5.3.1 单 调 性(1)
一、 单项选择题
1 函数f(x)=x3-3x+1的单调减区间是( )
A. (1,2)
B. (-1,1)
C. (-∞,-1)
D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
2 (2024上海建平中学月考)已知函数y=f(x)=x+ln x,则y=f(x)的单调增区间为( )
A. (-∞,-1)
B. (0,+∞)
C. (-1,0)
D. (0,1)
3 (2024淮阴中学月考)已知f(x)在R上是可导函数,y=f(x)的图象如图所示,则不等式f′(x)>0的解集为( )
A. (-2,0)∪(2,+∞)
B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (-∞,-1)∪(1,+∞)
D. (-2,-1)∪(1,2)
4 已知函数f(x)=x2(x-m),若f′(-1)=-1,则函数f(x)的单调减区间是( )
A. (-1,0)
B.
C. (-∞,-1),(0,+∞)
D. ,(0,+∞)
5 (2025盐山中学期初)已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
A B C D
6 (2024通州中学月考)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=sin x B. y=xex
C. y=x3-x D. y=ln x-x
二、 多项选择题
7 (2024常州一中月考)关于函数f(x)=x ln x,下列说法中正确的是( )
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上单调递减
8 (2024启东一中月考)如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列说法中正确的是( )
A. 在区间(-2,1)上,f(x)单调递增
B. 在区间(1,2)上,f(x)单调递增
C. 在区间(4,5)上,f(x)单调递增
D. 在区间(-3,-2)上,f(x)单调递增
三、 填空题
9 函数f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调减区间是________.
10 已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x-2sin x,则f(x)的单调增区间为________.
11 (2024山东菏泽一中段测)函数f(x)=x ln x-2x的单调减区间是________.
四、 解答题
12 (2024丹阳中学月考)求证:函数y=f(x)=在区间(0,e)上是严格增函数.
13 已知函数f(x)=ex-x.
(1) 求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2) 求函数f(x)的单调区间.
5.3.1 单 调 性(2)
一、 单项选择题
1 (2024白蒲中学月考)若函数f(x)=-x3-2ax+3的单调增区间为(-2,2),则实数a的值为( )
A. -6 B. 6
C. 6或-6 D. 0
2 (2024重庆巴蜀中学期末)已知函数y=f(x)在区间D上连续可导,则“f′(x)≥0在区间D上恒成立”是“f(x)在区间D上单调递增”的( )
A. 必要且不充分条件
B. 充分且不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024河南师大附中月考)若函数f(x)=x3-ax2+x存在单调减区间,则实数a的取值范围是( )
A. [-1,1]
B. (-∞,-1)∪(1,+∞)
C. (-1,1)
D. (-∞,-1]∪[1,+∞)
4 (2024海安中学月考)已知函数f(x)=x--2ln x是增函数,则实数k的取值范围是( )
A. (0,+∞) B. (1,+∞)
C. [0,+∞) D. [1,+∞)
5 已知函数f(x)=,若a=f(4),b=f(5.3),c=f(6.2),则a,b,c的大小关系是( )
A. a<b<c B. c<b<a
C. c<a<b D. b<a<c
6 (2024北京海淀期中)若函数f(x)=-ln x在区间(0,k)上不单调,则实数k的取值范围是( )
A. [1,+∞) B. (1,+∞)
C. (0,1) D. (0,1]
二、 多项选择题
7 已知函数f(x)=e2x-kx(k∈N*)在区间(0,+∞)上单调递增,则k的取值可以为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 (2024蒙城二中月考)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的取值范围可以是( )
A. [4,+∞) B. (-∞,2]
C. (1,2] D. (0,3]
三、 填空题
9 (2025广东部分学校期初)已知函数f(x)=(ax2+bx+1)7 在R上单调递增,则2a+b的取值范围为________.
10 (2024海门实验中学期中)已知函数f(x)=(x2-2ax+1)ex,若函数f(x)在区间 (-1,0)上存在单调增区间,则实数a的取值范围为________.
11 (2024上海宜川中学期末)已知函数y=x3+(b+1)x 有三个单调区间,则实数b的取值范围为________.
四、 解答题
12 (2024新海高级中学月考)已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R),求函数f(x)的单调区间.
13 (2024新华中学月考)已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)ln x,a∈R.
(1) 若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2) 若f(x)存在减区间,求实数a的取值范围.
5.3.1 单 调 性(1)
1. B 因为f(x)=x3-3x+1,所以f′(x)=3x2-3.由3x2-3<0,得-1<x<1,故函数f(x)的单调减区间是(-1,1).
2. B 由题意,得函数的定义域为(0,+∞).由f(x)=x+ln x,得f′(x)=1+=,由f′(x)>0,得x>0或x<-1.又函数f(x)的定义域是(0,+∞),所以x>0,即f(x)的单调增区间为(0,+∞).
3. C 由图可知f(x)的单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞),故不等式f′(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
4. B 因为f′(x)=3x2-2mx,所以 f′(-1)=3+2m=-1,解得m=-2,所以由f′(x)=3x2+4x<0,得-5. D 由导函数y=f′(x)的图象可知,当x<0时,f′(x)<0,所以y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,可排除A,C;当00,所以y=f(x)在区间(0,2)上单调递增,可排除B;当x>2时,f′(x)<0,所以y=f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,D均符合,故D正确.
6. B 易得(sin x)′=cos x,(xex)′=ex+xex=ex(1+x),(x3-x)′=3x2-1,(ln x-x)′=-1,当x∈(0,+∞)时,(xex)′=ex(1+x)>0恒成立,所以函数y=xex在区间(0,+∞)上单调递增.
7. AC 由f(x)=x ln x,得f′(x)=ln x+x·=ln x+1(x>0).由f′(x)>0,得x>;由f′(x)<0,得08. BC 由题图知当x∈(1,2),x∈(4,5)时,f′(x)>0,所以在区间(1,2),(4,5)上,f(x)单调递增;当x∈(-3,-2),x∈(-2,-1)时,f′(x)<0,所以在区间(-3,-2),(-2,-1)上,f(x)单调递减.故选BC.
9. (1,2) 由题意,得f′(x)=6x2-18x+12,令f′(x)<0,得1<x<2,故函数f(x)的单调减区间是(1,2).
10. 由题意,得f′(x)=-2cos x,令f′(x)>0,得cos x<.又x∈(0,π),所以11. (0,e) 易得f(x)=x ln x-2x的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x-1.令f′(x)=ln x-1=0,解得x=e,若f′(x)<0,则x∈(0,e),所以f(x)=x ln x-2x的单调减区间为(0,e).
12. 由题意,得f′(x)=′==,
由0所以1-ln x>0,所以f′(x)>0,
所以函数f(x)在区间(0,e)上是严格增函数.
13. (1) 由题意,得f(0)=1,即切点坐标为(0,1).
又f′(x)=ex-1,则f′(0)=0,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2) 由f(x)=ex-x,得f′(x)=ex-1,
当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0,
所以函数f(x)的单调减区间为(-∞,0),单调增区间为(0,+∞).
5.3.1 单 调 性(2)
1. A 由题意,得f′(x)=-3x2-2a.因为函数f(x)的单调增区间为(-2,2),所以x=2和x=-2是方程-3x2-2a=0的两根,故-12-2a=0,解得a=-6.
2. A 当f(x)=1时,f′(x)=0≥0,此时f(x)=1不是增函数;若f(x)在区间D上单调递增,则f′(x)≥0在区间D上恒成立,所以“f′(x)≥0在区间D上恒成立”是“f(x)在区间D上单调递增”的必要且不充分条件.
3. B 由题意,得f′(x)=x2-2ax+1.由f(x)存在递减区间,得存在x使f′(x)<0,所以Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.
4. D 因为函数f(x)=x--2ln x是增函数,所以f′(x)=1+-≥0在区间(0,+∞)上恒成立,所以k≥-x2+2x,又-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,所以k≥1.
5. B f(x)=的定义域是(0,+∞),f′(x)=(x>0),令f′(x)>0,解得0<x<e;令f′(x)<0,解得x>e,故f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减.因为e<4<5.3<6.2,所以f(4)>f(5.3)>f(6.2),即a>b>c.
6. B 因为f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-=,令f′(x)>0,解得x>1;令f′(x)<0,解得01.故实数k的取值范围是(1,+∞).
7. AB f(x)=e2x-kx(k∈N*)的导函数为f′(x)=2e2x-k.要使函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,只需f′(x)=2e2x-k≥0在区间(0,+∞)上恒成立,所以k≤2e2x(x>0).因为y=2e2x在区间(0,+∞)上单调递增,所以2e2x>2,所以k≤2.故选AB.
8. AC 由题意,得f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)>0,得x>3;令f′(x)<0,得09. (0,+∞) 由题意,得f′(x)=7(2ax+b)(ax2+bx+1)6≥0恒成立,当且仅当a=0,b>0时满足题意,故2a+b的取值范围为(0,+∞).
10. 由题意可知f′(x)=ex(x+1)(x+1-2a),则f′(x)>0在区间(-1,0)上有解,即x+1-2a>0有解,所以a<在区间(-1,0)内有解,当x∈(-1,0)时,x+1∈(0,1),则∈,所以a<.
11. (-∞,-1) 由题意,得y′=4x2+b+1.因为函数y=x3+(b+1)x 有三个单调区间,所以方程4x2+b+1=0必有两个不等的实根,则有-b-1>0,解得b<-1.
12. 由题意,得f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=a+=.
当a≥0时,f′(x)>0恒成立,
所以f(x)的单调增区间为(0,+∞),无单调减区间;
当a<0时,令f′(x)=0,解得x=-,
所以当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0;
所以f(x)的单调增区间为,单调减区间为.
综上所述,当a≥0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),无单调减区间;当a<0时,f(x)的单调增区间为,单调减区间为.
13. (1) 由题意知,f′(x)=2x-4+≥0在区间[2,+∞)上恒成立,
则a≤2x2-4x+2恒成立.
令g(x)=2x2-4x+2=2(x-1)2,x≥2,则a≤g(x)min.
因为g(x)在区间[2,+∞)上的最小值为g(2)=2,
所以a≤2.
故实数a的取值范围为(-∞,2].
(2) 由题意,得f′(x)=2x-4+<0在区间(0,+∞)上有解,
即a>2x2-4x+2=2(x-1)2在区间(0,+∞)上有解,则a>0.
故实数a的取值范围为(0,+∞).