＝k(k∈N*，k≥2)时，2k≥k2成立
B. 当n＝k(k∈N*，k≥3)时，2k≥k2成立
C. 当n＝k(k∈N*，k≥4)时，2k≥k2成立
D. 当n＝k(k∈N*，k≥5)时，2k≥k2成立
4 用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋A. 2k-1 B. 2k－1
C. 2k D. 2k＋1
5 (2024南通一中月考)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6 用数学归纳法证明>对任意n＞k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7 已知关于自然数n的命题P(n)，由P(k)成立可以推出P(k＋1)成立，若P(6)不成立，则下列结论中不正确的是(　　)
A. P(7)一定不成立
B. P(5)可能成立
C. P(2)一定不成立
D. P(4)不一定成立
8 (2024盐城中学月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 用数学归纳法证明问题时，第一步不一定是验证当n＝1时结论成立
B. 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明
C. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项
D. 用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n+2＝2n+3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23
三、 填空题
9 已知x＞－1且x≠0，用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n＞1时，(1＋x)n＞1＋nx”，第一步应验证的不等式为________．
10 (2024启东一中月考)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝2n-1＋22n-1(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，左边增加的项数为________．
11 用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1) ＋f(2) ＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，n≥2)”时，第一步要证的式子是________．
四、 解答题
12 用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2).
13 (2024盐城中学月考)已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有an＋1＝.
(1) 直接写出a2，a3，a4的值；
(2) 猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
4．4.2　数学归纳法(2)
一、 单项选择题
1 用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n-1(n∈N*) 能被31整除时，从n＝k递推到n＝k＋1时，增加的项数共有(　　)
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
2 用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是(　　)
A. 3·7k+1＋6 B. 3·7k＋6
C. 3·7k－3 D. 3·7k+1－3
3 k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)(k≥3，k∈N*)为(　　)
A. f(k)＋k－1 B. f(k)＋k＋1
C. f(k)＋k D. f(k)＋k－2
4 已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到 n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为(　　)
A. 2k B. 2k＋2
C. D. k2＋k＋2
5 (2024如东中学月考)用数学归纳法证明“对任意偶数n，an－bn能被a－b整除”时，其第二步论证应该是(　　)
A. 假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝k＋1时命题也成立
B. 假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立
C. 假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立
D. 假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2(k＋1)时命题也成立
6 (2024启东中学月考)平面上n个圆最多把平面分成an个区域，通过归纳推理猜测an的表达式，再利用数学归纳法证明．用数学归纳法证明的过程中，当n＝k＋1时，需证ak＋1等于(　　)
A. ak＋k＋1 B. ak＋k2－k＋2
C. ak＋k(k＋1) D. ak＋2k
二、 多项选择题
7 已知一个命题F(k)，这里k＝2n(n∈N)，当n＝1，2，…，999时，F(k)成立，并且当n＝999＋1时它也成立，则下列命题中错误的是(　　)
A. F(k)对于k＝2 002成立
B. F(k)对于每一个自然数k成立
C. F(k)对于每一个偶数k成立
D. F(k)对于某些偶数可能不成立
8 已知正项数列{an}满足an＋1＜an－a(n∈N*)，则下列可用数学归纳法证明的正确的猜想是(　　)
A. an＜1 B. an＞1
C. an＜ D. an＞
三、 填空题
9 平面内有k条直线，设它们的交点个数为f(k)，若增加一条直线，则它们的交点个数最多为________．
10 (2024江安中学月考)用数学归纳法证明＞对任意n≥k(n，k∈N*)都成立，则k的最小值为________．
11 (2024高邮中学月考)用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．
四、 解答题
12 (2024白蒲中学月考)给出下列不等式：
1＞，
1＋＋＞1，
1＋＋＋＋＋＋＞，
1＋＋＋…＋＞2.
(1) 根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
(2) 用数学归纳法证明你的猜想．
13 已知数列{an}的通项公式为an＝，记该数列的前n项和为Sn.
(1) 计算S1，S2，S3，S4的值；
(2) 根据计算结果，猜想Sn的表达式，并进行证明．
4．4　数学归纳法*
4.4.1　数学归纳法(1)
1. D　n的初始值应为1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.
2. D　第一步需要验证的不等式是当n＝1时，1＋2＋22＋23＜24.
3. C　根据证明的结论，n≥4，故第二步的假设应写成假设n＝k(k∈N*，k≥4)时命题正确，即2k≥k2成立．
4. C　当n＝k时，不等式左边＝1＋＋＋…＋，而当n＝k＋1时，不等式左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共2k项．
5. D　当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52.故n0应取5.
6. B　当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，此时左边<右边，不等式不成立；当n＝2时，左边＝＝，右边＝＝，此时左边<右边，不等式不成立；当n＝3时，左边＝＝，右边＝＝，此时左边＞右边，不等式成立，所以用数学归纳法证明结论时，对任意n＞k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为2.
7. ABD　由P(6)不成立，无法得出P(7)是否成立，故A不正确；P(5)一定不成立，否则P(6)成立，故B不正确；P(2)一定不成立，否则P(6)成立，故C正确；由B，C可知P(4)一定不成立，故D不正确．故选ABD.
8. AD　对于A，数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立，故A正确；对于B，数学归纳法证明只是证明的一种方法，故B错误，对于C，项数都增加了多少项与等式和不等式的表达式有关，故C错误；对于D，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23，故D正确．故选AD.
9. (1＋x)2＞1＋2x　
10. 2k　左边增加的项为(2k＋1)＋(2k＋2)＋…＋2k+1，共2k+1－2k＝2k(项).
11. 2＋f(1)＝2f(2)　因为n≥2，所以n0＝2.观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2).
12. ①当n＝1时，左边＝2，
右边＝×1×2×3＝2，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＝k(k＋1)(k＋2)，
那么当n＝k＋1时，(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＋[(k＋1)2＋(k＋1)]
＝k(k＋1)(k＋2)＋[(k＋1)2＋(k＋1)]
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(1＋k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]，
故当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2).
13. (1) a2＝，a3＝，a4＝.
(2) 猜想：an＝(*).
下用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝＝1，(*)成立．
②假设当n＝k(k≥1)时，(*)成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，
故(*)对n＝k＋1也成立．
由①②知，对任意n∈N*，(*)成立，即an＝.
4．4.2　数学归纳法(2)
1. C　当n＝k时，1＋2＋22＋…＋25k-1；当n＝k＋1时，(1＋2＋22＋…＋25k-1)＋(25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4)，故n＝k递推到n＝k＋1共增加了5项．
2. A　假设当n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k+1－1－[(3k＋1)·7k－1]＝(3k＋4)·7k+1－(3k＋1)·7k＝[(3k＋1)＋3]·7k+1－(3k＋1)·7k＝(3k＋1)·7k+1＋3·7k+1－(3k＋1)·7k＝6·(3k＋1)·7k＋3·7k+1＝6·[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k+1＋6.因为(3k＋1)·7k－1能被9整除，所以要证上式能被9整除，还需证明3·7k+1＋6也能被9整除．
3. A　过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有(k－2)条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增(k－2)个对角面，而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k－2)＋1＝k－1(个)对角面，于是得f(k＋1)＝f(k)＋k－1，所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)＋k－1.
4. A　当n＝3时，这三个平面将空间分成了 8个部分；若n＝k，平面将空间分成f(k)个部分，再添加1个平面，与其他k个平面共有k条交线，此k条交线经过同一个点，将该平面分成2k个部分，每一部分将所在空间一分为二，故f(k＋1)＝f(k)＋2k.故增加的空间个数为2k.
5. D　根据证明的结论，n为正偶数，故第二步的假设应写成假设当n＝2k，k∈N*时命题成立，即当n＝2k，k∈N*时，a2k－b2k能被a－b整除，再推当n＝2k＋2时命题也成立．
6. D　一个圆分2个区域，2个圆分2＋1×2个区域，三个圆分2＋1×2＋2×2个区域，依此类推，n个圆分2＋1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2＝n(n－1)＋2个区域．归纳猜测an＝n2－n＋2.假设当n＝k(k≥1)时成立，即ak＝k2－k＋2，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋2k.
7. ABC　由题意，得F(k)对于1～2 000内的偶数均成立，而对于其他数不一定成立，故F(k)对于k＝2 002不一定成立，F(k)对于每一个自然数k不一定成立，F(k)对于每一个偶数k不一定成立，F(k)对于某些偶数可能不成立，故A，B，C均错误，D正确．故选ABC.
8. AC　因为数列{an}满足an＋1＜an－a(n∈N*)，所以an＋1＜an(1－an)(n∈N*).又因为数列的各项为正，所以1－an＞0，即0＜an＜1，故A正确，B错误；猜想an<，当n＝1时，a1＜1，a29. f(k)＋k　由已知，平面内有k条直线，设它们的交点个数为f(k)，若增加一条直线，即第k＋1条直线和前k条直线都相交时交点个数最多，增加了k个交点，则交点个数最多为f(k)＋k.
10. 3　当n＝1时，左边＝，右边＝，不等式不成立；当n＝2时，左边＝，右边＝，不等式不成立；当n＝3时，左边＝，右边＝，左边大于右边，不等式成立．故k的最小值为3.
11. (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6　(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.因为k(k＋1)为偶数，所以3k(k＋1)能被6整除，所以(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
12. (1) 根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论为1＋＋＋＋…＋＞(n∈N*).
(2) ①当n＝1时，则1＞显然成立；
②假设当n＝k时结论成立，即1＋＋＋＋…＋＞，
那么当n＝k＋1时，1＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋
＞＋
＞＋2k·＝＋
＞＋＝，
即当n＝k＋1时结论成立，
由①②知，对任意n∈N*结论成立．
13. (1) 因为an＝＝－，
所以S1＝－1，S2＝－＋－＝－1，
S3＝－＋－＋－＝－1＝1，
S4＝－＋－＋－＋－＝－1.
(2) 猜想Sn＝－1，n∈N*，用数学归纳法进行证明如下：
当n＝1时，S1＝－1＝－1，猜想正确；
假设当n＝k时，猜想正确，
即有Sk＝－1，
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－1＋－＝－1，
所以当n＝k＋1时，猜想也正确，
综上，Sn＝－1.