5.2.3 简单的复合函数的导数 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 5.2.3 简单的复合函数的导数 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 32.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 22:58:10 | ||
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文档简介
5．2.3 简单的复合函数的导数
一、 单项选择题
1 函数y＝cos 2x的导函数为( )
A. y′＝sin 2x B. y′＝－sin 2x
C. y′＝2sin 2x D. y′＝－2sin 2x
2 (2024南通中学月考)设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于( )
A. ln 3 B. －ln 3
C. D. －
3 已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象在 x＝5处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
4 (2024天一中学月考)函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于( )
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
5 函数f(x)＝e4x－x－2的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A. 3x＋y＋1＝0 B. 3x＋y－1＝0
C. 3x－y＋1＝0 D. 3x－y－1＝0
6 (2024泰兴中学月考)曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D. 1
二、 多项选择题
7 (2024如东一中月考)下列函数是复合函数的是( )
A. y＝－x3－＋1 B. y＝cos
C. y＝ D. y＝(2x＋3)4
8 (2024启东中学月考)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的值可以是( )
A. B. C. D.
三、 填空题
9 (2024海安期末)函数f(x)＝sin 在x＝3处的导数f′(3)＝________．
10 已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为________．
11 (2024银滩高级中学月考)烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20 ℃，加热后的温度函数T(t)＝100－ke-0.1t(k是常数，t表示加热的时间，单位：min)，加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是________℃/min.
四、 解答题
12 (2024常熟中学月考)求下列函数的导数：
(1) y＝ln (ex＋x2)；
(2) y＝102x+3；
(3) y＝；
(4) y＝sin 2x cos 3x.
13 已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x).
(1) 求f(x)的导数；
(2) 求f(x)的图象在点处的切线方程．
5．2.3 简单的复合函数的导数
1. D y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.
2. C 由题意，得f′(x)＝，故f′(2)＝.
3. D 由题意，得f′(x)＝，则f′(5)＝＝，即函数f(x)的图象在x＝5处切线的斜率为.
4. A 由题意，得f′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负值舍去).
5. D 由题意，得f′(x)＝4e4x－1，所以k＝f′(0)＝3.因为f(0)＝－1，所以切线方程为y＋1＝3x，即 3x－y－1＝0.
6. A 由题意，得y′＝e-2x·(－2)＝－2e-2x，在点(0，2)处的切线斜率k＝－2e-2×0＝－2，所以曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与y＝0的交点坐标是(1，0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.
7. BCD 显然A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，对于B，函数由y＝cos u，u＝x＋复合而成；对于C，函数由y＝，u＝ln x复合而成；对于D，函数由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．故选BCD.
8. CD 因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，所以y′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈.故选CD.
9. 0 由题意，得f′(x)＝cos ，故f′(3)＝cos ＝0.
10. 2 由y＝ln (x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，x0＋1)，则解得a＝2.
11. 因为初始温度为20 ℃，所以T(0)＝100－k＝20，解得k＝80，所以T(t)＝100－80e-0.1t，则T′(t)＝8e-0.1t，故T′(10)＝，即加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是 ℃/min.
12. (1) 令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2) 令u＝2x＋3，则y＝10u，
所以y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x+3.
(3) 设y＝u－，u＝1－x2，
则y′x＝′(1－x2)′＝－u－·(－2x)＝x(1－x2)－.
(4) 因为y＝sin 2x cos 3x，
所以y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2x cos 3x－3sin 2x sin 3x.
13. (1) 因为f(x)＝(3x＋1)2ln (3x)，
所以f′(x)＝2(3x＋1)×3ln (3x)＋(3x＋1)2×＝6(3x＋1)ln (3x)＋.
(2) 由f′(x)＝6(3x＋1)ln (3x)＋，得 f′＝6×ln ＋＝12，
所以f(x)的图象在点处的切线方程为y＝12，即y＝12x－4.
一、 单项选择题
1 函数y＝cos 2x的导函数为( )
A. y′＝sin 2x B. y′＝－sin 2x
C. y′＝2sin 2x D. y′＝－2sin 2x
2 (2024南通中学月考)设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于( )
A. ln 3 B. －ln 3
C. D. －
3 已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象在 x＝5处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
4 (2024天一中学月考)函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于( )
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
5 函数f(x)＝e4x－x－2的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A. 3x＋y＋1＝0 B. 3x＋y－1＝0
C. 3x－y＋1＝0 D. 3x－y－1＝0
6 (2024泰兴中学月考)曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D. 1
二、 多项选择题
7 (2024如东一中月考)下列函数是复合函数的是( )
A. y＝－x3－＋1 B. y＝cos
C. y＝ D. y＝(2x＋3)4
8 (2024启东中学月考)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的值可以是( )
A. B. C. D.
三、 填空题
9 (2024海安期末)函数f(x)＝sin 在x＝3处的导数f′(3)＝________．
10 已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为________．
11 (2024银滩高级中学月考)烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20 ℃，加热后的温度函数T(t)＝100－ke-0.1t(k是常数，t表示加热的时间，单位：min)，加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是________℃/min.
四、 解答题
12 (2024常熟中学月考)求下列函数的导数：
(1) y＝ln (ex＋x2)；
(2) y＝102x+3；
(3) y＝；
(4) y＝sin 2x cos 3x.
13 已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x).
(1) 求f(x)的导数；
(2) 求f(x)的图象在点处的切线方程．
5．2.3 简单的复合函数的导数
1. D y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.
2. C 由题意，得f′(x)＝，故f′(2)＝.
3. D 由题意，得f′(x)＝，则f′(5)＝＝，即函数f(x)的图象在x＝5处切线的斜率为.
4. A 由题意，得f′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负值舍去).
5. D 由题意，得f′(x)＝4e4x－1，所以k＝f′(0)＝3.因为f(0)＝－1，所以切线方程为y＋1＝3x，即 3x－y－1＝0.
6. A 由题意，得y′＝e-2x·(－2)＝－2e-2x，在点(0，2)处的切线斜率k＝－2e-2×0＝－2，所以曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与y＝0的交点坐标是(1，0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.
7. BCD 显然A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，对于B，函数由y＝cos u，u＝x＋复合而成；对于C，函数由y＝，u＝ln x复合而成；对于D，函数由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．故选BCD.
8. CD 因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，所以y′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈.故选CD.
9. 0 由题意，得f′(x)＝cos ，故f′(3)＝cos ＝0.
10. 2 由y＝ln (x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，x0＋1)，则解得a＝2.
11. 因为初始温度为20 ℃，所以T(0)＝100－k＝20，解得k＝80，所以T(t)＝100－80e-0.1t，则T′(t)＝8e-0.1t，故T′(10)＝，即加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是 ℃/min.
12. (1) 令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2) 令u＝2x＋3，则y＝10u，
所以y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x+3.
(3) 设y＝u－，u＝1－x2，
则y′x＝′(1－x2)′＝－u－·(－2x)＝x(1－x2)－.
(4) 因为y＝sin 2x cos 3x，
所以y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2x cos 3x－3sin 2x sin 3x.
13. (1) 因为f(x)＝(3x＋1)2ln (3x)，
所以f′(x)＝2(3x＋1)×3ln (3x)＋(3x＋1)2×＝6(3x＋1)ln (3x)＋.
(2) 由f′(x)＝6(3x＋1)ln (3x)＋，得 f′＝6×ln ＋＝12，
所以f(x)的图象在点处的切线方程为y＝12，即y＝12x－4.