广东省深圳市宝安区2024-2025学年九年级下学期数学二模试题
1．（2025九下·宝安模拟）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·宝安模拟）每年3月21日为“国际森林日”，提醒着人们对森林问题的关注，善待森林即善待人类自己．根据官方数据，深圳市森林碳储量为万吨，将“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·宝安模拟）嘉嘉同学要从网络流行语“数智化，情绪价值，松弛感”3个词语中随机抽取1个进行“表演猜词语”，嘉嘉同学抽中“松弛感”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·宝安模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·宝安模拟）一个含角和另一个含角的直角三角形，按如图所示叠放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·宝安模拟）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将份奖品分给了名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份．根据题意可列方程（组）（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·宝安模拟）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九下·宝安模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中A、C的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九下·宝安模拟）关于的一元一次方程的解为，这个方程可以是 ．（写出一个答案即可，且不能是）
10．（2025九下·宝安模拟）如图，在数轴上表示实数的点可能是 ．
11．（2025九下·宝安模拟）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了 米．
12．（2025九下·宝安模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则 ．
13．（2025九下·宝安模拟）如图，中，，点是上一点，，连接，沿着翻折得到，交于点，延长交于点，若，，则 ．
14．（2025九下·宝安模拟）计算：．
15．（2025九下·宝安模拟）先化简，再求值：，其中．
16．（2025九下·宝安模拟）国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2025年国际数学日到来之际，某校举办了＂数学节＂活动，通过开展趣味数学游戏，知识拓展，数学创意展示，数学素养竞赛等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七，八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩是：
100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65
八年级20名学生的成绩在等级的数据是：89，89，87，85，82，81．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86 b
众数 a 79
八年级所抽学生的竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七，八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）该校七年级有600名学生，八年级有800名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七，八年级成绩为A等级的学生共有多少人？
17．（2025九下·宝安模拟）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的、值；
②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
18．（2025九下·宝安模拟）如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，．
（1）求证：；
（2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法）
19．（2025九下·宝安模拟）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为．
（1）【理解】一次函数的“型相关量”为，则 ▲ ；
（2）【探究】已知是的“型相关量”，
①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值；
②若随的增大而增大，试比较与的大小关系；
（3）【迁移】类似的，对于二次函数（），若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值．
20．（2025九下·宝安模拟）将线段绕点逆时针旋转两次，分别得到线段和线段，连接，，过点作交射线于点．
（1）如图，若，，求的度数；
（2）如图，若，，将线段绕点逆时针旋转至线段，连接，请探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图，若，，，请延长射线与射线交于点，当时，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B该图形是轴对称图形，符合题意；
C该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万= 2170300，
故答案为：C.
【分析】 科学记数法将一个数表示为 的形式， 其中1≤a<10，n为整数。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵从网络流行语“数智化，情绪价值，松弛感”3个词语中随机抽取1个进行“表演猜词语”，
∴嘉嘉同学抽中“松弛感”的概率为，
故答案为：A.
【分析】根据嘉嘉从三个词语中随机抽取一个，每个词语被抽中的概率相同，计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A.，计算错误；
B.，计算正确；
C.，计算错误；
D.，计算错误；
故答案为：B.
【分析】利用整式的加减，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方法则等计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠D=∠ACB=90°，∠B=45°，∠E=30°，
∴∠DCE=90°-∠E=60°，
∵AB//CD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠ACE=∠ACB+∠DCB-∠DCE=90°+45°-60°=75°，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠DCE=90°-∠E=60°，再根据平行线的性质求出∠DCB=∠B=45°，最后计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：∵ 若每人分4份，则剩余30份，
∴4y+30=x，
∵ 若每人分5份，则还缺20份，
∴5y-20=x，
∴可列方程组为： ，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系求出4y+30=x和5y-20=x，再列方程组即可。
7．【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴正方形ABCD的面积为4cm2，
∵正方形ABCD和正方形A'B'C'D'位似，，
∴正方形ABCD和正方形A'B'C'D'相似比为：3：5，
∴正方形ABCD和正方形A'B'C'D'面积比为：9：25，
∴ 纪念徽章A'B'C'D'的面积是，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出正方形ABCD的面积为4cm2，再根据位似图形的面积比等于相似比的平方计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A（-3，2）在反比例函数（）的图上，
∴k=-3×2=-6，
∴反比例函数的解析式为，
∵A、C的坐标分别为，，
∴点E的坐标为，
∴当y=5时，，
∴平移后点E的横坐标为，
∴平移的距离为：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出反比例函数的解析式为，再求出平移后点E的横坐标为，最后求解即可。
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：这个方程可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 一元一次方程的解就是满足方程等式中未知数的值，再结合题意列方程求解即可。
10．【答案】点Q
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即 在数轴上表示实数的点可能是点Q，
故答案为：点Q.
【分析】根据题意先估算出，再结合数轴上的各点求解即可。
11．【答案】1.5
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作A'D⊥AO，
∴∠A'DO=90°，
由旋转可得：AO=A'O=3米，
∵∠A'OA=30°，
∴（米），
即 栏杆端升高了1.5米，
故答案为：1.5.
【分析】根据图形先求出∠A'DO=90°，再根据旋转的性质求出AO=A'O=3米，最后根据含30°直角三角形的性质计算求解即可。
12．【答案】3
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：，
令，
解得：x=-1或x=2，
∴PQ=|2-(-1)|=3，
故答案为：3.
【分析】根据题意先求出平移后的抛物线的解析式为，再求出x=-1或x=2，最后计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
14．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】利用有理数的乘法，二次根式的化简，绝对值，零指数幂等计算求解即可。
15．【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据题意先化简分式，再将x=3的值代入计算求解即可。
16．【答案】（1）79；40；88；
（2）解：八年级成绩较好，理由如下：
因为两个年级平均数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级；
（3）解：（人），
答：估计该校七、八年级成绩为A等级的学生共有500人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】（1）解：七年级成绩的众数为a=79，
八年级成绩为D组的人数为：20×10%=2（人），C组的人数为：20×20%=4（人），
八年级的中位数为：，
A组人数所占百分比：m%=（20-2-4-6）÷20×100%
∴m=40，
故答案为：79；40；88.
【分析】（1）根据中位数，众数的定义，结合题意计算求解即可；
（2）根据平均数和中位数的意义求解即可；
（3）根据样本估计总体求出（人）即可作答。
17．【答案】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则
，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
∴，
答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为；
（2）解：①∵，
∴，
∵，m、n为整数，
∴；
②当，时，（元），
当，时，（元），
∵，
∴该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
18．【答案】（1）证明：∵直线与圆O相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是圆O直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）方法1：
如图，直线l是圆O的切线。
方法2：
方法3：
方法4：
方法5：
【知识点】切线的性质；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后证明求解即可；
（2）结合题意， 根据切线的尺规作图方法作图即可。
19．【答案】（1）-2
（2）①当，g的值与x无关，
∴，
②∵随的增大而增大
∴
∴
（3）或
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：，
则t=-2，
故答案为：-2.
【分析】（1）根据定义求出t的值即可；
（2）①根据当，g的值与x无关，求解即可；
②根据题意求出，再计算求解即可；
（3）结合二次函数的性质和定义求解即可。
20．【答案】（1）解法1：由旋转可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解法2：
由旋转可知
∴B、C、D三点在以A为圆心，为半径的圆上，如图1，
∵，
∴弧所对的圆周角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解法2-1：如图，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形，
∴，，
设，则，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
解法2：如图2-2，先证，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴平行四边形为正方形，
∴且，
∴，D、H、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）参考（1）（2），同理可证得，
∵，
∴，
当时，如图，，作于G，
∵，，
∴，，
∴，
∵
∴，，
∴
当时，如图，，作于G，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）利用矩形的判定方法求出四边形是矩形，再证明平行四边形为正方形，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出，再分类讨论，利用勾股定理，锐角三角函数等计算求解即可。
1 / 1广东省深圳市宝安区2024-2025学年九年级下学期数学二模试题
1．（2025九下·宝安模拟）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B该图形是轴对称图形，符合题意；
C该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2025九下·宝安模拟）每年3月21日为“国际森林日”，提醒着人们对森林问题的关注，善待森林即善待人类自己．根据官方数据，深圳市森林碳储量为万吨，将“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万= 2170300，
故答案为：C.
【分析】 科学记数法将一个数表示为 的形式， 其中1≤a<10，n为整数。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2025九下·宝安模拟）嘉嘉同学要从网络流行语“数智化，情绪价值，松弛感”3个词语中随机抽取1个进行“表演猜词语”，嘉嘉同学抽中“松弛感”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵从网络流行语“数智化，情绪价值，松弛感”3个词语中随机抽取1个进行“表演猜词语”，
∴嘉嘉同学抽中“松弛感”的概率为，
故答案为：A.
【分析】根据嘉嘉从三个词语中随机抽取一个，每个词语被抽中的概率相同，计算求解即可。
4．（2025九下·宝安模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A.，计算错误；
B.，计算正确；
C.，计算错误；
D.，计算错误；
故答案为：B.
【分析】利用整式的加减，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方法则等计算求解即可。
5．（2025九下·宝安模拟）一个含角和另一个含角的直角三角形，按如图所示叠放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠D=∠ACB=90°，∠B=45°，∠E=30°，
∴∠DCE=90°-∠E=60°，
∵AB//CD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠ACE=∠ACB+∠DCB-∠DCE=90°+45°-60°=75°，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠DCE=90°-∠E=60°，再根据平行线的性质求出∠DCB=∠B=45°，最后计算求解即可。
6．（2025九下·宝安模拟）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将份奖品分给了名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份．根据题意可列方程（组）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：∵ 若每人分4份，则剩余30份，
∴4y+30=x，
∵ 若每人分5份，则还缺20份，
∴5y-20=x，
∴可列方程组为： ，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系求出4y+30=x和5y-20=x，再列方程组即可。
7．（2025九下·宝安模拟）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴正方形ABCD的面积为4cm2，
∵正方形ABCD和正方形A'B'C'D'位似，，
∴正方形ABCD和正方形A'B'C'D'相似比为：3：5，
∴正方形ABCD和正方形A'B'C'D'面积比为：9：25，
∴ 纪念徽章A'B'C'D'的面积是，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出正方形ABCD的面积为4cm2，再根据位似图形的面积比等于相似比的平方计算求解即可。
8．（2025九下·宝安模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中A、C的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A（-3，2）在反比例函数（）的图上，
∴k=-3×2=-6，
∴反比例函数的解析式为，
∵A、C的坐标分别为，，
∴点E的坐标为，
∴当y=5时，，
∴平移后点E的横坐标为，
∴平移的距离为：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出反比例函数的解析式为，再求出平移后点E的横坐标为，最后求解即可。
9．（2025九下·宝安模拟）关于的一元一次方程的解为，这个方程可以是 ．（写出一个答案即可，且不能是）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：这个方程可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 一元一次方程的解就是满足方程等式中未知数的值，再结合题意列方程求解即可。
10．（2025九下·宝安模拟）如图，在数轴上表示实数的点可能是 ．
【答案】点Q
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即 在数轴上表示实数的点可能是点Q，
故答案为：点Q.
【分析】根据题意先估算出，再结合数轴上的各点求解即可。
11．（2025九下·宝安模拟）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了 米．
【答案】1.5
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作A'D⊥AO，
∴∠A'DO=90°，
由旋转可得：AO=A'O=3米，
∵∠A'OA=30°，
∴（米），
即 栏杆端升高了1.5米，
故答案为：1.5.
【分析】根据图形先求出∠A'DO=90°，再根据旋转的性质求出AO=A'O=3米，最后根据含30°直角三角形的性质计算求解即可。
12．（2025九下·宝安模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则 ．
【答案】3
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：，
令，
解得：x=-1或x=2，
∴PQ=|2-(-1)|=3，
故答案为：3.
【分析】根据题意先求出平移后的抛物线的解析式为，再求出x=-1或x=2，最后计算求解即可。
13．（2025九下·宝安模拟）如图，中，，点是上一点，，连接，沿着翻折得到，交于点，延长交于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
14．（2025九下·宝安模拟）计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】利用有理数的乘法，二次根式的化简，绝对值，零指数幂等计算求解即可。
15．（2025九下·宝安模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据题意先化简分式，再将x=3的值代入计算求解即可。
16．（2025九下·宝安模拟）国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2025年国际数学日到来之际，某校举办了＂数学节＂活动，通过开展趣味数学游戏，知识拓展，数学创意展示，数学素养竞赛等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七，八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩是：
100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65
八年级20名学生的成绩在等级的数据是：89，89，87，85，82，81．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86 b
众数 a 79
八年级所抽学生的竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七，八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）该校七年级有600名学生，八年级有800名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七，八年级成绩为A等级的学生共有多少人？
【答案】（1）79；40；88；
（2）解：八年级成绩较好，理由如下：
因为两个年级平均数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级；
（3）解：（人），
答：估计该校七、八年级成绩为A等级的学生共有500人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】（1）解：七年级成绩的众数为a=79，
八年级成绩为D组的人数为：20×10%=2（人），C组的人数为：20×20%=4（人），
八年级的中位数为：，
A组人数所占百分比：m%=（20-2-4-6）÷20×100%
∴m=40，
故答案为：79；40；88.
【分析】（1）根据中位数，众数的定义，结合题意计算求解即可；
（2）根据平均数和中位数的意义求解即可；
（3）根据样本估计总体求出（人）即可作答。
17．（2025九下·宝安模拟）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的、值；
②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
【答案】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则
，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
∴，
答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为；
（2）解：①∵，
∴，
∵，m、n为整数，
∴；
②当，时，（元），
当，时，（元），
∵，
∴该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
18．（2025九下·宝安模拟）如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，．
（1）求证：；
（2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）证明：∵直线与圆O相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是圆O直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）方法1：
如图，直线l是圆O的切线。
方法2：
方法3：
方法4：
方法5：
【知识点】切线的性质；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后证明求解即可；
（2）结合题意， 根据切线的尺规作图方法作图即可。
19．（2025九下·宝安模拟）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为．
（1）【理解】一次函数的“型相关量”为，则 ▲ ；
（2）【探究】已知是的“型相关量”，
①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值；
②若随的增大而增大，试比较与的大小关系；
（3）【迁移】类似的，对于二次函数（），若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值．
【答案】（1）-2
（2）①当，g的值与x无关，
∴，
②∵随的增大而增大
∴
∴
（3）或
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：，
则t=-2，
故答案为：-2.
【分析】（1）根据定义求出t的值即可；
（2）①根据当，g的值与x无关，求解即可；
②根据题意求出，再计算求解即可；
（3）结合二次函数的性质和定义求解即可。
20．（2025九下·宝安模拟）将线段绕点逆时针旋转两次，分别得到线段和线段，连接，，过点作交射线于点．
（1）如图，若，，求的度数；
（2）如图，若，，将线段绕点逆时针旋转至线段，连接，请探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图，若，，，请延长射线与射线交于点，当时，求的长度．
【答案】（1）解法1：由旋转可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解法2：
由旋转可知
∴B、C、D三点在以A为圆心，为半径的圆上，如图1，
∵，
∴弧所对的圆周角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解法2-1：如图，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形，
∴，，
设，则，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
解法2：如图2-2，先证，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴平行四边形为正方形，
∴且，
∴，D、H、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）参考（1）（2），同理可证得，
∵，
∴，
当时，如图，，作于G，
∵，，
∴，，
∴，
∵
∴，，
∴
当时，如图，，作于G，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）利用矩形的判定方法求出四边形是矩形，再证明平行四边形为正方形，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出，再分类讨论，利用勾股定理，锐角三角函数等计算求解即可。
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