5.1.2 瞬时变化率——导数 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 5.1.2 瞬时变化率——导数 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 61.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 22:52:30 | ||
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文档简介
5．1.2 瞬时变化率——导数(1)
一、 单项选择题
1 (2024姜堰二中月考)已知函数f(x)的图象如图所示，点A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2，2＋Δx]且Δx无限趋近于0，则在点A处的切线斜率近似为( )
A. f(2) B. f(2＋Δx)
C. D. f(x0)
2 曲线y＝在点(1，1)处的切线的倾斜角α等于( )
A. B. C. D. －
3 (2024无锡一中月考)已知P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于－2，则曲线在点P处的切线方程为( )
A. y＝－2x＋1
B. y＝－2x－1
C. y＝－2x＋3
D. y＝－2x－2
4 已知f(x)＝－2x2，若曲线y＝f(x)在x＝a处的切线的斜率为－4，则实数a的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
5 若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，则下列结论中正确的是( )
A. a＝－1，b＝1
B. a＝1，b＝－1
C. a＝－2，b＝1
D. a＝2，b＝－1
6 (2024海安中学月考)若曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点的坐标为( )
A. (2，2) B. (2，－2)
C. (－2，2) D. (－2，－2)
二、 多项选择题
7 已知曲线y＝f(x)在点(1，3)处的切线过点(0，2)，设曲线y＝f(x)在点(1，3)处切线的斜率为k，则下列结论中不正确的是( )
A. f(1)＝3 B. k＝1
C. f(0)＝2 D. k＝0
8 过点P(－2，1)的直线与函数f(x)＝x3＋1的图象相切于点Q(x0，y0)，则x0的值可以是( )
A. 0 B. 2
C. 3 D. －3
三、 填空题
9 (2024兴化中学月考)过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．
10 若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________．
11 曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为________．
四、 解答题
12 (2024海门实验中学月考)用割线逼近切线的方法，分别求曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率．
13 求曲线y＝2x－x3在点Q(－1，－1)处的切线方程及该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积．
5．1.2 瞬时变化率——导数(2)
一、 单项选择题
1 (2024内蒙古赤峰期末)某物体运动的位移随时间变化的函数是S＝f(t)，已知t0 时刻该物体的瞬时速度为a，则当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数( )
A. －2a B. 2a C. a D.
2 (2024如东中学月考)已知一质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则当Δt无限趋近于0时，表示( )
A. t＝1时的速度
B. t＝1时的加速度
C. t＝1时的位移
D. t＝1时的平均速度
3 (2024启东联考)若质点按规律S＝2t3运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为( )
A. 6 B. 18 C. 54 D. 81
4 如果函数y＝在x＝x0处的瞬时变化率为－1，那么x0的值为( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. ±2
5 (2024重庆十一中期中)已知某物体的运动方程为S(t)＝4t2＋2(位移单位：m，时间单位： s)，若当Δt无限趋近于0时，无限趋近于24，则下列说法中正确的是( )
A. 24 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B. 24 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C. 24 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D. 24 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
6 (2024兴化中学月考)火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.6t2＋0.4t，则当火车加速度为2.8 m/s2时，刚好开出了( )
A. s B. 2 s C. s D. s
二、 多项选择题
7 在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)的函数关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则下列说法中正确的是( )
A. 运动员在t＝1 s时的瞬时速度是3.3m/s
B. 运动员在t＝1 s时的瞬时速度是－3.3m/s
C. 运动员在t＝1 s附近以3.3m/s的速度上升
D. 运动员在t＝1 s附近以3.3m/s的速度下降
8 (2024东莞一中月考)如图，显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法中正确的是( )
A. 在t0处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B. 在t0处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C. 在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
三、 填空题
9 (2024镇江一中月考)已知一物体的运动方程为S＝3t2－2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
10 函数f(x)＝－ 在x＝1 处的瞬时变化率是________．
11 已知函数f(x)＝x2＋2x在区间[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在区间[2，3]上的平均变化率的2倍，则实数a的值为________；估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为________．
四、 解答题
12 (2024江安中学月考)一作直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2.
(1) 求t＝0到t＝2时的平均速度；
(2) 求此物体在t＝2时的瞬时速度．
13 已知长方形的周长为10，一边长为x，其面积为S.
(1) 写出S关于x的函数关系式；
(2) 当x从1增加到1＋Δx时，面积S改变了多少？此时面积S关于x的平均变化率是多少？
(3) 当一边长从x增加到x＋Δx时，面积S改变了多少？此时面积S关于x的平均变化率是多少？
(4) 在x＝1处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？并解释它的实际意义；
(5) 在x＝x0处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？并解释它的实际意义．
5．1.2 瞬时变化率——导数(3)
一、 单项选择题
1 (2024泰兴中学月考)函数在某一点处的导数是( )
A. 在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比
B. 一个函数
C. 一个常数
D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
2 (2024如东一中月考)已知某质点的运动方程为S＝2t2－t，则S′(2)等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
3 (2024南京一中期末)若 ＝6，则f′(2)的值为( )
A. B. 6 C. 3 D. －3
4 已知函数f(x)在R上可导，若f′(2)＝3，则 等于( )
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
5 (2025南通一中月考)已知函数f(x)＝，则f′(2)的值为( )
A. －2 B. －4 C. － D. －
6 (2024石家庄一中期末)设f(x)是可导函数，且 ＝2，则f′(1)的值为( )
A. 2 B. C. －1 D. －2
二、 多项选择题
7 对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有( )
A. B.
C. D.
8 (2024海门中学月考)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线的倾斜角为的是( )
A. (0，0) B. (1，－1)
C. (－1，1) D. (1，1)
三、 填空题
9 (2024天一中学月考)函数y＝2x＋1在x＝1处的导数为________．
10 已知函数f(x)为可导函数，且有 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为________．
11 已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝10x＋x2，求：
(1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2) ；
(3) ；
(4)f′(x)，f′(5)，f′(0)的值．
13 已知曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，求a的值．
5．1.2 瞬时变化率——导数(1)
1. C 由两点割线的斜率，得当Δx无限趋近于0时，函数f(x)在点A处的切线斜率近似为.
2. C 因为＝＝.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数－1，所以曲线在点(1，1)处的切线的倾斜角α＝.
3. B 由题意，得在点P处切线的斜率为－2，所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理，得y＝－2x－1.
4. A 设点P(a，－2a2)，Q(a＋Δx，－2(a＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－4a－2Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－4a，所以－4a＝－4，解得a＝1.
5. B 由题意，得＝＝2＋a＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2＋a，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为2＋a.因为曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，所以2＋a＝3，解得a＝1.又因为点(1，1)在曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b上，所以1＋a＋b＝1，解得b＝－1，所以a＝1，b＝－1.
6. B 设切点的坐标为(x0，y0)，＝＝＝Δx＋2x0－3，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0－3，即k＝2x0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2.故切点的坐标为(2，－2).
7. CD 因为切点为(1，3)，所以f(1)＝3，故A正确；因为(0，2)为切线上的点，不一定为切点，故C错误；由切线经过点(1，3)和(0，2)，得切线斜率k＝＝1，故B正确，D错误．故选CD.
8. AD 因为＝＝3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2，所以当Δx无限趋近于0时，3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2无限趋近于3x，所以函数 f(x)在点Q(x0，y0)处切线的斜率为3x.由题意，得切线PQ的斜率为k＝＝，所以3x＝，解得x0＝0或x0＝－3.故选AD.
9. 4.1 由题意，得kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1.
10. －1 设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0(Δx)＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4x0，所以4x0＝4，解得x0＝1，则y0＝3.将点(1，3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1.
11. x－2y＋1＝0 因为＝＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率为，故切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
12. 设点P(x0，x)，Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2)，
则割线PQ的斜率kPQ＝＝＝＝2x0＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0，
故曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率分别为0，－4，6.
13. 因为点Q(－1，－1)在曲线上，设另一点为P(－1＋Δx，2(－1＋Δx)－(－1＋Δx)3)，
则kPQ＝
＝－1＋3Δx－(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，
所以曲线在点Q(－1，－1)处的切线斜率为－1，
则切线方程为x＋y＋2＝0，
所以该切线与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，－2)，
则该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积为×2×2＝2.
5．1.2 瞬时变化率——导数(2)
1. C 由瞬时速度的定义，得当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数，这个常数即为该物体在t0 时刻的瞬时速度，故该常数为a.
2. B 当Δt无限趋近于0时，表示t＝1时刻的加速度．
3. C 因为＝＝＝2(Δt)2＋18Δt＋54，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于54.故该质点在t＝3时的瞬时速度为54.
4. C 因为＝＝－，所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－，则－＝－1，解得x0＝±1.
5. C 由题意结合瞬时速度的定义可知C正确．
6. B 由题意，得＝＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于0.4＋1.2t，由0.4＋1.2t＝2.8，得t＝2.
7. BD 由题意，得h(1)＝－4.9＋6.5＋10＝11.6.因为＝＝－4.9Δt－3.3，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－3.3，即运动员在t＝1 s时的瞬时速度为 －3.3 m /s，所以该运动员在t＝1 s附近以3.3 m/s的速度下降．故选BD.
8. AC 对于A，B，由图象可得在t0处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误；对于C，D，在t0到t1范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误．故选AC.
9. 由题意，得＝＝6t＋3Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6t.因为瞬时速度为1，所以6t＝1，解得t＝.
10. 6 因为＝＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于6，所以函数f(x)＝－ 在x＝1 处的瞬时变化率是6.
11. 2 6 由题意，得函数f(x)在区间[0，a]上的平均变化率为＝＝a＋2，函数 g(x) 在区间[2，3]上的平均变化率为＝＝2.由题意知，a＋2＝2×2，所以 a＝2.函数f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝Δx＋6.当Δx无限趋近于0时，Δx＋6无限趋近于6，故估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为6.
12. (1) ＝＝＝1(m/s).
(2) ＝＝－Δt－1.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－1，
所以此物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s.
13. (1) 长方形的周长为10，一边长为x，则另一边长为5－x，
所以此长方形的面积S＝x(5－x)，0(2) 当x从1增加到1＋Δx时，
面积S的改变量为ΔS＝(1＋Δx)(4－Δx)－1×4＝3Δx－(Δx)2.
因为＝3－Δx，
所以此时面积S关于x的平均变化率是3－Δx.
(3) 当一边长从x增加到x＋Δx时，
面积S的改变量为ΔS＝(x＋Δx)(5－x－Δx)－x(5－x)＝－2x(Δx)＋5Δx－(Δx)2.
因为＝－2x＋5－Δx，
所以此时面积S关于x的平均变化率是－2x＋5－Δx.
(4) 由(2)可得，当Δx无限趋近于0时，无限趋于3，即面积S关于x的瞬时变化率是3，
它的实际意义是：在x＝1时，面积的增加速度为3.
(5) 由(3)可得，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－2x0＋5，即面积S关于x的瞬时变化率是－2x0＋5，
它的实际意义是：在x＝x0时，面积的增加速度为 －2x0＋5.
5．1.2 瞬时变化率——导数(3)
1. C
2. C 由题意，得S′(2)＝ ＝ ＝ (7＋2Δt)＝7.
3. B 由题意，得 ＝f′(2)＝6.
4. A 由题意，得 ＝4× ＝4f′(2)＝12.
5. D 由导数的定义，得f′(2)＝ ＝ ＝－ ＝－.
6. B 因为 ＝3× ＝2，所以 ＝，所以f′(1)＝ ＝ ＝.
7. AD 因为 ＝f′(x0)＝2，故A正确；因为 ＝f′(x0)＝1，故B错误；因为 ＝2f′(x0)＝4，故C错误；因为 ＝f′(x0)＝2，故D正确．故选AD.
8. BC 设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ ＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1；当x0＝－1时，y0＝1.故选BC.
9. 2 由导数的定义可知函数y＝2x＋1在x＝1处的导数为 ＝2.
10. 2 由 ＝－1，得k＝f′(1)＝ ＝－2 ＝2.
11. 3 因为M(1，f(1))是切点，所以点M在切线上，所以f(1)＝＋2＝.因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线的方程是y＝x＋2，所以切线斜率是，即f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
12. (1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝10(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－10x－x2
＝10Δx＋2x(Δx)＋(Δx)2.
(2) ＝＝10＋2x＋Δx.
(3) ＝ (10＋2x＋Δx)＝10＋2x.
(4) 由(2)知，f′(x)＝ ＝10＋2x，
则f′(5)＝10＋2×5＝20，f′(0)＝10＋2×0＝10.
13. 因为＝＝2a＋a(Δx)，
所以当Δx→0时，2a＋a(Δx)→2a，
即 ＝[2a＋a(Δx)]＝2a，
所以曲线在点(1，a)处切线的斜率为2a.
又切线与直线2x－y－6＝0平行，
所以2a＝2，解得a＝1.
一、 单项选择题
1 (2024姜堰二中月考)已知函数f(x)的图象如图所示，点A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2，2＋Δx]且Δx无限趋近于0，则在点A处的切线斜率近似为( )
A. f(2) B. f(2＋Δx)
C. D. f(x0)
2 曲线y＝在点(1，1)处的切线的倾斜角α等于( )
A. B. C. D. －
3 (2024无锡一中月考)已知P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于－2，则曲线在点P处的切线方程为( )
A. y＝－2x＋1
B. y＝－2x－1
C. y＝－2x＋3
D. y＝－2x－2
4 已知f(x)＝－2x2，若曲线y＝f(x)在x＝a处的切线的斜率为－4，则实数a的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
5 若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，则下列结论中正确的是( )
A. a＝－1，b＝1
B. a＝1，b＝－1
C. a＝－2，b＝1
D. a＝2，b＝－1
6 (2024海安中学月考)若曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点的坐标为( )
A. (2，2) B. (2，－2)
C. (－2，2) D. (－2，－2)
二、 多项选择题
7 已知曲线y＝f(x)在点(1，3)处的切线过点(0，2)，设曲线y＝f(x)在点(1，3)处切线的斜率为k，则下列结论中不正确的是( )
A. f(1)＝3 B. k＝1
C. f(0)＝2 D. k＝0
8 过点P(－2，1)的直线与函数f(x)＝x3＋1的图象相切于点Q(x0，y0)，则x0的值可以是( )
A. 0 B. 2
C. 3 D. －3
三、 填空题
9 (2024兴化中学月考)过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．
10 若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________．
11 曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为________．
四、 解答题
12 (2024海门实验中学月考)用割线逼近切线的方法，分别求曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率．
13 求曲线y＝2x－x3在点Q(－1，－1)处的切线方程及该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积．
5．1.2 瞬时变化率——导数(2)
一、 单项选择题
1 (2024内蒙古赤峰期末)某物体运动的位移随时间变化的函数是S＝f(t)，已知t0 时刻该物体的瞬时速度为a，则当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数( )
A. －2a B. 2a C. a D.
2 (2024如东中学月考)已知一质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则当Δt无限趋近于0时，表示( )
A. t＝1时的速度
B. t＝1时的加速度
C. t＝1时的位移
D. t＝1时的平均速度
3 (2024启东联考)若质点按规律S＝2t3运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为( )
A. 6 B. 18 C. 54 D. 81
4 如果函数y＝在x＝x0处的瞬时变化率为－1，那么x0的值为( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. ±2
5 (2024重庆十一中期中)已知某物体的运动方程为S(t)＝4t2＋2(位移单位：m，时间单位： s)，若当Δt无限趋近于0时，无限趋近于24，则下列说法中正确的是( )
A. 24 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B. 24 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C. 24 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D. 24 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
6 (2024兴化中学月考)火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.6t2＋0.4t，则当火车加速度为2.8 m/s2时，刚好开出了( )
A. s B. 2 s C. s D. s
二、 多项选择题
7 在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)的函数关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则下列说法中正确的是( )
A. 运动员在t＝1 s时的瞬时速度是3.3m/s
B. 运动员在t＝1 s时的瞬时速度是－3.3m/s
C. 运动员在t＝1 s附近以3.3m/s的速度上升
D. 运动员在t＝1 s附近以3.3m/s的速度下降
8 (2024东莞一中月考)如图，显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法中正确的是( )
A. 在t0处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B. 在t0处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C. 在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
三、 填空题
9 (2024镇江一中月考)已知一物体的运动方程为S＝3t2－2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
10 函数f(x)＝－ 在x＝1 处的瞬时变化率是________．
11 已知函数f(x)＝x2＋2x在区间[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在区间[2，3]上的平均变化率的2倍，则实数a的值为________；估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为________．
四、 解答题
12 (2024江安中学月考)一作直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2.
(1) 求t＝0到t＝2时的平均速度；
(2) 求此物体在t＝2时的瞬时速度．
13 已知长方形的周长为10，一边长为x，其面积为S.
(1) 写出S关于x的函数关系式；
(2) 当x从1增加到1＋Δx时，面积S改变了多少？此时面积S关于x的平均变化率是多少？
(3) 当一边长从x增加到x＋Δx时，面积S改变了多少？此时面积S关于x的平均变化率是多少？
(4) 在x＝1处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？并解释它的实际意义；
(5) 在x＝x0处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？并解释它的实际意义．
5．1.2 瞬时变化率——导数(3)
一、 单项选择题
1 (2024泰兴中学月考)函数在某一点处的导数是( )
A. 在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比
B. 一个函数
C. 一个常数
D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
2 (2024如东一中月考)已知某质点的运动方程为S＝2t2－t，则S′(2)等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
3 (2024南京一中期末)若 ＝6，则f′(2)的值为( )
A. B. 6 C. 3 D. －3
4 已知函数f(x)在R上可导，若f′(2)＝3，则 等于( )
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
5 (2025南通一中月考)已知函数f(x)＝，则f′(2)的值为( )
A. －2 B. －4 C. － D. －
6 (2024石家庄一中期末)设f(x)是可导函数，且 ＝2，则f′(1)的值为( )
A. 2 B. C. －1 D. －2
二、 多项选择题
7 对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有( )
A. B.
C. D.
8 (2024海门中学月考)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线的倾斜角为的是( )
A. (0，0) B. (1，－1)
C. (－1，1) D. (1，1)
三、 填空题
9 (2024天一中学月考)函数y＝2x＋1在x＝1处的导数为________．
10 已知函数f(x)为可导函数，且有 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为________．
11 已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝10x＋x2，求：
(1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2) ；
(3) ；
(4)f′(x)，f′(5)，f′(0)的值．
13 已知曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，求a的值．
5．1.2 瞬时变化率——导数(1)
1. C 由两点割线的斜率，得当Δx无限趋近于0时，函数f(x)在点A处的切线斜率近似为.
2. C 因为＝＝.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数－1，所以曲线在点(1，1)处的切线的倾斜角α＝.
3. B 由题意，得在点P处切线的斜率为－2，所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理，得y＝－2x－1.
4. A 设点P(a，－2a2)，Q(a＋Δx，－2(a＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－4a－2Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－4a，所以－4a＝－4，解得a＝1.
5. B 由题意，得＝＝2＋a＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2＋a，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为2＋a.因为曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，所以2＋a＝3，解得a＝1.又因为点(1，1)在曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b上，所以1＋a＋b＝1，解得b＝－1，所以a＝1，b＝－1.
6. B 设切点的坐标为(x0，y0)，＝＝＝Δx＋2x0－3，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0－3，即k＝2x0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2.故切点的坐标为(2，－2).
7. CD 因为切点为(1，3)，所以f(1)＝3，故A正确；因为(0，2)为切线上的点，不一定为切点，故C错误；由切线经过点(1，3)和(0，2)，得切线斜率k＝＝1，故B正确，D错误．故选CD.
8. AD 因为＝＝3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2，所以当Δx无限趋近于0时，3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2无限趋近于3x，所以函数 f(x)在点Q(x0，y0)处切线的斜率为3x.由题意，得切线PQ的斜率为k＝＝，所以3x＝，解得x0＝0或x0＝－3.故选AD.
9. 4.1 由题意，得kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1.
10. －1 设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0(Δx)＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4x0，所以4x0＝4，解得x0＝1，则y0＝3.将点(1，3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1.
11. x－2y＋1＝0 因为＝＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率为，故切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
12. 设点P(x0，x)，Q(x0＋Δx，(x0＋Δx)2)，
则割线PQ的斜率kPQ＝＝＝＝2x0＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0，
故曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率分别为0，－4，6.
13. 因为点Q(－1，－1)在曲线上，设另一点为P(－1＋Δx，2(－1＋Δx)－(－1＋Δx)3)，
则kPQ＝
＝－1＋3Δx－(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，
所以曲线在点Q(－1，－1)处的切线斜率为－1，
则切线方程为x＋y＋2＝0，
所以该切线与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，－2)，
则该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积为×2×2＝2.
5．1.2 瞬时变化率——导数(2)
1. C 由瞬时速度的定义，得当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数，这个常数即为该物体在t0 时刻的瞬时速度，故该常数为a.
2. B 当Δt无限趋近于0时，表示t＝1时刻的加速度．
3. C 因为＝＝＝2(Δt)2＋18Δt＋54，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于54.故该质点在t＝3时的瞬时速度为54.
4. C 因为＝＝－，所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－，则－＝－1，解得x0＝±1.
5. C 由题意结合瞬时速度的定义可知C正确．
6. B 由题意，得＝＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于0.4＋1.2t，由0.4＋1.2t＝2.8，得t＝2.
7. BD 由题意，得h(1)＝－4.9＋6.5＋10＝11.6.因为＝＝－4.9Δt－3.3，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－3.3，即运动员在t＝1 s时的瞬时速度为 －3.3 m /s，所以该运动员在t＝1 s附近以3.3 m/s的速度下降．故选BD.
8. AC 对于A，B，由图象可得在t0处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误；对于C，D，在t0到t1范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误．故选AC.
9. 由题意，得＝＝6t＋3Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6t.因为瞬时速度为1，所以6t＝1，解得t＝.
10. 6 因为＝＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于6，所以函数f(x)＝－ 在x＝1 处的瞬时变化率是6.
11. 2 6 由题意，得函数f(x)在区间[0，a]上的平均变化率为＝＝a＋2，函数 g(x) 在区间[2，3]上的平均变化率为＝＝2.由题意知，a＋2＝2×2，所以 a＝2.函数f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝Δx＋6.当Δx无限趋近于0时，Δx＋6无限趋近于6，故估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为6.
12. (1) ＝＝＝1(m/s).
(2) ＝＝－Δt－1.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－1，
所以此物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s.
13. (1) 长方形的周长为10，一边长为x，则另一边长为5－x，
所以此长方形的面积S＝x(5－x)，0
面积S的改变量为ΔS＝(1＋Δx)(4－Δx)－1×4＝3Δx－(Δx)2.
因为＝3－Δx，
所以此时面积S关于x的平均变化率是3－Δx.
(3) 当一边长从x增加到x＋Δx时，
面积S的改变量为ΔS＝(x＋Δx)(5－x－Δx)－x(5－x)＝－2x(Δx)＋5Δx－(Δx)2.
因为＝－2x＋5－Δx，
所以此时面积S关于x的平均变化率是－2x＋5－Δx.
(4) 由(2)可得，当Δx无限趋近于0时，无限趋于3，即面积S关于x的瞬时变化率是3，
它的实际意义是：在x＝1时，面积的增加速度为3.
(5) 由(3)可得，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－2x0＋5，即面积S关于x的瞬时变化率是－2x0＋5，
它的实际意义是：在x＝x0时，面积的增加速度为 －2x0＋5.
5．1.2 瞬时变化率——导数(3)
1. C
2. C 由题意，得S′(2)＝ ＝ ＝ (7＋2Δt)＝7.
3. B 由题意，得 ＝f′(2)＝6.
4. A 由题意，得 ＝4× ＝4f′(2)＝12.
5. D 由导数的定义，得f′(2)＝ ＝ ＝－ ＝－.
6. B 因为 ＝3× ＝2，所以 ＝，所以f′(1)＝ ＝ ＝.
7. AD 因为 ＝f′(x0)＝2，故A正确；因为 ＝f′(x0)＝1，故B错误；因为 ＝2f′(x0)＝4，故C错误；因为 ＝f′(x0)＝2，故D正确．故选AD.
8. BC 设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ ＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1；当x0＝－1时，y0＝1.故选BC.
9. 2 由导数的定义可知函数y＝2x＋1在x＝1处的导数为 ＝2.
10. 2 由 ＝－1，得k＝f′(1)＝ ＝－2 ＝2.
11. 3 因为M(1，f(1))是切点，所以点M在切线上，所以f(1)＝＋2＝.因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线的方程是y＝x＋2，所以切线斜率是，即f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
12. (1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝10(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－10x－x2
＝10Δx＋2x(Δx)＋(Δx)2.
(2) ＝＝10＋2x＋Δx.
(3) ＝ (10＋2x＋Δx)＝10＋2x.
(4) 由(2)知，f′(x)＝ ＝10＋2x，
则f′(5)＝10＋2×5＝20，f′(0)＝10＋2×0＝10.
13. 因为＝＝2a＋a(Δx)，
所以当Δx→0时，2a＋a(Δx)→2a，
即 ＝[2a＋a(Δx)]＝2a，
所以曲线在点(1，a)处切线的斜率为2a.
又切线与直线2x－y－6＝0平行，
所以2a＝2，解得a＝1.