第2章　圆 与 方 程 章节复习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

第2章　圆 与 方 程
本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)已知圆C：x2＋y2＝4，则下列各点在圆C上的是(　　)
A. (1，2)
B. (1，－3)
C. (2，0)
D. (3，1)
2 已知圆C：x2＋y2－8x－6y－10＝0，则下列关于圆C的说法中正确的是(　　)
A. 圆心坐标为(－4，－3)
B. 圆心坐标为(3，4)
C. 半径为
D. 半径为35
3 (2024海门中学月考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l恒过定点(2，1)
B. 直线l与圆C相切
C. 直线l与圆C相交
D. 直线l与圆C相离
4 已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋3＝0，过原点的直线l与圆C相交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，直线l的方程为(　　)
A. y＝0或y＝x
B. y＝2x或y＝－
C. x＝0或y＝x
D. y＝x
5 (2024海门证大中学月考)一条光线从点P(0，4)射出，经x轴反射后，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0相切于点M，则光线从点P到点M经过的路程为(　　)
A. 4 B. 5 C. 2 D. 2
6 (2025苏州中学等四校联考)已知点P(－m，0)，Q(m，0)，若圆(x－5)2＋(y－12)2＝4上存在点R，使得∠PRQ＝90°，则正数m的取值范围是(　　)
A. [11，15] B. [11，17] C. [9，15] D. [9，17]
二、 多项选择题
7 已知直线l：ax－(2a－3)y－1＝0和圆C：x2＋y2－2x＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l始终过定点
B. 直线l与圆C恒有两个公共点
C. 圆心C到直线l的最大距离是
D. 当a＝2时，圆心C关于直线l的对称点为
8 (2024南通中学月考)已知圆C：x2＋y2－6x＋8y＝0与直线l：3x－4y＋10＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C相离
B. 过点(1，－1)的直线l1被圆C截得的弦长的最小值为2
C. PQmin＝2
D. 从点Q向圆C引切线，切线长的最小值是2
三、 填空题
9 在平面直角坐标系中，经过三点(0，1)，(0，2)，(1，3)的圆的方程为________________________．
10 (2025景德镇一中月考)已知圆C1：x2＋y2－2ax－1＋a2＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，若存在实数a的值使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为________．
11 (2024榆林期末)若直线y＝kx＋3与曲线x－3＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024临沂一中期末)已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0，点P(3，1).
(1) 若直线PM与圆C相切，切点为M，求线段PM的长度；
(2) 已知直线l过点P，若圆C上恰有三个点到直线l的距离都等于1，求直线l的方程．
13 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝9.
(1) 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2) 求两圆的公切线方程．
第2章　圆 与 方 程
本 章 复 习
1. C　12＋22≠4，故A错误；12＋(－3)2≠4，故B错误；22＋02＝4，故C正确；32＋12≠4，故D错误．
2. C　圆C：x2＋y2－8x－6y－10＝0，即圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝35，表示以(4，3)为圆心，半径等于的圆．
3. C　圆C：(x－2)2＋y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0恒过定点(3，1), 显然＝<4＝r，所以点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，故ABD错误，C正确．
4. A　由题意，得圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝2，且△ABC为等腰三角形，所以AC＝BC＝，所以 S△ABC＝AC·BC·sin ∠ACB.当∠ACB＝90°时，△ABC的面积最大，此时圆心C到直线l的距离等于r＝1.设直线l的方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以直线l的方程为y＝0或y＝x.
5. C　点P(0，4)关于x轴的对称点为Q(0，－4)，圆C化成标准方程，得(x－3)2＋y2＝1，圆心为C(3，0)，半径r＝1.光线从点P出发，经x轴反射，反射光线与圆C相切于点M，则光线从点P到点M经过的路程等于由点Q向圆引出的切线长．因为QC＝＝5，CM⊥QM，所以QM＝＝＝2，即光线经过的路程为QM＝2.
6. A　圆(x－5)2＋(y－12)2＝4的圆心为(5，12)，半径为2.由题意，得点R在以PQ为直径的圆上．因为P(－m，0)，Q(m，0)，所以以PQ为直径的圆的方程为x2＋y2＝m2，因为圆(x－5)2＋(y－12)2＝4上存在点R，使得∠PRQ＝90°，所以两圆有交点，则|m－2|≤≤m＋2.又m为正数，解得11≤m≤15，即正数m的取值范围是[11，15].
7. BCD　直线l：ax－(2a－3)y－1＝0整理为a(x－2y)＋3y－1＝0，则解得所以直线l始终过定点，故A不正确；因为＋－2×＝－<0，所以直线l过的定点在圆内，所以直线l与圆C恒有两个公共点，故B正确；圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为C(1，0)，由于直线l过定点P，所以圆心C到直线l的最大距离为CP＝＝，故C正确；当a＝2时，直线l为2x－y－1＝0.设圆心C关于直线l的对称点为(x0，y0)，所以解得则圆心C关于直线l的对称点为，故D正确．故选BCD.
8. ACD　圆C：x2＋y2－6x＋8y＝0整理，得(x－3)2＋(y＋4)2＝25，可得圆心C(3，－4)，半径r＝5.对于A，圆心C(3，－4)到直线l：3x－4y＋10＝0的距离d＝＝7＞r，所以直线l与圆C相离，故A正确；对于B，将点M(1，－1)代入圆C的方程(1－3)2＋(－1＋4)2＝13＜25，当CM⊥l1时，圆心C到直线l1的距离最大，且最大值为CM＝＝，此时弦长最小，且最小值为2＝2＝4，故B错误；对于C，PQmin＝d－r＝7－5＝2，故C正确；对于D，当切线长最小时，CQ⊥l，可得切线长的最小值为＝＝2，故D正确．故选ACD.
9. x2＋y2－3x－3y＋2＝0　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).因为圆经过三点(0，1)，(0，2)，(1，3)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－3x－3y＋2＝0.
10. 2　因为圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，所以C2(1，－1)，半径为r.因为圆C1：(x－a)2＋y2＝1，所以C1(a，0)，半径为1.若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，所以C1C2＝|r－1|.由于C1C2＝≥1，故|r－1|≥1，解得r≥2，即r的最小值为2.
11. 　如图，直线y＝kx＋3恒过点P(0，3)，曲线x－3＝可化为(x－3)2＋(y＋3)2＝9(x≥3)，表示以M(3，－3)为圆心，3为半径的右半圆．因为点P(0，3)，A(3，0)，所以kPA＝＝－1，设直线与半圆相切于点C，则圆心到直线的距离＝3，解得k＝－，所以kPC＝－.因为直线y＝kx＋3与曲线x－3＝恰有两个交点，所以kPA≤k＜kPC，所以－1≤k＜－.
12. (1) 圆C：x2＋y2＋2x－3＝0可化为圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4，
则圆心C(－1，0)，半径r＝2，PC2＝(3＋1)2＋(1－0)2＝17，
由直线PM与C相切于点M，得PM＝＝.
(2) 要圆C上恰有三个点到l的距离都等于1，当且仅当圆心C(－1，0)到直线l的距离为1.
又点P(3，1)在圆C外，直线x＝3与圆C相离，则直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.
由＝1，解得k＝0或k＝，
所以直线l的方程为y－1＝0或8x－15y－9＝0.
13. (1) 由题意，得圆O的圆心为(0，0)，半径为1，圆M 的圆心为(2，1)，半径为3.
两圆方程相减可得公共弦所在直线l：4x＋2y＋3＝0，
所以点O到直线l的距离d＝＝，
所以公共弦长为2×＝，
故两圆公共弦所在直线的方程为4x＋2y＋3＝0，公共弦长为.
(2) 因为圆O的圆心为(0，0)，半径为1，圆M的圆心为(2，1)，半径为3，
由图可知，有一条公切线的方程为x＝－1.
因为直线OM：y＝x与x＝－1的交点为，
所以设另一条公切线的方程为y＋＝k(x＋1)，
即kx－y＋k－＝0，
则点M(2，1)到此公切线的距离d′＝＝3，解得k＝－，
所以另一条公切线的方程为y＝－x－，
即3x＋4y＋5＝0.
综上，两圆的公切线方程为x＝－1和3x＋4y＋5＝0.