第4章　数列 单元练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

第4章　数　　列
一、 单项选择题
1 (2024温州中学期末)已知数列{an}的通项公式为an＝n，去掉数列中所有的a3k(k∈N*)，得到新数列{bn}，则b6的值为(　　)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2 已知数列{an}满足an＋＝1，若a50＝2，则a1的值为(　　)
A. －1 B. C. D. 2
3 (2025启东模拟)已知数列{an}满足a1＝－，－＝2，则数列{an}中的最小项为(　　)
A. a2 B. a3 C. a4 D. a5
4 已知数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝2n－1，前12项和为158，则a1的值为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5 (2025东阳一中模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，前n项积是Tn，若S6＝3，S3＝6，则下列结论中正确的是(　　)
A. Sn无最大值，Tn无最小值
B. Sn有最大值，Tn无最小值
C. Sn无最大值，Tn有最小值
D. Sn有最大值，Tn有最小值
6 (2024南通中学月考)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则a19的值为(　　)
A. 210 B. 209 C. 211 D. 207
二、 多项选择题
7 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，则此数列中最大的项为(　　)
A. a7 B. a8
C. a9 D. a10
8 (2025盐城中学月考)已知数列{an}满足a2＝4，an＋1＝2an＋2n，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＝2
B. 是等差数列
C. 一定是等比数列
D. 数列的前99项和为
三、 填空题
9 (2025如东一中月考)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
10 (2024宣城一中期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋an＋1＝2(n∈N*)，若数列的前k项和为Tk＝，则k＝________．
11 (2024怀柔期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，a3＋a4＝－3，则an＝________；Sn的最小值为________．
四、 解答题
12 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝Sn＋an＋1，________．
请在①a4＋a7＝1；②a1，a3，a4成等比数列；③S10＝5，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求Sn的最小值．
13 (2025启东中学模拟)已知项数为n(n≥2，n∈N*)的数列{an}满足：a1＋a2＋…＋an＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝3.
(1) 若n＝4，{an}为等比数列，求a1的值；
(2) 若n＝9，{an}是等差数列，求公差d的值．
第4章　数　　列
1. C　由题意，得新数列{bn}为1，2，4，5，7，8，10，11，…，所以b6＝8.
2. B　因为an＋＝1，a50＝2，所以a49＝1－＝1－＝，a48＝－1，a47＝2，所以数列{an}是周期为3的周期数列，则a1＝a49＝.
3. B　数列{an}满足a1＝－，－＝2，则a2＝－，a3＝－1，a4＝1，所以 n≥4，an＞0，故数列{an}中的最小项为a3.
4. B　因为an＋2＋(－1)nan＝2n－1，所以a4＋a2＝3，a8＋a6＝11，a12＋a10＝19，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝33.又a3－a1＝1，a5－a3＝5，a7－a5＝9，a9－a7＝13，a11－a9＝17，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝(a11－a9)＋2(a9－a7)＋3(a7－a5)＋4(a5－a3)＋5(a3－a1)＋6a1＝17＋2×13＋3×9＋4×5＋5×1＋6a1＝158－33，解得a1＝5.
5. D　若S6＝3，S3＝6，则解得d＝－1，a1＝3，则an＝3－(n－1)＝4－n，根据等差数列的性质，得当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值．因为a1＝3，a2＝2，a3＝1，a4＝0，当n＞4时，an＜0，故n＝1或n＝2或n＝3时，Tn＞0，当n≥4时，Tn＝0，即Tn存在最小值．
6. B　由题意，得a2－a1＝3，a3－a2＝4，…，a19－a18＝20，且a1＝2，所以(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a19－a18)＝a19－2＝3＋4＋…＋20＝＝207，所以a19＝209.
7. AB　因为数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)·，所以an＋1＝(n＋3)，所以＝×.令≥1，解得n≤7，即当n≤7时，an递增；当n＞7时，an递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞…，所以a7，a8最大．故选AB.
8. BC　对于A，令n＝1，可得a2＝2a1＋21，又a2＝4，可得a1＝1，故A错误；对于B，由题意，得＝＋1，即－＝1，又＝1，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确；对于C，由B可知＝n，所以＝2n-1，则是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；对于D，因为＝＝＝2，所以数列的前99项和为2×＝2×＝，故D错误．故选BC.
9. 2　由题意，得解得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝＝＝2.
10. 16　由题意，得S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝2n，则＝＝(－)，故Tk＝[＋＋…＋]＝＝，解得k＝16.
11. n－5　－10　设等差数列{an}的公差为d.因为a2＝－3，a3＋a4＝－3，所以解得所以an＝n－5，所以Sn＝＝(n2－9n)＝－，所以当n＝4或n＝5时Sn取得最小值，且Sn的最小值为S4＝S5＝－10.
12. (1) 因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝Sn＋an＋1，
所以an＋1－an＝Sn＋1－Sn－an＝1，
所以数列{an}为首项为a1，公差为1的等差数列.
若选①，由a4＋a7＝2a1＋9d＝1，解得a1＝－4，
所以an＝－4＋(n－1)×1＝n－5.
若选②，由a1，a3，a4成等比数列，得a1a4＝a，
即a1(a1＋3)＝(a1＋2)2，解得a1＝－4，
所以an＝－4＋(n－1)×1＝n－5.
若选③，由S10＝＝5，解得a1＝－4，
所以an＝－4＋(n－1)×1＝n－5.
(2) 由(1)，得an＝n－5，Sn＝＝＝，n∈N*，
所以当n＝4或n＝5时Sn取得最小值，
所以Sn的最小值为S4＝S5＝－10.
13. (1) 设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1.
因为a1＋a2＋a3＋a4＝0，所以＝0，
又a1≠0，解得q＝－1.
因为|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝3，所以4|a1|＝3，
解得a1＝或a1＝－.
(2) 因为a1＋a2＋…＋a9＝0，所以9a1＋d＝0，
所以a1＋4d＝0，即a5＝0.
当d＝0时，a1＝a2＝…＝a9＝0，
此时|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝0，不符合题意，舍去；
当d＜0时，则a1＋a2＋a3＋a4＝且a5＝0，即
解得a1＝，d＝－；
当d＞0时，则a1＋a2＋a3＋a4＝－且a5＝0，
即解得a1＝－，d＝.
综上所述，公差d的值为或－.