第5章 导数及其应用 单元练习（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

第5章　导数及其应用
一、 单项选择题
1 (2024保定一中期末)函数y＝log2x＋cos 的导数y′等于(　　)
A. B. x ln 2
C. －sin D. x ln 2－sin
2 (2024白蒲中学月考)已知函数f(x)＝xex＋，若f′(1)＝0，则实数k的值为(　　)
A. e B. C. 1 D. －e
3 (2025聊城一模)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. 4 B. 2 C. 1 D.
4 (2025孝义模拟)设函数f(x)＝x3－sin x＋x＋2，则满足f(x)＋f(2－3x)＜4的x取值范围是(　　)
A. (1，＋∞) B. (－∞，1)
C. (3，＋∞) D. (－∞，3)
5 已知函数f(x)＝ln x－ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A. [1，＋∞) B. (1，＋∞)
C. D.
6 已知f(x)＝在区间(m，6－m2)上有极小值，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，) B. (－2，)
C. [－2，) D. (－，1)
二、 多项选择题
7 (2024通州中学月考)下列命题中，正确的有(　　)
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)＝2，则 ＝2
B. ′＝
C. 已知函数f(x)＝ln (2x＋1)，若f′(x0)＝1，则x0＝
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－
8 (2025涟水中学期初)设函数f(x)＝x3－3x2＋5，则下列说法中正确的有(　　)
A. 函数f(x)仅有1个零点
B. x＝0是f(x)的极小值点
C. 函数f(x)的对称中心为(1，3)
D. 过点(3，1)可以作三条直线与y＝f(x)的图象相切
三、 填空题
9 若函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则实数a的值为________．
10 (2025阜阳一中期末)曲线y＝xex在点(1，e)处的切线方程为________．
11 (2025运城中学期末)设a＞0，若函数f(x)＝x ln x－x2＋x在区间(a，＋∞)上单调，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝aex－4x，a∈R.
(1) 若f(x)的图象在x＝0处的切线倾斜角为，求实数a的值；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
13 (2025九江一中期末)已知函数f(x)＝ex－x2＋x.
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 若关于x的不等式f(x)＞(1－a)x＋1在区间(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
第5章　导数及其应用
1. A　因为y＝log2x＋cos ，所以y′＝.
2. A　因为f(x)＝xex＋，所以f′(x)＝(x＋1)ex－，则f′(1)＝(1＋1)e－2k＝0，解得k＝e.
3. D　令f(x)＝y＝x ln x，则f′(x)＝y′＝ln x＋1，则f′(1)＝1.又当x＝1时，y＝0，所以曲线y＝x ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1，取x＝0，得y＝－1；取y＝0，得x＝1，所以曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×1＝.
4. A　令g(x)＝f(x)－2＝x3－sin x＋x，则g(－x)＝(－x)3－sin (－x)＋(－x)＝－(x3－sin x＋x)＝－g(x)，故g(x)是奇函数．因为g′(x)＝3x2－cos x＋1≥0，当x＝0时取等号，所以函数g(x)在R上单调递增，不等式f(x)＋f(2－3x)＜4可转化为f(x)－2＜－[f(2－3x)－2]，即g(x)＜－g(2－3x)＝g(3x－2)，则x＜3x－2，解得x＞1.
5. A　因为f(x)＝ln x－ax，所以f′(x)＝－a.因为f(x)在区间[1，3]上单调递减，所以f′(x)≤0，即－a≤0，则a≥在区间[1，3]上恒成立．因为y＝在区间[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1.
6. D　函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝.当x>1时，f′(x)>0；当x<0或07. CD　对于A， ＝2 ＝2f′(1)＝4，故A错误；对于B，′＝＝，故B错误；对于C，f′(x)＝，若f′(x0)＝1，则＝1，即x0＝，故C正确；对于D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，故f′(2)＝4＋3f′(2)＋，故f′(2)＝－，故D正确．故选CD.
8. ACD　对于A，B，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x＞2或x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(0)＝5，f(x)的极小值为f(2)＝1，又f(－2)＝－15，所以函数f(x)仅有1个零点，且该零点在区间(－2，0)上，故A正确，B错误；对于C，由f(x)＝x3－3x2＋5＝x2(x－3)＋5，得f(1＋x)＋f(1－x)＝(1＋x)2(1＋x－3)＋5＋(1－x)2(1－x－3)＋5＝6，即f(x)的图象关于点(1，3)对称，故C正确；对于D，设切点的坐标为(x0，x－3x＋5)，故切线的方程为y－(x－3x＋5)＝(3x－6x0)(x－x0)，又过点(3，1)，所以1－(x－3x＋5)＝(3x－6x0)(3－x0)，整理，得(x－4x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝2或x0＝2＋或x0＝2－，所以过点(3，1)可以作三条直线与y＝f(x)的图象相切，故D正确．故选ACD.
9. 3　由题意，得f′(x)＝－3x2＋2ax.因为函数f(x)在 x＝2处取得极值，所以f′(2)＝0，所以－3×4＋2a×2＝0，解得a＝3.
10. 2ex－y－e＝0　因为y′＝(x＋1)ex，所以曲线y＝xex在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即为2ex－y－e＝0.
11. [1，＋∞)　由题意，得f′(x)＝ln x＋1－2x＋1＝ln x－2x＋2.设g(x)＝ln x－2x＋2，则g′(x)＝－2＝，故g(x)在区间上单调递减，又f′(1)＝0，所以f(x)在区间上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以(a，＋∞) (1，＋∞)，则a≥1.故实数a的取值范围是[1，＋∞).
12. (1) 由题意，得f′(x)＝aex－4，
令f′(0)＝a－4＝tan ＝1，解得a＝5.
故实数a的值为5.
(2) 因为f′(x)＝aex－4，x∈R，
①当a≤0时，f′(x)＜0恒成立，
故f(x)在R上单调递减；
②当a＞0时，由f′(x)＜0，得x＜ln ，
由f′(x)＞0，得x＞ln ，
故f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当 a＞0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
13. (1) 由题意，得f′(x)＝ex－2x＋1.
令m(x)＝ex－2x＋1，则m′(x)＝ex－2，
当x∈(－∞，ln 2)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减；
当x∈(ln 2，＋∞)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增，
所以m(x)min＝m(ln 2)＝2＞0，即f′(x)＞0恒成立，
所以f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间．
(2) 由题意，得f(x)＞(1－a)x＋1在区间(0，＋∞)上恒成立，
即ex－x2＋x＞x－ax＋1恒成立，
即a＞＋x－在区间(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝＋x－，x∈(0，＋∞)，只需a＞g(x)max.
因为g′(x)＝－＋1－＝，
令h(x)＝x＋1－ex，x∈(0，＋∞)，有h′(x)＝1－ex＜0，
所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)＜h(0)＝0，即x＋1－ex＜0，
所以当x∈(0，1)时，g′(x)＞0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，
所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝2－e，即a＞2－e，
所以实数a的取值范围为(2－e，＋∞).