5.3.2　极大值与极小值 同步练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

5．3.2　极大值与极小值(1)
一、 单项选择题
1 (2024南通一中月考)下列函数中存在极值的是(　　)
A. y＝ B. y＝x－ex
C. y＝2 D. y＝x3
2 (2025天一中学月考)函数f(x)＝(x－1)ex的极小值点为(　　)
A. (0，－1) B. (0，0)
C. －1 D. 0
3 已知函数f(x)在R上可导，若命题p：f′(x0)＝0，q：函数f(x)在x＝x0处取得极值，则p是q的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2024启东中学月考)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a的值为(　　)
A. －4 B. －2
C. 4 D. 2
5 (2024兴化中学月考)若函数f(x)＝x3＋ax2－x－9在x＝－1处取得极值，则a的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 (2025常州一中月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B. 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D. 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
二、 多项选择题
7 (2024湖北方子高级中学月考)下列命题中，正确的是(　　)
A. 函数的极大值一定比极小值大
B. 对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为函数的一个极值点
C. 若f′(x)>0在区间(a，b)内恒成立，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有极值
D. 一元三次函数在R上可能不存在极值
8 (2024新华中学月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是(　　)
A. －4 B. －3 C. 6 D. 8
三、 填空题
9 (2024昆山中学月考)函数f(x)＝xex的极值点为________．
10 (2024姜堰中学月考)若x＝1是函数f(x)＝ax3＋的一个极值点，则a＝________．
11 已知函数f(x)＝x＋cos 2x，x∈(0，π)，则f(x)的极大值点为________．
四、 解答题
12 求下列函数的极值：
(1) f(x)＝x3－x；
(2) f(x)＝x2e－x.
13 (2024徐州一中月考)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1) 若函数f(x)在x＝1处取得极小值－4，求实数a，b的值；
(2) 讨论f(x)的单调性．
5．3.2　极大值与极小值(2)
一、 单项选择题
1 已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x＋1在x＝－1 处取得极大值，则a的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2 (2024海门中学月考)若f(x)＝ex－ax－a2在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (－∞，－1) D. (1，＋∞)
3 若函数f(x)＝ax2－2ln x有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－∞，0]
B. (0，＋∞)
C. (1，＋∞)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
4 函数f(x)＝x3－x2＋x＋2在x∈(1，2)内存在极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C. (－∞，3)∪
D. (－∞，3]∪
5 (2025海门实验中学月考)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的极大值点有(　　)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6 (2025原阳一中期初)已知函数f(x)＝x3－x＋1－a恰有3个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024太仓中学月考)已知函数f(x)＝x3－x2－3x＋1，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)的极大值点为－1
C. f(x)的极小值为－9
D. f(x)的极大值为
8 (2024江安中学月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A. f(x)有两个极值点
B. f(0)为函数的极大值
C. f(x)有两个极小值
D. f(－1)为f(x)的极小值
三、 填空题
9 已知三次函数f(x)在x＝1处取得极大值4，在x＝3处取得极小值，且图象过原点，则函数f(x)＝________．
10 (2024徐州一中月考)若函数f(x)＝x3－ax2＋x－5无极值点，则实数a的取值范围是________．
11 已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝x3＋6ln x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1) 求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 求函数g(x)＝f(x)－f′(x)＋的极值．
13 (2024通州中学月考)已知函数f(x)＝ex－ax＋b.
(1) 若f(x)在x＝1处取得极小值1，求实数a，b的值；
(2) 若f(x)在定义域R上单调递增，求实数a的取值范围．
5．3.2　极大值与极小值(1)
1. B　对y＝x－ex求导，得y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0，在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0，故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值．
2. D　由题意，得f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，故f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，故当x＝0时，f(x)的极小值为f(0)＝－1，故极小值点为0.
3. B　由题意可知，对于在R上可导的函数f(x)，导数为0的点不一定是极值点，但极值点一定是导数为0的点，所以命题p推不出命题q，命题q能推出命题p，所以p是q的必要且不充分条件．
4. D　因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，所以f(x)的极小值点a＝2.
5. A　因为函数f(x)＝x3＋ax2－x－9在x＝－1处取得极值，f′(x)＝3x2＋2ax－1，所以f′(－1)＝3(－1)2＋2a(－1)－1＝0，解得a＝1，检验当a＝1时，函数f(x)在x＝－1处取得极大值，所以a＝1.
6. D　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
7. CD　对于A，根据极值定义，得函数的极大值不一定比极小值大，故A错误；对于B，若f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，则f(x)无极值点，故B错误；对于C，f(x)在区间(a，b)上单调递增，且区间为开区间，所以取不到极值，故C正确；对于D，三次函数求导以后为二次函数，若f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，则f(x)无极值点，故D正确．故选CD.
8. AD　由题意，得f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a>6或a<－3.故选AD.
9. －1　由题意，得f′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)有极小值点为x＝－1，无极大值点．
10. 　由f(x)＝ax3＋，得f′(x)＝3ax2－.由题意，得f′(1)＝3a－1＝0，解得a＝.检验f(x)＝x3＋在x＝1处取得极小值．
11. 　因为f(x)＝x＋cos 2x，所以f′(x)＝1－2sin 2x.令f′(x)＝1－2sin 2x＝0，得sin 2x＝.因为x∈(0，π)，所以2x∈(0，2π)，则2x＝或2x＝，即x＝或x＝.当00，则f(x)在区间和上单调递增，当12. (1) 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－1.
令f′(x)＝0，得3x2－1＝0，
解得x＝－或x＝.
列表如下：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ ↘ － ↗
所以f(x)在x＝－处取得极大值，在 x＝处取得极小值－.
(2) 函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ 4e-2 ↘
所以f(x)在x＝0处取得极小值0，在x＝2处取得极大值4e-2.
13. (1) 由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，则
即解得经验证满足题意．
(2) 由题意，得f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，
当a＝0时，f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在区间，(0，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减；
当a>0时，f(x)在区间(－∞，0)，上单调递增，在区间上单调递减．
5．3.2　极大值与极小值(2)
1. B　由题意，得f′(x)＝3x2－(a＋2)，且f′(－1)＝3－(a＋2)＝0，则a＝1，经检验符合题意.
2. B　由f(x)＝ex－ax－a2，得f′(x)＝ex－a.因为f(x)在R上有小于0的极值点，所以f′(x)＝ex－a＝0，即a＝ex有小于0的根．由y＝ex的图象，得03. B　函数f(x)＝ax2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝2ax－＝.因为函数f(x)＝ax2－2ln x有且仅有一个极值点，所以方程ax2－1＝0有且仅有一个正根，且正根的两侧函数y＝ax2－1的函数值异号，所以a>0.
4. A　由题意，得f′(x)＝2x2－ax＋1，若函数f(x)在x∈(1，2)内存在极值点，则f′(x)在x∈(1，2)内有零点，即ax＝2x2＋1在x∈(1，2)内有解，整理，得a＝2x＋在x∈(1，2)内有解，等价于y＝a与y＝2x＋的图象在区间(1，2)内有交点．因为y＝2x＋＝2(x＋)在区间(1，2)上单调递增，所以y＝2x＋∈，所以a∈.
5. C　如图，y＝f′(x)与x轴的交点分别为A，B，C，D，E，由极大值点的定义结合导函数图象可知点A，E的横坐标为极大值点，故极大值点的个数为2.
6. D　因为f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，所以在区间(－1，1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，则极大值为f(－1)＝－a，极小值为f(1)＝－a.因为f(x)＝x3－x＋1－a恰有3个零点，所以解得7. AB　由题意，得函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)有两个极值点－1，3，函数f(x)在x＝－1处取极大值f(－1)＝，－1为极大值点，在x＝3处取极小值f(3)＝－8，3为极小值点．故选AB.
8. BC　由题图，得当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，所以f′(x)<0；当x∈(－2，0)时，g(x)<0，所以f′(x)>0；当x∈(0，1)时，g(x)<0，所以f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在区间(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有三个极值点，f(0)为函数的极大值，f(－2)和f(1)为f(x)的极小值．故A，D错误，B，C正确．故选BC.
9. x3－6x2＋9x　根据题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根为1，3，所以－＝4，＝3，所以b＝－6a，c＝9a，即f(x)＝ax3－6ax2＋9ax.又f(1)＝4，所以 a＝1，所以f(x)＝x3－6x2＋9x. 经验证，符合题意．
10. [－1，1]　由f(x)＝x3－ax2＋x－5，得f′(x)＝x2－2ax＋1.因为函数f(x)无极值点，所以Δ＝(－2a)2－4≤0，解得－1≤a≤1，故实数a的取值范围是[－1，1].
11. 　因为f(x)＝ax2－x＋ln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝2ax－1＋＝，x>0.因为函数f(x)＝ax2－x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，所以f′(x)＝0有两个不同的正实根x1，x2，即方程2ax2－x＋1＝0有两个不同的正实根x1，x2，所以解得012. (1) 因为f(x)＝x3＋6ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2＋，
所以f(1)＝1，f′(1)＝9，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8.
(2) 由题意，得g(x)＝x3－3x2＋6ln x＋，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝3x2－6x＋－，整理，得g′(x)＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
列表如下：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
g′(x) － 0 ＋
g(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数g(x)的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，＋∞)，
故函数g(x)的极小值为g(1)＝1，无极大值．
13. 由f(x)＝ex－ax＋b，得f′(x)＝ex－a.
(1) 由f(x)在x＝1处取得极小值1，得即解得经检验，符合题意，
故a＝e，b＝1.
(2) 因为f(x)在定义域R上单调递增，
所以f′(x)＝ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．
因为当x∈R时，ex∈(0，＋∞)，
所以a≤0，
所以实数a的取值范围为(－∞，0].