河北省黄骅中学2015-2016学年高二下学期第二次月考数学试题

黄骅中学2015－2016年度高中二年级第二学期第二次月考
数学试卷（理科）
命题人：
审定人：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至
2页，第Ⅱ卷
3至
4页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（客观题
共60分）
注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。
一、选择题（每题5分，共60分）
1．复数z＝的共轭复数是
(　　)
A．2＋i
B．2－i
C．－1＋i
D．－1－i
2．点M的球坐标化为直角坐标为(　　)
A．(1,0,0)
B.
C.
D.
3.下列表述正确的是
(　　)
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.②③⑤
B.②③④
C.①③④
D.①③⑤
4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)分别是(　　)
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
6.
小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式的种数有（
）.
A．212
B．37
C．27
D．18
7.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
8．直线的参数方程是（
）
A
（t为参数）
B
（t为参数）
C
（t为参数）
D
（t为参数）
9．直线l的方程：(t为参数)，那么直线l的倾斜角为(　　)
A．25°
B．65°
C．115°
D．155°
10.
一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
11.若实数满足，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
12.
已知，则等于(　　)
A．180
B．90
C．5
D．－5
黄骅中学2015－2016年度高中二年级第二学期第二次月考
数学试卷（理科）
第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：第Ⅱ卷共2
页，用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上。
二、填空题（每题5分，共20分）
13．参数方程（为参数）化为普通方程是
.
14.
极坐标方程ρ＝2cos表示图形的面积是
.
15.
设,且满足:,,则_______.
16．若直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为
.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（
本题满分10分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
19.
（本小题满分12分）有4名男生和2名女生，从中选出3人担任3门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数。
(1)至少有一个女生担任课代表；
(2)某女生一定要担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
20．（本小题满分12分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
21.
（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cos
θ－sin
θ)＝6.
(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程．
(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
22.（
本题满分12分）若,
其中.
(1)求及;
(2)试比较与的大小,并说明理由.
数学试卷答案
选择题DCDBB
BCCCD
AA
填空题13.
14.
2π
15.
16.
.＋
解答题
17.（
本题满分10分）
解：（1）原不等式等价于：
解得，不等式的解集为.
5分
(2)不等式等价于
因为，所以的最小值为4.
8分
于是，
所以
10分
18.（本小题满分12分）
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，
所以y＝－2.
2分
因为＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，且为实数，
所以x＝4，
4分
所以z＝4－2i，
所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知
8分
解得2＜a＜6，
所以实数a的取值范围是(2,6)．
10分
19.
（本小题满分12分）
解　(1)符合条件的课代表人员的选法有(种，排列方法有种，所以满足题意的选法有
(种)．
4分
(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的5名学生担任两科的课代表，有
(种)选法．8分
(3)从剩余的5名学生中选出2名有种选法，排列方法有种，所以选法共有
(种)．
12分
20．（本小题满分12分）解：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：
1分
①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟
4分
所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22。
6分
（2）X所有可能的取值为：0，1，2
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
7分
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，8分
所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列为
10分
期望：EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51
12分
21.
（本小题满分12分）
[解]　(1)由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x－y－6＝0.
2分
∵C2：，
4分
∴C2的参数方程为
(θ为参数)．
6分
(2)设P(cos
θ，2sin
θ)，则点P到直线l的距离为：
d＝
＝，
8分
∴当sin(60°－θ)＝－1，
即点P时，
10分
此时dmax＝＝2.
12分
22.（
本题满分12分）
⑴取,则;取,则,
∴;
4分
⑵要比较与的大小,即比较:与的大小,
当时,;
当时,;
当时,;
6分
猜想:当时,,下面用数学归纳法证明:
由上述过程可知,时结论成立,
假设当时结论成立,即,
两边同乘以得,而,所以.
即时结论也成立.
故当时,成立.
12分
得分
阅卷人