5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
一、 单项选择题
1 (2024通州中学月考)记函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)=ex sin x,则f′(x)等于( )
A. ex sin x-ex cos x B. ex sin x+ex cos x
C. ex cos x D. ex+cos x
2 (2024如东中学月考)曲线f(x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3 已知函数f(x)=2x3-mex(m∈R),则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线经过定点( )
A. (-1,0) B. (0,0) C. (1,0) D. (2,0)
4 已知函数f(x)=+ax,若f′(0)=2,则f(2)的值为( )
A. B. 2
C. D. 3
5 (2024姜堰中学月考)设f(x)=x ln x,若f′(x0)=2,则x0等于( )
A. e2 B. e
C. D. ln 2
6 (2024启东中学月考)设f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为( )
A. (0,+∞) B. (-1,0)∪(2,+∞)
C. (2,+∞) D. (-1,0)
二、 多项选择题
7 (2024临沂期末)下列求导运算中,正确的是( )
A. [cos (-x)]′=sin x
B. ′=
C. ()′=x
D. (1-x3)′=1-3x2
8 (2024南通一中月考)当函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0时,x0的值可以是( )
A. a B. 0 C. -a D. a2
三、 填空题
9 (2024盐城中学月考)已知函数f(x)=(x2+2x),则f′(1)=________.
10 (2024苏州十中月考)已知函数f(x)=f′cos x+sin x,则f的值为________.
11 若函数f(x)=ln x+2x2+bx+1图象上任意一点的切线的斜率都大于0,则实数b的取值范围为________.
四、 解答题
12 (2024常熟中学月考)求下列函数的导数:
(1) y=(x2+9);
(2) y=.
13 已知a为实数,函数f(x)=(x-a).
(1) 若f′(1)=0,求实数a的值;
(2) 若a=3,求函数f(x)的图象在x=4处的切线方程.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1. B
2. B 因为f′(x)=x2-2x,所以k=f′(1)=-1,所以曲线在x=1处的切线的倾斜角为.
3. A 因为f(x)=2x3-mex,所以f′(x)=6x2-mex,则f′(0)=-m.又f(0)=-m,则切线方程为y+m=-mx,即y=-m(x+1).令x+1=0,得y=0,即切线不受参数m的影响,恒过定点(-1,0).
4. A f(x)=+ax,则f′(x)=+a.因为f′(0)=2,所以f′(0)=1+a=2,解得a=1,所以f(x)=+x,所以f(2)=+2=.
5. B 因为f(x)=x ln x,所以f′(x)=ln x+1.由f′(x0)=2,得ln x0+1=2,即ln x0=1,解得x0=e.
6. C 由题意,得f(x)的定义域为(0,+∞).又由f′(x)=2x-2-=>0,解得x>2,所以f′(x)>0的解集为(2,+∞).
7. BC 对于A,′=(cos x)′=-sin x,故A错误;对于B,′==,故B正确;对于C,()′=(x)′=x,故C正确;对于D, (1-x3)′=-3x2,故D错误.故选BC.
8. AC 由题意,得y′=′==.由x-a2=0,得x0=±a.故选AC.
9. 因为f′(x)=(2x+2)+,所以f′(1)=4+=.
10. 1 因为f′(x)=-f′sin x+cos x,所以f′=-f′×+,得f′=-1,所以f(x)=(-1)cos x+sin x,所以f =1.
11. (-4,+∞) 函数f(x)=ln x+2x2+bx+1的定义域为(0,+∞),求导得f′(x)=+4x+b.由题意,得 x>0,f′(x)>0.因为+4x+b≥2+b=4+b,当且仅当=4x,即x=时取等号,所以4+b>0,解得b>-4,故实数b的取值范围为(-4,+∞).
12. (1) y=x3+6x-,y′=3x2++6.
(2) y′===.
13. (1) 由题意,得函数的定义域为[0,+∞),
f′(x)=+=(x>0).
因为f′(1)=0,即=0,所以a=3.
(2) 当a=3时,f(x)=(x-3),f′(x)=,
所以f′(4)=,f(4)=2,
所以函数f(x)的图象在x=4处的切线方程为 y-2=(x-4),即y=x-7.