数学：7.2《等差数列的前n项和》教案（沪教版高二上）
文档属性
| 名称 | 数学：7.2《等差数列的前n项和》教案（沪教版高二上） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 37.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-01-19 19:05:00 | ||
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文档简介
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7.2（3）等差数列的前n项和
上海市建平中学 虞涛
一、教学内容分析
本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法.
二、教学目标设计
1．掌握等差数列前n项和公式推导思路和方法．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题
三、教学重点及难点
等差数列n项和公式的理解、推导及简单应用
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的问题
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1．观察
高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:
1+2+…+100= ”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10;…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050”
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…;50+51=101，所以101×50=5050.”
2．思考
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法.这就是 “倒序相加”法
3．讨论
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数列求和问题？
这个问题，类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们设想：如果还有一堆同样放置的铅笔的V形架.我们将它倒置拼在一旁,那么这时每层铅笔的个数相同.可以发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去研究一般地等差数列的前n项的和公式.如果我们可归纳出这一个公式，那么上述问题便可迎刃而解.
二、学习新课
1．公式推导
等差数列的前项和公式1:.
推导过程：
证明： ①
②
①+②：.
∵.
∴. 由此得：.
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2．等差数列的前项和公式2：.
用上述公式要求必须具备三个条件：.把 入公式1即得：.
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求,必须已知中三个
公式2又可化成式子：当d≠0，是一个常数项为零的二次式
2．例题分析
例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得
.
答：V形架上共放着7260支铅笔
3．问题拓展
例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为，前n项的和为,则
.
由公式可得.
解得（舍）.
故等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.
三、巩固练习
1．求集合的元素个数，并求这些元素的和
解：由得 .
∴正整数共有14个即中共有14个元素.
即7，14，21，…，98是的等差数列.
∴.
四、课堂小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前项和公式1：.
2.等差数列的前项和公式2：.
3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.
五、作业布置
课本练习:p19,1,2,3.
补充练习:
1.已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和．
2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前项和的公式.
补充练习参考答案
1. 2.
七、教学设计说明
该节课是通过对于1+2+3+…+100的算法，发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首、末项的和，从而得出了求等差数列前n项和的思路，获得求和的一般思路.关键是通过具体的例子发现一般规律，然后导出前n项和公式.教师应多创造机会让学生自己去发现、推导，逐步体会从特殊到一般的认识过程及归纳的思想方法.
实际问题
推导过程
公式推导
推导方法
故事引入
课堂基本练习、小结并布置作业
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7.2（3）等差数列的前n项和
上海市建平中学 虞涛
一、教学内容分析
本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法.
二、教学目标设计
1．掌握等差数列前n项和公式推导思路和方法．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题
三、教学重点及难点
等差数列n项和公式的理解、推导及简单应用
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的问题
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1．观察
高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:
1+2+…+100= ”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10;…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050”
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…;50+51=101，所以101×50=5050.”
2．思考
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法.这就是 “倒序相加”法
3．讨论
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数列求和问题？
这个问题，类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们设想：如果还有一堆同样放置的铅笔的V形架.我们将它倒置拼在一旁,那么这时每层铅笔的个数相同.可以发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去研究一般地等差数列的前n项的和公式.如果我们可归纳出这一个公式，那么上述问题便可迎刃而解.
二、学习新课
1．公式推导
等差数列的前项和公式1:.
推导过程：
证明： ①
②
①+②：.
∵.
∴. 由此得：.
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2．等差数列的前项和公式2：.
用上述公式要求必须具备三个条件：.把 入公式1即得：.
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求,必须已知中三个
公式2又可化成式子：当d≠0，是一个常数项为零的二次式
2．例题分析
例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得
.
答：V形架上共放着7260支铅笔
3．问题拓展
例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为，前n项的和为,则
.
由公式可得.
解得（舍）.
故等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.
三、巩固练习
1．求集合的元素个数，并求这些元素的和
解：由得 .
∴正整数共有14个即中共有14个元素.
即7，14，21，…，98是的等差数列.
∴.
四、课堂小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前项和公式1：.
2.等差数列的前项和公式2：.
3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.
五、作业布置
课本练习:p19,1,2,3.
补充练习:
1.已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和．
2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前项和的公式.
补充练习参考答案
1. 2.
七、教学设计说明
该节课是通过对于1+2+3+…+100的算法，发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首、末项的和，从而得出了求等差数列前n项和的思路，获得求和的一般思路.关键是通过具体的例子发现一般规律，然后导出前n项和公式.教师应多创造机会让学生自己去发现、推导，逐步体会从特殊到一般的认识过程及归纳的思想方法.
实际问题
推导过程
公式推导
推导方法
故事引入
课堂基本练习、小结并布置作业
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