第3章 圆锥曲线与方程 章节复习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 第3章 圆锥曲线与方程 章节复习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 23:02:34 | ||
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文档简介
第3章 圆锥曲线与方程
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A. (0，±) B. (±，0)
C. (0，±3) D. (±3，0)
2 (2024前黄中学月考)若圆锥曲线C：＋＝1的焦距是6，则实数m的值为( )
A. 40 B. 13
C. 40或－32 D. 13或－5
3 已知F2为双曲线C：－＝1(a＞0)的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点，若∠AF2B＝，则△AF2B的面积为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
4 (2024无锡期末)已知双曲线 －＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的斜率为 ，一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为( )
A. 3 B. 6 C. D. 2
5 (2024洛阳一中期末)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆Γ上不同于长轴顶点的一点，当∠F1PF2最大时，△F1PF2为等边三角形．记△F1PF2的外接圆为圆C，当∠F1PF2＝时，圆C的面积为( )
A. πb2 B. πb2 C. πb2 D. πb2
6 (2024河南师大附中二模)已知从椭圆C：＋＝1(a>b>0)外一点P(x0，y0)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为＋＝1.现有如图所示的两个椭圆C1，C2，离心率分别为e1，e2，椭圆C2内含于椭圆C1，椭圆C1上的任意一点M关于椭圆C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e－e的最大值为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2025南宁二中开学考试)已知a>0，b>0，且a≠b，双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1，则下列说法中错误的是( )
A. 它们的实轴长相等
B. 它们的焦点相同
C. 它们的离心率相等
D. 它们的渐近线相同
8 (2024启东一中月考)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，AF＝2，则下列说法中正确的是( )
A. 焦点F的坐标为(1，0)
B. 准线方程为y＝－1
C. 点A的坐标为(1，2)或(1，－2)
D. 以线段AF为直径的圆与抛物线的准线相切
三、 填空题
9 (2024海安实验中学月考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，满足b＝2a，则双曲线C的离心率为________．
10 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，则AB＝________．
11 已知椭圆C的上顶点为D(0，1)，且长轴长为2，则椭圆C的标准方程为________；过点D作两条互相垂直的直线分别另交椭圆C于A，B两点，则直线AB过定点________．
四、 解答题
12 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1F2＝2，过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，△F1AB的周长为4.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若△F1AB的面积为，求直线l的方程．
13 (2024石家庄二中期末)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，虚轴长为1.
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 直线l：x＝my＋与双曲线C的右支交于M，N两点，
①求实数m的取值范围；
②若直线l′：x＝ny＋与双曲线C的右支交于E，F两点，且直线l′与直线l垂直，求四边形EMFN面积的最小值．
第3章 圆锥曲线与方程
1. B 由椭圆＋＝1，得a2＝6，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝6－3＝3，所以c＝，所以椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0).
2. D 由题意，得焦距2c＝6，所以c＝3.当焦点在y轴上时，a2＝4＜9＝c2，此时不可能为椭圆，只能为双曲线，所以b2＝－m.由a2＋b2＝c2，得4－m＝9，所以m＝－5；当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，由a2－b2＝c2，得m－4＝9，所以m＝13.综上，实数m的值为13或－5.
3. D 设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知，四边形AF1BF2是平行四边形，所以S△AF1F2＝S△AF2B，∠F1AF2＝.设AF1＝r1，AF2＝r2，则4c2＝r＋r－2r1r2cos .又|r1－r2|＝2a，所以r1r2＝4b2＝16，所以S△AF1F2＝r1r2sin ＝4，所以△AF2B的面积为4.
4. C 因为双曲线渐近线的斜率为，所以＝. 又抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，所以c＝4.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2.不妨取顶点(2，0)，渐近线x－y＝0，所以双曲线的顶点到渐近线的距离为d＝＝.
5. A 当P是椭圆Γ的上、下顶点时，∠F1PF2最大，此时△F1PF2为等边三角形，则PF1＝PF2＝F1F2＝2c，即a＝2c，所以椭圆Γ的离心率为＝.当∠F1PF2＝时，设圆C的半径为R，由正弦定理，可知2R＝＝4c.又b＝c，所以圆C的面积为πR2＝πb2.
6. D 设点M(x0，y0)，椭圆C1的方程为＋＝1，椭圆C2的方程为＋＝1，则＋＝1①.由极线的定义得直线l的方程为＋＝1，所以原点O到直线l的距离d＝＝1，化简，得＋＝1②.由①②，可得a＝a，b＝b，所以e＝1－＝1－＝＝e(2－e)，所以e－e＝e(1－e)≤＝＝，当且仅当e＝1－e，即e2＝时，等号成立，此时e1＝，所以e－e的最大值为.
7. BD 对于A，由题意可知双曲线C1，C2的实轴长均为2a，所以它们的实轴长相等，故A正确；对于B，双曲线C1，C2的焦点分别在x轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误；对于C，双曲线C1，C2的焦距均为2c＝2，所以它们的离心率均为e＝，即它们的离心率相等，故C正确；对于D，双曲线C1，C2的渐近线分别为y＝±x和y＝±x，因为a≠b，所以它们的渐近线不相同，故D错误．故选BD.
8. AC 由题意，得焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；xA－(－1)＝2，解得xA＝1，所以y＝4xA＝4，解得yA＝±2，所以点A的坐标为(1，2)或(1，－2)，故C正确；不妨取A(1，2)，则AF的中点坐标为(1，1).因为点(1，1)到准线x＝－1的距离为2＞AF，所以以线段AF为直径的圆与抛物线的准线相离，故D错误．故选AC.
9. 由题意，得双曲线C的离心率为e＝＝＝＝.
10. 由题意，得＝2，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，过点F且斜率为的直线y＝(x－2).联立消去y并整理，得3x2－20x＋12＝0，其中Δ>0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝.由抛物线的定义，得AB＝x1＋x2＋p＝＋4＝.
11. ＋y2＝1 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，根据题意可得b＝1，又长轴长为2，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.又＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝[2(m2－1)(k2＋1)－4k2(m2－m)＋(1＋2k2)(m－1)2]＝0，所以3m2－2m－1＝0，解得m＝－或m＝1.当m＝1时，直线AB经过点D，不满足题意，所以直线AB的方程为y＝kx－，故直线AB过定点.
12. (1) 设椭圆的半焦距为c(c>0)，
由题意知2c＝2，所以c＝1，
所以△F1AB的周长为AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4，
所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 易知l的斜率不为0，设l：x＝my＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|y1－y2|＝＝，
所以S△F1AB＝F1F2·|y1－y2|＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
13. (1) 因为双曲线C的离心率为，虚轴长为1，
所以解得
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2) ①设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x并整理，得(m2－4)y2＋my＋＝0，
则Δ＝5m2－(m2－4)＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.
由y1y2＝＜0，解得－2＜m＜2，
所以实数m的取值范围为(－2，2).
②由①可得y1＋y2＝，y1y2＝，
所以MN＝|y1－y2|
＝＝.
因为直线l′与直线l垂直，所以n＝－，
同理得EF＝，
所以S＝MN·EF＝.
因为m∈(－2，2)，n∈(－2，2)，且m·n＝－1，
所以m，n∈∪.
所以S＝.
因为(4－m2)·(4m2－1)≤＝，
所以S≥2(1＋m2)2·＝，
当且仅当4－m2＝4m2－1，即m2＝1时，等号成立，
所以四边形EMFN面积的最小值为.
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A. (0，±) B. (±，0)
C. (0，±3) D. (±3，0)
2 (2024前黄中学月考)若圆锥曲线C：＋＝1的焦距是6，则实数m的值为( )
A. 40 B. 13
C. 40或－32 D. 13或－5
3 已知F2为双曲线C：－＝1(a＞0)的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点，若∠AF2B＝，则△AF2B的面积为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
4 (2024无锡期末)已知双曲线 －＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的斜率为 ，一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为( )
A. 3 B. 6 C. D. 2
5 (2024洛阳一中期末)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆Γ上不同于长轴顶点的一点，当∠F1PF2最大时，△F1PF2为等边三角形．记△F1PF2的外接圆为圆C，当∠F1PF2＝时，圆C的面积为( )
A. πb2 B. πb2 C. πb2 D. πb2
6 (2024河南师大附中二模)已知从椭圆C：＋＝1(a>b>0)外一点P(x0，y0)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为＋＝1.现有如图所示的两个椭圆C1，C2，离心率分别为e1，e2，椭圆C2内含于椭圆C1，椭圆C1上的任意一点M关于椭圆C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e－e的最大值为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2025南宁二中开学考试)已知a>0，b>0，且a≠b，双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1，则下列说法中错误的是( )
A. 它们的实轴长相等
B. 它们的焦点相同
C. 它们的离心率相等
D. 它们的渐近线相同
8 (2024启东一中月考)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，AF＝2，则下列说法中正确的是( )
A. 焦点F的坐标为(1，0)
B. 准线方程为y＝－1
C. 点A的坐标为(1，2)或(1，－2)
D. 以线段AF为直径的圆与抛物线的准线相切
三、 填空题
9 (2024海安实验中学月考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，满足b＝2a，则双曲线C的离心率为________．
10 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，则AB＝________．
11 已知椭圆C的上顶点为D(0，1)，且长轴长为2，则椭圆C的标准方程为________；过点D作两条互相垂直的直线分别另交椭圆C于A，B两点，则直线AB过定点________．
四、 解答题
12 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1F2＝2，过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，△F1AB的周长为4.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若△F1AB的面积为，求直线l的方程．
13 (2024石家庄二中期末)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，虚轴长为1.
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 直线l：x＝my＋与双曲线C的右支交于M，N两点，
①求实数m的取值范围；
②若直线l′：x＝ny＋与双曲线C的右支交于E，F两点，且直线l′与直线l垂直，求四边形EMFN面积的最小值．
第3章 圆锥曲线与方程
1. B 由椭圆＋＝1，得a2＝6，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝6－3＝3，所以c＝，所以椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0).
2. D 由题意，得焦距2c＝6，所以c＝3.当焦点在y轴上时，a2＝4＜9＝c2，此时不可能为椭圆，只能为双曲线，所以b2＝－m.由a2＋b2＝c2，得4－m＝9，所以m＝－5；当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，由a2－b2＝c2，得m－4＝9，所以m＝13.综上，实数m的值为13或－5.
3. D 设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知，四边形AF1BF2是平行四边形，所以S△AF1F2＝S△AF2B，∠F1AF2＝.设AF1＝r1，AF2＝r2，则4c2＝r＋r－2r1r2cos .又|r1－r2|＝2a，所以r1r2＝4b2＝16，所以S△AF1F2＝r1r2sin ＝4，所以△AF2B的面积为4.
4. C 因为双曲线渐近线的斜率为，所以＝. 又抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，所以c＝4.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2.不妨取顶点(2，0)，渐近线x－y＝0，所以双曲线的顶点到渐近线的距离为d＝＝.
5. A 当P是椭圆Γ的上、下顶点时，∠F1PF2最大，此时△F1PF2为等边三角形，则PF1＝PF2＝F1F2＝2c，即a＝2c，所以椭圆Γ的离心率为＝.当∠F1PF2＝时，设圆C的半径为R，由正弦定理，可知2R＝＝4c.又b＝c，所以圆C的面积为πR2＝πb2.
6. D 设点M(x0，y0)，椭圆C1的方程为＋＝1，椭圆C2的方程为＋＝1，则＋＝1①.由极线的定义得直线l的方程为＋＝1，所以原点O到直线l的距离d＝＝1，化简，得＋＝1②.由①②，可得a＝a，b＝b，所以e＝1－＝1－＝＝e(2－e)，所以e－e＝e(1－e)≤＝＝，当且仅当e＝1－e，即e2＝时，等号成立，此时e1＝，所以e－e的最大值为.
7. BD 对于A，由题意可知双曲线C1，C2的实轴长均为2a，所以它们的实轴长相等，故A正确；对于B，双曲线C1，C2的焦点分别在x轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误；对于C，双曲线C1，C2的焦距均为2c＝2，所以它们的离心率均为e＝，即它们的离心率相等，故C正确；对于D，双曲线C1，C2的渐近线分别为y＝±x和y＝±x，因为a≠b，所以它们的渐近线不相同，故D错误．故选BD.
8. AC 由题意，得焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；xA－(－1)＝2，解得xA＝1，所以y＝4xA＝4，解得yA＝±2，所以点A的坐标为(1，2)或(1，－2)，故C正确；不妨取A(1，2)，则AF的中点坐标为(1，1).因为点(1，1)到准线x＝－1的距离为2＞AF，所以以线段AF为直径的圆与抛物线的准线相离，故D错误．故选AC.
9. 由题意，得双曲线C的离心率为e＝＝＝＝.
10. 由题意，得＝2，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，过点F且斜率为的直线y＝(x－2).联立消去y并整理，得3x2－20x＋12＝0，其中Δ>0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝.由抛物线的定义，得AB＝x1＋x2＋p＝＋4＝.
11. ＋y2＝1 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，根据题意可得b＝1，又长轴长为2，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.又＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝[2(m2－1)(k2＋1)－4k2(m2－m)＋(1＋2k2)(m－1)2]＝0，所以3m2－2m－1＝0，解得m＝－或m＝1.当m＝1时，直线AB经过点D，不满足题意，所以直线AB的方程为y＝kx－，故直线AB过定点.
12. (1) 设椭圆的半焦距为c(c>0)，
由题意知2c＝2，所以c＝1，
所以△F1AB的周长为AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4，
所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 易知l的斜率不为0，设l：x＝my＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|y1－y2|＝＝，
所以S△F1AB＝F1F2·|y1－y2|＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
13. (1) 因为双曲线C的离心率为，虚轴长为1，
所以解得
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2) ①设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x并整理，得(m2－4)y2＋my＋＝0，
则Δ＝5m2－(m2－4)＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.
由y1y2＝＜0，解得－2＜m＜2，
所以实数m的取值范围为(－2，2).
②由①可得y1＋y2＝，y1y2＝，
所以MN＝|y1－y2|
＝＝.
因为直线l′与直线l垂直，所以n＝－，
同理得EF＝，
所以S＝MN·EF＝.
因为m∈(－2，2)，n∈(－2，2)，且m·n＝－1，
所以m，n∈∪.
所以S＝.
因为(4－m2)·(4m2－1)≤＝，
所以S≥2(1＋m2)2·＝，
当且仅当4－m2＝4m2－1，即m2＝1时，等号成立，
所以四边形EMFN面积的最小值为.