数学：7.2《等差数列的通项公式和前n项和》教案（沪教版高二上）
文档属性
| 名称 | 数学：7.2《等差数列的通项公式和前n项和》教案（沪教版高二上） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 56.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-01-19 19:05:00 | ||
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文档简介
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7.2（4）等差数列的通项公式和前n项和
上海市建平中学 虞涛
一、教学内容分析
本课是在学习等差数列的通项公式和前n项和公式后的一节练习课.在知晓公式的两种表示形式后，进一步分析公式的特征，运用公式解决一些基本问题.
二、教学目标设计
1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.从而发展分析问题、解决问题的能力.
三、教学重点及难点
熟练掌握等差数列的求和公式
灵活应用求和公式解决问题
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1．回忆
回忆一下上一节课所学主要内容.
1.等差数列的前项和公式：
和.
2.是一个常数项为零的二次式.
2．思考
两个求和公式的基本特征和使用条件.
3．讨论
二、学习新课
1．基本问题简析
求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.
分析：由2n－1＜60,得n＜.
又∵n∈N*. ∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.
即集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59.它们组成一个以=1,=59,n=30的等差数列.
∵=,∴==900.
故集合M中一共有30个元素，其和为900.
2．例题分析
例1.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和
分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*，n∈N }
解：分析题意可得满足条件的数属于集合.
M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N}
由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,
∴n可取0，1，2，3，…，32.
即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.
把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.
它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列.
由=,得==1650.
故在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.
例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
分析：若要确定其前n项求和公式，则要确定和d,由已知条件可获两个关于和的关系式，从而可求得.
解：由题意知.
代入公式.
可得 解得
.
[说明]（1）一般来说，等差数列的求解中，就是已知这五个量中的三个量，求另外的两个量的问题.其中和d是关键的基本量.
（2）从本题还可以看来，由S10与S20可确定Sn.事实上，已知两次代入求和公式就可以求出基本量和d，因此确定.
补充练习：一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
解：在等差数列中，
,－,－,……,－,－组成以为首项、（其中d为原等差数列的公差）为公差的等差数列.
∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和.
10+·D==10.解得D=－22.
∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.
[说明] 本题可以用等差数列前10项、前100项公式求得首项和公差，再求得前110项和.本题教师应根据自己学生的实际情况选用.
例3．已知数列是等差数列，是其前n项和，
求证：，-，-成等差数列.
证明：设首项是，公差为d，则
∵
.
是以36d为公差的等差数列
3．问题拓展
已知数列是等差数列，是其前n项和，
求证： （）成等差数列.
证明：同理可得是以(或)为公差的等差数列.
[说明]该问题是对上面例题的推广.
三、巩固练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得=24, －=27.
则设等差数列首项为,公差为d,则
解得：
∴=2n+1.
2．两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差数列,公差分别是,, 求与的值
解：∵5＝1＋8, ＝. 又5＝1＋7, ＝.
∴ ＝;
∵ ++……+＝7＝7×＝21,
++ ……+＝3×(1＋5)＝18.
∴ ＝.
3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值
解法1：∵＝+3d,
∴－15＝+9, ＝－24.
∴＝－24n+＝[(n－)－].
∴当|n－|最小时，最小.
即当n＝8或9时，＝＝－108最小.
解法2：由已知解得＝－24,d＝3,＝－24＋3(n－1).
∵由≤0得n≤9.
∴＝0.
∴当n＝8或9时，＝＝－108最小.
[说明] 以上巩固练习题供教师根据学生的实际情况选用.
四、课堂小结
本节课学习了以下内容：
（1）在问题解决过程中,灵活运用通项公式和前n项和公式；
（2）是等差数列，是其前n项和，则（）仍成等差数列
五、作业布置
练习册:P6 14,15,16.
补充练习:
1．一个凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
2．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.
3．两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比
4．设等差数列{}的前n项和为，已知=12，>0，<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
补充练习参考答案
1.8 2.5 3. 4.(1);(2)最大
七、教学设计说明
该节课的学习过程中，要注意引导学生观察分析和把握公式的结构特点，重视公式的多样性.在解题时，注意公式的合理选择.解决等差数列的前n项和的时候，既要注意从数列方面考虑问题，又要注意到数列自身的特殊性——项的符号对数列前n项和的单调性的影响，培养学生从多角度分析问题和处理问题的习惯.
熟悉公式
掌握基本方法
例题讲解
分析基本特征
回顾知识
课堂基本练习、小结并布置作业
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7.2（4）等差数列的通项公式和前n项和
上海市建平中学 虞涛
一、教学内容分析
本课是在学习等差数列的通项公式和前n项和公式后的一节练习课.在知晓公式的两种表示形式后，进一步分析公式的特征，运用公式解决一些基本问题.
二、教学目标设计
1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.从而发展分析问题、解决问题的能力.
三、教学重点及难点
熟练掌握等差数列的求和公式
灵活应用求和公式解决问题
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1．回忆
回忆一下上一节课所学主要内容.
1.等差数列的前项和公式：
和.
2.是一个常数项为零的二次式.
2．思考
两个求和公式的基本特征和使用条件.
3．讨论
二、学习新课
1．基本问题简析
求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.
分析：由2n－1＜60,得n＜.
又∵n∈N*. ∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.
即集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59.它们组成一个以=1,=59,n=30的等差数列.
∵=,∴==900.
故集合M中一共有30个元素，其和为900.
2．例题分析
例1.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和
分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*，n∈N }
解：分析题意可得满足条件的数属于集合.
M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N}
由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,
∴n可取0，1，2，3，…，32.
即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.
把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.
它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列.
由=,得==1650.
故在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.
例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
分析：若要确定其前n项求和公式，则要确定和d,由已知条件可获两个关于和的关系式，从而可求得.
解：由题意知.
代入公式.
可得 解得
.
[说明]（1）一般来说，等差数列的求解中，就是已知这五个量中的三个量，求另外的两个量的问题.其中和d是关键的基本量.
（2）从本题还可以看来，由S10与S20可确定Sn.事实上，已知两次代入求和公式就可以求出基本量和d，因此确定.
补充练习：一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
解：在等差数列中，
,－,－,……,－,－组成以为首项、（其中d为原等差数列的公差）为公差的等差数列.
∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和.
10+·D==10.解得D=－22.
∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.
[说明] 本题可以用等差数列前10项、前100项公式求得首项和公差，再求得前110项和.本题教师应根据自己学生的实际情况选用.
例3．已知数列是等差数列，是其前n项和，
求证：，-，-成等差数列.
证明：设首项是，公差为d，则
∵
.
是以36d为公差的等差数列
3．问题拓展
已知数列是等差数列，是其前n项和，
求证： （）成等差数列.
证明：同理可得是以(或)为公差的等差数列.
[说明]该问题是对上面例题的推广.
三、巩固练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得=24, －=27.
则设等差数列首项为,公差为d,则
解得：
∴=2n+1.
2．两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差数列,公差分别是,, 求与的值
解：∵5＝1＋8, ＝. 又5＝1＋7, ＝.
∴ ＝;
∵ ++……+＝7＝7×＝21,
++ ……+＝3×(1＋5)＝18.
∴ ＝.
3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值
解法1：∵＝+3d,
∴－15＝+9, ＝－24.
∴＝－24n+＝[(n－)－].
∴当|n－|最小时，最小.
即当n＝8或9时，＝＝－108最小.
解法2：由已知解得＝－24,d＝3,＝－24＋3(n－1).
∵由≤0得n≤9.
∴＝0.
∴当n＝8或9时，＝＝－108最小.
[说明] 以上巩固练习题供教师根据学生的实际情况选用.
四、课堂小结
本节课学习了以下内容：
（1）在问题解决过程中,灵活运用通项公式和前n项和公式；
（2）是等差数列，是其前n项和，则（）仍成等差数列
五、作业布置
练习册:P6 14,15,16.
补充练习:
1．一个凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
2．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.
3．两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比
4．设等差数列{}的前n项和为，已知=12，>0，<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
补充练习参考答案
1.8 2.5 3. 4.(1);(2)最大
七、教学设计说明
该节课的学习过程中，要注意引导学生观察分析和把握公式的结构特点，重视公式的多样性.在解题时，注意公式的合理选择.解决等差数列的前n项和的时候，既要注意从数列方面考虑问题，又要注意到数列自身的特殊性——项的符号对数列前n项和的单调性的影响，培养学生从多角度分析问题和处理问题的习惯.
熟悉公式
掌握基本方法
例题讲解
分析基本特征
回顾知识
课堂基本练习、小结并布置作业
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