专题7 统计与概率（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编
文档属性
| 名称 | 专题7 统计与概率（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 11:34:58 | ||
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文档简介
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专题7 统计与概率
一．选择题
1．（2025 余姚市一模）下列说法正确的是（ ）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
2．（2025 滨江区一模）每年的6月6日是全国爱眼日．为了解某初中学校2000名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级200名女生进行调查 B．按学籍号随机抽取200名学生进行调查
C．抽取九年级200名男生进行调查 D．按学籍号随机抽取5名学生进行调查
3．（2025 钱塘区一模）现有5张卡片，分别写若数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 临安区一模）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
5．（2025 上城区一模）某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ）
成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分
人数 2 1 3 9 15
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（2025 定海区一模）为了解某班学生参加跳绳考试训练的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们每分钟跳绳数量（单位：个）分别为165，160，175，160，180，185，180，190，160，175．这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．160，180 B．160，175 C．175，175 D．180，175
7．（2025 浙江一模）如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2025 衢州一模）小聪和小明5次数学测验的成绩如表，若小聪的平均分高于小明，则a的值可取（ ）
小聪 78 82 79 80 81
小明 76 84 80 87 a
A．75 B．74 C．73 D．72
9．（2025 宁波一模）已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等
10．（2025 定海区一模）一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025 浙江一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
12．（2025 杭州一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（ ）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
13．（2025 浙江模拟）在一组数据24，31，15，26，5■，54中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
14．（2025 萧山区一模）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00﹣10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题
15．（2025 湖州一模）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数＝，方差.若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是 ．
16．（2025 杭州二模）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是 ；方差是 （精确到0.1）．
17．（2025 萧山区一模）有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是 ．
18．（2025 衢州一模）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是 ．
19．（2025 宁波一模）已知如下的两组数据：
第一组：20，21，22，25，24，23；
第二组：20，21，23，25，a，26．
若两组数据的中位数相等，实数a＝ ．
20．（2025 衢江区一模）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个．
21．（2025 滨江区一模）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ．
三．解答题
22．（2025 杭州模拟）劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）
（3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数；
（4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
23．（2025 湖州一模）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）．
24．（2025 上城区一模）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表．
九年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数 百分比
Deepseek 18 a
Kimi 12
豆包 b
腾讯元宝 6
其他软件 8%
（1）请写出统计表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“Depscek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”、现从“Deepseck”、”Kimi”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率．
25．（2025 衢州一模）为了解某校七年级学生每周课外阅读的时间（单位：小时），随机抽查了该校七年级50名学生上周课外阅读的时间，统计结果如以下图表：
被抽查学生的阅读时间分布表
时间段（小时） 人数（人）
0≤x＜2 5
2≤x＜4 15
4≤x＜6 20
x≥6 a
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）计算表中a的值以及图中“x≥6”时间段对应的扇形圆心角度数；
（2）求样本数据的中位数所在的时间段；
（3）根据样本数据，估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的人数．
26．（2025 临安区一模）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
27．（2025 拱墅区一模）某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟．
（1）求a的值，并补全频数分布直方图．
（2）写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由．
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表
组别（分钟） 频数
0～20 32
20～40 48
40～60 60
60～80 a
80～100 20
28．（2025 湖州一模）某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为2：2：3：2：1），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集、整理后，绘制了如下的统计表和统计图：
学生投票数的频数表
组别 频数 频率
辩手A 108 0.3
辩手B 54 a
辩手C b 0.25
辩手D 72 c
其他辩手 36 0.1
评委评分的统计表（部分）
内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度
辩手A 70 95 90 85 85
辩手B 80 85 95 70 95
辩手C 80 85 95 70 95
辩手D 85 90 70 80 85
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图．
（2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手．
29．（2025 钱塘区一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
答案与解析
一．选择题
1．（2025 余姚市一模）下列说法正确的是（ ）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
【点拨】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
【解析】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；
C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．
2．（2025 滨江区一模）每年的6月6日是全国爱眼日．为了解某初中学校2000名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级200名女生进行调查 B．按学籍号随机抽取200名学生进行调查
C．抽取九年级200名男生进行调查 D．按学籍号随机抽取5名学生进行调查
【点拨】根据抽取的样本要具有代表性进行判断．
【解析】解：A、抽取八年级200名女生进行调查，抽取的学生年级、性别单一，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
B、按学籍号随机抽取200名学生进行调查，调查方案合理，符合题意；
C、抽取九年级200名男生进行调查，抽取的学生年级、性别单一，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
D、按学籍号随机抽取5名学生进行调查，抽取的学生的样本容量小，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，抽取的样本要具有代表性．
3．（2025 钱塘区一模）现有5张卡片，分别写若数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】直接根据概率公式求解即可．
【解析】解：从中随机抽取1张卡片，该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
4．（2025 临安区一模）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
【点拨】由加权平均数的定义即可得出答案．
【解析】解：根据加权平均数的定义，
他的总评成绩是：90×10%+80×30%+80×60%＝81（分），
故选：B．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
5．（2025 上城区一模）某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ）
成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分
人数 2 1 3 9 15
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【点拨】根据众数，平均数，方差和中位数的定义求解可得．
【解析】解：在这30位同学的成绩中，29分出现的次数为15次，其次是28分出现了9次，若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，上列统计量一定不受影响的是众数，众数依然是29分．
故选：C．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数的概念．
6．（2025 定海区一模）为了解某班学生参加跳绳考试训练的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们每分钟跳绳数量（单位：个）分别为165，160，175，160，180，185，180，190，160，175．这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．160，180 B．160，175 C．175，175 D．180，175
【点拨】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解析】解：将这组数据重新排列为：160，160，160，165，175，175，180，180，185，190，所以这组数据的众数为160，中位数为＝175，
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数．
7．（2025 浙江一模）如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【点拨】根据折线图可知甲的成绩比较稳定，然后问题可求解．
【解析】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定，所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查折线图及方差，熟练掌握折线图及方差是解题的关键．
8．（2025 衢州一模）小聪和小明5次数学测验的成绩如表，若小聪的平均分高于小明，则a的值可取（ ）
小聪 78 82 79 80 81
小明 76 84 80 87 a
A．75 B．74 C．73 D．72
【点拨】根据表格中的数据，先计算出小聪的平均分，再根据小聪的平均分高于小明，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
【解析】解：由表格可得，
小聪的平均分为：（78+82+79+80+81）÷5＝80（分），
∵小聪的平均分高于小明，
∴（76+84+80+87+a）÷5＜80，
解得a＜73，
∴a可以是72，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平均数、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法和解不等式的方法．
9．（2025 宁波一模）已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等
【点拨】根据平均数、中位数、方差和标准差的概念、计算公式判断即可．
【解析】解：A、设原数据的平均数为，
则新数据的平均数为m﹣1，平均数不相等，不符合题意；
B、设原数据的中位数为a，
则新数据的平均数为ma﹣1，中位数不相等，不符合题意；
C、设原数据的方差为S2，
则新数据的方差为m2S2，方差可能相等，也可能不相等，不符合题意；
D、设原数据的标准差为S，
则新数据的标准差为mS，当m＝1时，标准差相等，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平均数、中位数、方差和标准差，掌握相关的概念、计算公式是解题的关键．
10．（2025 定海区一模）一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及摸出两个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：列表如下：
红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中摸出两个红球的结果有4种，
∴摸出两个红球的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
11．（2025 浙江一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
【点拨】根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解．
【解析】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B不符合题意；
添加一个数8后方差为：[（11﹣8）2+（9﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（6﹣8）2]，
即添加一个数8后方差改变，故C选项符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方差，平均数，众数，熟练掌握定义是解答本题的关键．
12．（2025 杭州一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（ ）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
【点拨】根据总人数为50人，求出样本中70.5～80.5这一分数段的频数，根据频率＝频数除以总数即可求解．
【解析】解：样本中70.5～80.5这一分数段的频数是：50﹣3﹣12﹣9﹣6＝20，
则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是：＝0.4．
故选：D．
【点睛】本题考查频率分布直方图，知道频率＝频数÷总数是解题的关键．
13．（2025 浙江模拟）在一组数据24，31，15，26，5■，54中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【点拨】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为＝28.5，与被涂污数字无关．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念．
14．（2025 萧山区一模）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00﹣10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】根据折线统计图中的信息进行判定即可得出答案．
【解析】解：根据统计图可得，地铁的出行时间受出发时刻影响比较小，所以①选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，故②选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，7：00出行，选择公交车所用时间为32分钟，所以③选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，根据题目要求读懂折线统计图中的信息进行求解是解决本题的关键．
二．填空题
15．（2025 湖州一模）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数＝，方差.若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是 甲 ．
【点拨】根据方差的意义求解即可．
【解析】解：∵方差，
∴若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
16．（2025 杭州二模）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是 23 ；方差是 2.6 （精确到0.1）．
【点拨】根据中位数和方差的定义解答．数据从小到大排列，第4个数为中位数；方差＝[（22﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（25﹣24）2+（25﹣24）2+（27﹣24）2]．
【解析】解：此组数据从小到大排列为22，23，23，23，25，25，27，由中位数的定义知中位数为23；
平均数＝（22+23+23+23+25+25+27）÷7＝24；
方差＝[（22﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（25﹣24）2+（25﹣24）2+（27﹣24）2]＝≈2.6，
∴这组数据的中位数是23；方差是2.6．
故填23，2.6．
【点睛】（1）将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．（2）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．（2）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
17．（2025 萧山区一模）有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是 ．
【点拨】先得出2的倍数，再根据概率公式即可得出结论．
【解析】解：∵1～9中2的倍数有2、4、6、8四个数，
∴抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
18．（2025 衢州一模）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是 ．
【点拨】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案．
【解析】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针落在白色区域的概率为．
故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键．
19．（2025 宁波一模）已知如下的两组数据：
第一组：20，21，22，25，24，23；
第二组：20，21，23，25，a，26．
若两组数据的中位数相等，实数a＝ 22 ．
【点拨】先求出第一组的中位数为22.5，然后再分类讨论即可求解．
【解析】解：第一组：20，21，22，25，24，23排列后为20，21，22，23，24，25，
∴中位数为（22+23）÷2＝22.5，
①第二组排列为：a，20，21，23，25，26，中位数为（21+23）÷2＝22，不符合题意；
②第二组排列为：20，a，21，23，25，26，中位数为（21+23）÷2＝22，不符合题意；
③第二组排列为：20，21，a，23，25，26，中位数为（a+23）÷2＝22.5，解得：a＝22；
④第二组排列为：20，21，23，a，25，26，中位数为（a+23）÷2＝22.5，解得：a＝22，此时a＜23，不符合题意；
⑤第二组排列为：20，21，23，25，a，26，中位数为（25+23）÷2＝24，不符合题意；
⑥第二组排列为：20，21，23，25，26，a，中位数为（25+23）÷2＝24，不符合题意；
故a＝22，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查的是中位数，熟知将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
20．（2025 衢江区一模）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 12 个．
【点拨】根据白球个数和频率，可以估算出球的总数，然后即可计算出红球个数．
【解析】解：由题意可得，
袋中约有红球：8÷0.4﹣8
＝20﹣8
＝12（个），
故答案为：12．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率的知识估算出红球的个数．
21．（2025 滨江区一模）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ．
【点拨】根据题意，可以先画出相应的树状图，然后即可求得布袋里最后剩下的球是①号球的概率．
【解析】解：树状图如下，
由上可得，一共有4种可能性，其中布袋里最后剩下的球是①号球的可能性有1种，
∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
三．解答题
22．（2025 杭州模拟）劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 50 人，扇形统计图中m的值为 30 ；
（2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）
（3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数；
（4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
【点拨】（1）将D组的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的学生人数；将B组人数除以本次抽取的学生人数，再乘以100即可求出m；
（2）先求出C组的人数，再补全条形统计图即可；
（3）拿360°乘以C组的占比即可；
（4）用样本估计总体的思想可估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生人数．
【解析】解：（1）本次抽取的学生人数为：5÷10%＝50（人）；
，
故答案为：50，30；
（2）C组人数为：50﹣（10+15+5）＝20（人），
如图：
（3）；
（4）∵（人），
∴时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有500人．
【点睛】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
23．（2025 湖州一模）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 85 ，b＝ 87 ；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 七 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）．
【点拨】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；根据中位数分析判断是几年级学生即可；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
（3）两组数据的平均数相同，通过中位数或众数或方差的大小直接比较即可．
【解析】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数b＝87，
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生．
故答案为：85，87，七；
（2）600×+600×＝660（人），
答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人；
（3）我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．（答案不唯一）
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
24．（2025 上城区一模）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表．
九年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数 百分比
Deepseek 18 a
Kimi 12
豆包 b
腾讯元宝 6
其他软件 8%
（1）请写出统计表中a，b的值：a＝ 36% ，b＝ 10 ；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“Depscek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”、现从“Deepseck”、”Kimi”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率．
【点拨】（1）用表格中腾讯元宝的使用人数除以扇形统计图中腾讯元宝的百分比可得调查的人数，用表格中Deepseek的使用人数除以调查的人数再乘以100%可得a的值，用扇形统计图中豆包的百分比乘以调查的人数可得b的值．
（2）根据用样本估计总体，用400乘以样本中A级的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得，调查的人数为6÷12%＝50（人），
∴a＝18÷50×100%＝36%，b＝50×20%＝10．
故答案为：36%；10．
（2）400×36%＝144（人）．
∴估计最常使用“Deepseek”的同学约有144人．
（3）将“Deepseck”、”Kimi”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、全面调查与抽样调查、用样本估计总体、统计表、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
25．（2025 衢州一模）为了解某校七年级学生每周课外阅读的时间（单位：小时），随机抽查了该校七年级50名学生上周课外阅读的时间，统计结果如以下图表：
被抽查学生的阅读时间分布表
时间段（小时） 人数（人）
0≤x＜2 5
2≤x＜4 15
4≤x＜6 20
x≥6 a
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）计算表中a的值以及图中“x≥6”时间段对应的扇形圆心角度数；
（2）求样本数据的中位数所在的时间段；
（3）根据样本数据，估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的人数．
【点拨】（1）根据“频数÷百分比＝数据总数”先计算总数，再根据表中频数求a，然后用360°×“x≥6”所占百分比即可得出“x≥6”时间段对应的扇形圆心角度数；
（2）利用数据的总个数的确定中位数，再根据取值确定所在小组；
（3）周课外阅读不低于4小时的在两个组，用总数2000乘以这两组的百分比的和即可．
【解析】解：（1）a＝50﹣5﹣15﹣20＝10，
：360°×＝72°；
（2）由被抽查学生的阅读时间分布表可知，在50个数据中第25位和第26位数都在时间段，
∴样本数据的中位数所在4≤x＜6时间段；
（3）800×＝480（人），
答：估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的有480人．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，频数分布表，中位数，用样本估计总体等知识，解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息．
26．（2025 临安区一模）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
【点拨】（1）根据中位数平均数的概念分别求出a，b，再利用方差的概念即可解答；
（2）根据表中的上统计量，对两名同学的得分进行评价，理由合理即可．
【解析】解：（1）由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）由题干可知甲中位数：，
∴a＝2；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
【点睛】本题主要考查了中位数的定义、方差的概念和意义、平均数的计算公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
27．（2025 拱墅区一模）某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟．
（1）求a的值，并补全频数分布直方图．
（2）写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由．
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表
组别（分钟） 频数
0～20 32
20～40 48
40～60 60
60～80 a
80～100 20
【点拨】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a的值，然后将频数分布直方图补充完整即可；
（2）先写出中位数所在的组别，然后根据频数分布表中的数据，通过计算说明即可．
【解析】解：（1）a＝200﹣32﹣48﹣60﹣20＝40，
补全的频数分布直方图如下所示，
（2）这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组，
理由：∵32+48＝80，32+48+60＝140，某社区随机调查了200位18周岁及以上居民，
∴这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．（2025 湖州一模）某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为2：2：3：2：1），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集、整理后，绘制了如下的统计表和统计图：
学生投票数的频数表
组别 频数 频率
辩手A 108 0.3
辩手B 54 a
辩手C b 0.25
辩手D 72 c
其他辩手 36 0.1
评委评分的统计表（部分）
内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度
辩手A 70 95 90 85 85
辩手B 80 85 95 70 95
辩手C 80 85 95 70 95
辩手D 85 90 70 80 85
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图．
（2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手．
【点拨】（1）先根据辩手A的频数和频率求出学生总人数，再根据频率＝求出a，c，再用总数﹣108﹣54﹣72﹣36求出b，然后画出图形；
（2）根据题意直接求出最佳人气奖获得者，然后再计算加权平均数得出最佳辩手．
【解析】解：（1）∵＝360（人），
∴a＝＝0.15，c＝＝0.2，
b＝360﹣108﹣54﹣72﹣36＝90，
补全条形统计图：
（2）根据题意知，最佳人气奖获得者是辩手A和辩手C；
辩手A的加权平均分为：＝85.5；
辩手C的加权平均分为：＝85．
∴最佳辩手为A辩手．
【点睛】此题主要考查了条形统计图、频数分布表、加权平均数，关键是对这些知识的掌握和运用．
29．（2025 钱塘区一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
【点拨】游戏一：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出红球的结果有2种，利用概率公式可得答案；游戏二：列表可得出所有等可能的结果数以及摸出两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：游戏一：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出红球的结果有2种，
∴甲同学获胜的概率为．
游戏二：列表如下：
红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中摸出两球颜色相同的结果有5种，
∴甲同学获胜的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
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专题7 统计与概率
一．选择题
1．（2025 余姚市一模）下列说法正确的是（ ）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
2．（2025 滨江区一模）每年的6月6日是全国爱眼日．为了解某初中学校2000名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级200名女生进行调查 B．按学籍号随机抽取200名学生进行调查
C．抽取九年级200名男生进行调查 D．按学籍号随机抽取5名学生进行调查
3．（2025 钱塘区一模）现有5张卡片，分别写若数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 临安区一模）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
5．（2025 上城区一模）某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ）
成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分
人数 2 1 3 9 15
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（2025 定海区一模）为了解某班学生参加跳绳考试训练的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们每分钟跳绳数量（单位：个）分别为165，160，175，160，180，185，180，190，160，175．这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．160，180 B．160，175 C．175，175 D．180，175
7．（2025 浙江一模）如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2025 衢州一模）小聪和小明5次数学测验的成绩如表，若小聪的平均分高于小明，则a的值可取（ ）
小聪 78 82 79 80 81
小明 76 84 80 87 a
A．75 B．74 C．73 D．72
9．（2025 宁波一模）已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等
10．（2025 定海区一模）一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025 浙江一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
12．（2025 杭州一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（ ）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
13．（2025 浙江模拟）在一组数据24，31，15，26，5■，54中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
14．（2025 萧山区一模）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00﹣10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题
15．（2025 湖州一模）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数＝，方差.若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是 ．
16．（2025 杭州二模）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是 ；方差是 （精确到0.1）．
17．（2025 萧山区一模）有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是 ．
18．（2025 衢州一模）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是 ．
19．（2025 宁波一模）已知如下的两组数据：
第一组：20，21，22，25，24，23；
第二组：20，21，23，25，a，26．
若两组数据的中位数相等，实数a＝ ．
20．（2025 衢江区一模）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个．
21．（2025 滨江区一模）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ．
三．解答题
22．（2025 杭州模拟）劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）
（3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数；
（4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
23．（2025 湖州一模）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）．
24．（2025 上城区一模）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表．
九年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数 百分比
Deepseek 18 a
Kimi 12
豆包 b
腾讯元宝 6
其他软件 8%
（1）请写出统计表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“Depscek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”、现从“Deepseck”、”Kimi”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率．
25．（2025 衢州一模）为了解某校七年级学生每周课外阅读的时间（单位：小时），随机抽查了该校七年级50名学生上周课外阅读的时间，统计结果如以下图表：
被抽查学生的阅读时间分布表
时间段（小时） 人数（人）
0≤x＜2 5
2≤x＜4 15
4≤x＜6 20
x≥6 a
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）计算表中a的值以及图中“x≥6”时间段对应的扇形圆心角度数；
（2）求样本数据的中位数所在的时间段；
（3）根据样本数据，估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的人数．
26．（2025 临安区一模）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
27．（2025 拱墅区一模）某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟．
（1）求a的值，并补全频数分布直方图．
（2）写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由．
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表
组别（分钟） 频数
0～20 32
20～40 48
40～60 60
60～80 a
80～100 20
28．（2025 湖州一模）某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为2：2：3：2：1），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集、整理后，绘制了如下的统计表和统计图：
学生投票数的频数表
组别 频数 频率
辩手A 108 0.3
辩手B 54 a
辩手C b 0.25
辩手D 72 c
其他辩手 36 0.1
评委评分的统计表（部分）
内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度
辩手A 70 95 90 85 85
辩手B 80 85 95 70 95
辩手C 80 85 95 70 95
辩手D 85 90 70 80 85
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图．
（2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手．
29．（2025 钱塘区一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
答案与解析
一．选择题
1．（2025 余姚市一模）下列说法正确的是（ ）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
【点拨】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
【解析】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；
C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．
2．（2025 滨江区一模）每年的6月6日是全国爱眼日．为了解某初中学校2000名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级200名女生进行调查 B．按学籍号随机抽取200名学生进行调查
C．抽取九年级200名男生进行调查 D．按学籍号随机抽取5名学生进行调查
【点拨】根据抽取的样本要具有代表性进行判断．
【解析】解：A、抽取八年级200名女生进行调查，抽取的学生年级、性别单一，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
B、按学籍号随机抽取200名学生进行调查，调查方案合理，符合题意；
C、抽取九年级200名男生进行调查，抽取的学生年级、性别单一，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
D、按学籍号随机抽取5名学生进行调查，抽取的学生的样本容量小，无法反映全校情况，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，抽取的样本要具有代表性．
3．（2025 钱塘区一模）现有5张卡片，分别写若数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】直接根据概率公式求解即可．
【解析】解：从中随机抽取1张卡片，该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
4．（2025 临安区一模）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
【点拨】由加权平均数的定义即可得出答案．
【解析】解：根据加权平均数的定义，
他的总评成绩是：90×10%+80×30%+80×60%＝81（分），
故选：B．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
5．（2025 上城区一模）某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ）
成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分
人数 2 1 3 9 15
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【点拨】根据众数，平均数，方差和中位数的定义求解可得．
【解析】解：在这30位同学的成绩中，29分出现的次数为15次，其次是28分出现了9次，若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，上列统计量一定不受影响的是众数，众数依然是29分．
故选：C．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数的概念．
6．（2025 定海区一模）为了解某班学生参加跳绳考试训练的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们每分钟跳绳数量（单位：个）分别为165，160，175，160，180，185，180，190，160，175．这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．160，180 B．160，175 C．175，175 D．180，175
【点拨】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解析】解：将这组数据重新排列为：160，160，160，165，175，175，180，180，185，190，所以这组数据的众数为160，中位数为＝175，
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数．
7．（2025 浙江一模）如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【点拨】根据折线图可知甲的成绩比较稳定，然后问题可求解．
【解析】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定，所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查折线图及方差，熟练掌握折线图及方差是解题的关键．
8．（2025 衢州一模）小聪和小明5次数学测验的成绩如表，若小聪的平均分高于小明，则a的值可取（ ）
小聪 78 82 79 80 81
小明 76 84 80 87 a
A．75 B．74 C．73 D．72
【点拨】根据表格中的数据，先计算出小聪的平均分，再根据小聪的平均分高于小明，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
【解析】解：由表格可得，
小聪的平均分为：（78+82+79+80+81）÷5＝80（分），
∵小聪的平均分高于小明，
∴（76+84+80+87+a）÷5＜80，
解得a＜73，
∴a可以是72，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平均数、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法和解不等式的方法．
9．（2025 宁波一模）已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等
【点拨】根据平均数、中位数、方差和标准差的概念、计算公式判断即可．
【解析】解：A、设原数据的平均数为，
则新数据的平均数为m﹣1，平均数不相等，不符合题意；
B、设原数据的中位数为a，
则新数据的平均数为ma﹣1，中位数不相等，不符合题意；
C、设原数据的方差为S2，
则新数据的方差为m2S2，方差可能相等，也可能不相等，不符合题意；
D、设原数据的标准差为S，
则新数据的标准差为mS，当m＝1时，标准差相等，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平均数、中位数、方差和标准差，掌握相关的概念、计算公式是解题的关键．
10．（2025 定海区一模）一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及摸出两个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：列表如下：
红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中摸出两个红球的结果有4种，
∴摸出两个红球的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
11．（2025 浙江一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
【点拨】根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解．
【解析】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B不符合题意；
添加一个数8后方差为：[（11﹣8）2+（9﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（6﹣8）2]，
即添加一个数8后方差改变，故C选项符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方差，平均数，众数，熟练掌握定义是解答本题的关键．
12．（2025 杭州一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（ ）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
【点拨】根据总人数为50人，求出样本中70.5～80.5这一分数段的频数，根据频率＝频数除以总数即可求解．
【解析】解：样本中70.5～80.5这一分数段的频数是：50﹣3﹣12﹣9﹣6＝20，
则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是：＝0.4．
故选：D．
【点睛】本题考查频率分布直方图，知道频率＝频数÷总数是解题的关键．
13．（2025 浙江模拟）在一组数据24，31，15，26，5■，54中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【点拨】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为＝28.5，与被涂污数字无关．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念．
14．（2025 萧山区一模）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00﹣10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】根据折线统计图中的信息进行判定即可得出答案．
【解析】解：根据统计图可得，地铁的出行时间受出发时刻影响比较小，所以①选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，故②选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，7：00出行，选择公交车所用时间为32分钟，所以③选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，根据题目要求读懂折线统计图中的信息进行求解是解决本题的关键．
二．填空题
15．（2025 湖州一模）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数＝，方差.若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是 甲 ．
【点拨】根据方差的意义求解即可．
【解析】解：∵方差，
∴若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
16．（2025 杭州二模）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是 23 ；方差是 2.6 （精确到0.1）．
【点拨】根据中位数和方差的定义解答．数据从小到大排列，第4个数为中位数；方差＝[（22﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（25﹣24）2+（25﹣24）2+（27﹣24）2]．
【解析】解：此组数据从小到大排列为22，23，23，23，25，25，27，由中位数的定义知中位数为23；
平均数＝（22+23+23+23+25+25+27）÷7＝24；
方差＝[（22﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（23﹣24）2+（25﹣24）2+（25﹣24）2+（27﹣24）2]＝≈2.6，
∴这组数据的中位数是23；方差是2.6．
故填23，2.6．
【点睛】（1）将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．（2）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．（2）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
17．（2025 萧山区一模）有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是 ．
【点拨】先得出2的倍数，再根据概率公式即可得出结论．
【解析】解：∵1～9中2的倍数有2、4、6、8四个数，
∴抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
18．（2025 衢州一模）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是 ．
【点拨】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案．
【解析】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针落在白色区域的概率为．
故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键．
19．（2025 宁波一模）已知如下的两组数据：
第一组：20，21，22，25，24，23；
第二组：20，21，23，25，a，26．
若两组数据的中位数相等，实数a＝ 22 ．
【点拨】先求出第一组的中位数为22.5，然后再分类讨论即可求解．
【解析】解：第一组：20，21，22，25，24，23排列后为20，21，22，23，24，25，
∴中位数为（22+23）÷2＝22.5，
①第二组排列为：a，20，21，23，25，26，中位数为（21+23）÷2＝22，不符合题意；
②第二组排列为：20，a，21，23，25，26，中位数为（21+23）÷2＝22，不符合题意；
③第二组排列为：20，21，a，23，25，26，中位数为（a+23）÷2＝22.5，解得：a＝22；
④第二组排列为：20，21，23，a，25，26，中位数为（a+23）÷2＝22.5，解得：a＝22，此时a＜23，不符合题意；
⑤第二组排列为：20，21，23，25，a，26，中位数为（25+23）÷2＝24，不符合题意；
⑥第二组排列为：20，21，23，25，26，a，中位数为（25+23）÷2＝24，不符合题意；
故a＝22，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查的是中位数，熟知将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
20．（2025 衢江区一模）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 12 个．
【点拨】根据白球个数和频率，可以估算出球的总数，然后即可计算出红球个数．
【解析】解：由题意可得，
袋中约有红球：8÷0.4﹣8
＝20﹣8
＝12（个），
故答案为：12．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率的知识估算出红球的个数．
21．（2025 滨江区一模）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ．
【点拨】根据题意，可以先画出相应的树状图，然后即可求得布袋里最后剩下的球是①号球的概率．
【解析】解：树状图如下，
由上可得，一共有4种可能性，其中布袋里最后剩下的球是①号球的可能性有1种，
∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
三．解答题
22．（2025 杭州模拟）劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 50 人，扇形统计图中m的值为 30 ；
（2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）
（3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数；
（4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
【点拨】（1）将D组的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的学生人数；将B组人数除以本次抽取的学生人数，再乘以100即可求出m；
（2）先求出C组的人数，再补全条形统计图即可；
（3）拿360°乘以C组的占比即可；
（4）用样本估计总体的思想可估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生人数．
【解析】解：（1）本次抽取的学生人数为：5÷10%＝50（人）；
，
故答案为：50，30；
（2）C组人数为：50﹣（10+15+5）＝20（人），
如图：
（3）；
（4）∵（人），
∴时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有500人．
【点睛】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
23．（2025 湖州一模）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 85 ，b＝ 87 ；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 七 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）．
【点拨】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；根据中位数分析判断是几年级学生即可；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
（3）两组数据的平均数相同，通过中位数或众数或方差的大小直接比较即可．
【解析】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数b＝87，
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生．
故答案为：85，87，七；
（2）600×+600×＝660（人），
答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人；
（3）我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．（答案不唯一）
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
24．（2025 上城区一模）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表．
九年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数 百分比
Deepseek 18 a
Kimi 12
豆包 b
腾讯元宝 6
其他软件 8%
（1）请写出统计表中a，b的值：a＝ 36% ，b＝ 10 ；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“Depscek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”、现从“Deepseck”、”Kimi”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率．
【点拨】（1）用表格中腾讯元宝的使用人数除以扇形统计图中腾讯元宝的百分比可得调查的人数，用表格中Deepseek的使用人数除以调查的人数再乘以100%可得a的值，用扇形统计图中豆包的百分比乘以调查的人数可得b的值．
（2）根据用样本估计总体，用400乘以样本中A级的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得，调查的人数为6÷12%＝50（人），
∴a＝18÷50×100%＝36%，b＝50×20%＝10．
故答案为：36%；10．
（2）400×36%＝144（人）．
∴估计最常使用“Deepseek”的同学约有144人．
（3）将“Deepseck”、”Kimi”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、全面调查与抽样调查、用样本估计总体、统计表、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
25．（2025 衢州一模）为了解某校七年级学生每周课外阅读的时间（单位：小时），随机抽查了该校七年级50名学生上周课外阅读的时间，统计结果如以下图表：
被抽查学生的阅读时间分布表
时间段（小时） 人数（人）
0≤x＜2 5
2≤x＜4 15
4≤x＜6 20
x≥6 a
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）计算表中a的值以及图中“x≥6”时间段对应的扇形圆心角度数；
（2）求样本数据的中位数所在的时间段；
（3）根据样本数据，估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的人数．
【点拨】（1）根据“频数÷百分比＝数据总数”先计算总数，再根据表中频数求a，然后用360°×“x≥6”所占百分比即可得出“x≥6”时间段对应的扇形圆心角度数；
（2）利用数据的总个数的确定中位数，再根据取值确定所在小组；
（3）周课外阅读不低于4小时的在两个组，用总数2000乘以这两组的百分比的和即可．
【解析】解：（1）a＝50﹣5﹣15﹣20＝10，
：360°×＝72°；
（2）由被抽查学生的阅读时间分布表可知，在50个数据中第25位和第26位数都在时间段，
∴样本数据的中位数所在4≤x＜6时间段；
（3）800×＝480（人），
答：估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的有480人．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，频数分布表，中位数，用样本估计总体等知识，解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息．
26．（2025 临安区一模）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
【点拨】（1）根据中位数平均数的概念分别求出a，b，再利用方差的概念即可解答；
（2）根据表中的上统计量，对两名同学的得分进行评价，理由合理即可．
【解析】解：（1）由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）由题干可知甲中位数：，
∴a＝2；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
【点睛】本题主要考查了中位数的定义、方差的概念和意义、平均数的计算公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
27．（2025 拱墅区一模）某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟．
（1）求a的值，并补全频数分布直方图．
（2）写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由．
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表
组别（分钟） 频数
0～20 32
20～40 48
40～60 60
60～80 a
80～100 20
【点拨】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a的值，然后将频数分布直方图补充完整即可；
（2）先写出中位数所在的组别，然后根据频数分布表中的数据，通过计算说明即可．
【解析】解：（1）a＝200﹣32﹣48﹣60﹣20＝40，
补全的频数分布直方图如下所示，
（2）这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组，
理由：∵32+48＝80，32+48+60＝140，某社区随机调查了200位18周岁及以上居民，
∴这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．（2025 湖州一模）某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为2：2：3：2：1），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集、整理后，绘制了如下的统计表和统计图：
学生投票数的频数表
组别 频数 频率
辩手A 108 0.3
辩手B 54 a
辩手C b 0.25
辩手D 72 c
其他辩手 36 0.1
评委评分的统计表（部分）
内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度
辩手A 70 95 90 85 85
辩手B 80 85 95 70 95
辩手C 80 85 95 70 95
辩手D 85 90 70 80 85
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图．
（2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手．
【点拨】（1）先根据辩手A的频数和频率求出学生总人数，再根据频率＝求出a，c，再用总数﹣108﹣54﹣72﹣36求出b，然后画出图形；
（2）根据题意直接求出最佳人气奖获得者，然后再计算加权平均数得出最佳辩手．
【解析】解：（1）∵＝360（人），
∴a＝＝0.15，c＝＝0.2，
b＝360﹣108﹣54﹣72﹣36＝90，
补全条形统计图：
（2）根据题意知，最佳人气奖获得者是辩手A和辩手C；
辩手A的加权平均分为：＝85.5；
辩手C的加权平均分为：＝85．
∴最佳辩手为A辩手．
【点睛】此题主要考查了条形统计图、频数分布表、加权平均数，关键是对这些知识的掌握和运用．
29．（2025 钱塘区一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
【点拨】游戏一：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出红球的结果有2种，利用概率公式可得答案；游戏二：列表可得出所有等可能的结果数以及摸出两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：游戏一：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出红球的结果有2种，
∴甲同学获胜的概率为．
游戏二：列表如下：
红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中摸出两球颜色相同的结果有5种，
∴甲同学获胜的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
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