第1章 直线与方程
一、 单项选择题
1 (2024启东东南中学月考)经过A(-,-3),B(,3)两点的直线的斜率是( )
A. - B. -1
C. D. 1
2 (2024顺德一中期末)已知点A(1,y1),B(2,y2)在斜率为的直线l上,则y2-y1的值为( )
A. - B. - C. D.
3 (2025海南华侨中学期末)已知直线l经过点P(-2,1),且与直线l1:x-2y+1=0平行,则下列方程中不能表示直线l的是( )
A. y=x+2 B. y-1=2(x+2)
C. +=1 D. x-2y+4=0
4 (2024白蒲中学月考)直线l:sin θ·x-y+8=0(θ为参数,θ∈R)的倾斜角的取值范围是( )
A. B. ∪
C. D. ∪
5 已知点M(1,-2),N(m,2),若点M,N关于直线x+2y-2=0对称,则实数m的值是( )
A. 3 B. 1
C. -2 D. -7
6 (2023洛阳期中)已知直线3x+2y-6=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,若直线x+y-1=0上存在一点C,使CA+CB最小,则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024南通中学月考)若直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为( )
A. 1 B. 3 C. 0 D. 4
8 (2024如东中学月考)已知直线l1:x+ay+1=0,l2:(a-1)x+y+a=0,则下列说法中正确的是( )
A. 当a=1时,直线l1的倾斜角为135°
B. 当l1⊥l2时,a=
C. 若l1∥l2,则a=-1
D. 直线l1始终过定点(-1,0)
三、 填空题
9 (2024海安中学月考)已知直线l1:2x+my-3=0与直线l2:x-y+1=0垂直,则实数m的值为________.
10 已知直线3x+y-6=0与直线x+2y-2=0交于点Q,则点Q关于直线x+2y+3=0的对称点的坐标是________.
11 (2024长宁区期末)若直线l被两条直线l1:4x+y+3=0,l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为________.
四、 解答题
12 (2024泰州期末)已知直线l1:4x+3y=10,l2:2x-y=10,l3:ax+2y+8=0(a为实数),直线l1与直线l2相交于点M.
(1) 若直线l3过点M,求实数a的值;
(2) 设直线l3过定点N,求线段MN的长.
13 (2024石家庄一中期末)已知平行四边形ABCD的两条邻边AD,AB所在的直线分别为lAD:x-4y+5=0,lAB:2x+y-8=0,两条对角线的交点为P(0,-1).
(1) 求边BC所在的直线方程;
(2) 求平行四边形ABCD的面积.
第1章 直线与方程
本 章 复 习
1. C 经过A(-,-3),B(,3)两点的直线的斜率 k==.
2. D 因为点A(1,y1),B(2,y2)在斜率为的直线l上,所以=,即y2-y1=.
3. B 由题意,得直线l1的斜率为k=,所以直线l的斜率也为.又直线l经过点P(-2,1),由点斜式,得直线l的方程为y-1=(x+2),化简,得y=x+2,化为一般式,得x-2y+4=0,即+=1,故选B.
4. B 设直线l的倾斜角为α,0≤α<π.因为θ∈R,所以-1≤sin θ≤1,则直线l的斜率-1≤k=tan α≤1,所以0≤α≤或≤α<π.
5. A 由题意,得线段MN的中点在直线x+2y-2=0上,且直线x+2y-2=0与直线MN垂直,则解得m=3.
6. A 由题意,得直线3x+2y-6=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,则A(2,0),B(0,3).设点B关于直线x+y-1=0对称的点为B1(x0,y0),则解得所以B1(-2,1),则直线AB1:y=(x-2),即y=-x+.因为CA+CB=CA+CB1≥AB1,所以当点C在线段AB1上时,CA+CB最小.联立解得所以点C的坐标为.
7. AB 因为直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,所以直线l2的斜率必存在,故k1·k2=-1,即×=-1,化简,得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.故选AB.
8. ABD 对于A,当a=1时,直线l1:x+y+1=0,故斜率k=-1,则倾斜角为135°,故A正确;对于B,因为l1⊥l2,所以a-1+a=0,解得a=,故B正确;对于C,若l1∥l2,则a(a-1)-1=0且a≠a-1,解得a=,故C错误;对于D,l1:x+ay+1=0,令y=0,得x+1=0,解得x=-1,y=0,故直线l1恒过点(-1,0),故D正确.故选ABD.
9. 2 由直线l1:2x+my-3=0与直线l2:x-y+1=0垂直,得2×1+m×(-1)=0,解得m=2.
10. (0,-4) 因为直线3x+y-6=0与直线x+2y-2=0交于点Q,所以联立方程解得即点Q(2,0).设点Q(2,0)关于直线x+2y+3=0的对称点P的坐标为(a,b),则点Q(2,0)与P(a,b)的中点坐标为,kPQ=,故解得即对称点的坐标为(0,-4).
11. 3x+y+1=0 设直线l与直线l1的交点坐标为A(a,y1),直线l与直线l2的交点坐标为B(b,y2),所以y1=-4a-3,y2=-1.由中点坐标的定义,得=-1,=2, 即a+b=-2,(-4a-3)+=4,解得a=-2,b=0,所以A(-2,5),B(0,-1),可得直线l的方程为3x+y+1=0.
12. (1) 联立解得即M(4,-2),
因为直线l3过点M,
所以4a+2×(-2)+8=0,解得a=-1.
(2) 因为a×0+2×(-4)+8=0,
所以直线l3过定点N(0,-4),
所以MN==2.
13. (1) 联立解得即A(3,2).
因为P(0,-1)为对角线的交点,即线段AC的中点,
所以由中点坐标公式,得C(-3,-4).
因为kBC=kAD,所以kBC=,
由点斜式,得lBC:y+4=(x+3),
即直线BC的方程为x-4y-13=0.
(2) 联立解得即B(5,-2),
所以AB==2.
由点到直线的距离公式,得点C到直线AB的距离为d==,
故平行四边形ABCD的面积S=AB·d=2×=36.