2025年中考数学培优思维训练一 分类讨论思想（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025年中考数学培优思维训练一 分类讨论思想（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 196.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 13:44:36 | ||
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文档简介
思维训练一 分类讨论思想
答题技巧
1.当题目遇到动点，动线，动图时考虑分类讨论，做题时不要盲目开始解题，应按以下步骤作答：
第一步：根据题目要求进行分类讨论；
第二步：根据分类情况画出草图；
第三步：每种情况下根据所画草图将动图转化为定图，再按照常规静态几何题进行作答；
2.代数中遇到去绝对值符号、到数轴原点(坐标轴、直线)的距离、含参数的方程、函数自变量取值范围不确定等情况时需要思考是否分情况讨论，再进行计算；
3.几何中遇到“全等”“相似”对应关系不确定、等腰三角形中底边不确定、直角三角形中斜边不确定、平行四边形中边和对角线不确定、圆的大小不确定、折叠位置不确定等情况时需要思考是否分情况讨论，再进行计算.
类型 代数含参问题
1.已知关于x的分式方程 无解，则m的值是 ( )
A. 1或 B. 1或3 D. 1
变式组合练
变式1若方程 的解为 ,则m 的值为 ;
变式2 若方程 的解为非负数，则m的取值范围是 ；
变式3若方程 有增根，则m的值为 .
2.直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程 实数解的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
3. 当 - 2≤x≤1时,二次函数 有最大值4，则实数m的值为 ( )
A. - 3 B. - 1或2 C. 2 或 D. 2或 或
4.若抛物线 (m是常数)的顶点到x轴的距离为2，则m的值为 ( )
或
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类型 位置不确定
5.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-8，2，将长为3的线段 PQ摆放在数轴上，使得点P与AB 的中点重合，则点 Q 表示的数为 .
6.[2024 雅安改编]如图，在△ABC中，∠A=38°，BC边绕点C 按逆时针方向旋转一周回到原来的位置，点B 的对应点记为点 B'.在旋转的过程中，当CB'∥AB时，∠B'CA的度数为 ( )
A.38° B.142° C.38°或142° D.38°或52°
7. 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=10,AC=24,D为斜边AB的中点,P是边AC上的一个动点,将△APD沿PD 翻折得到△A'PD,当直线A'P与AB垂直时,AP 的长为 .
类型 图形形状不确定
8.等腰三角形的周长为12 cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为 ( )
A. 3cm B. 4. 5cm C. 5cm D. 6cm
9. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=40cm,动点P从点A 出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为 ，动点Q 从点B 出发在BC边上沿B→C 方向匀速运动，速度为 当点 P到达点B 时，P，Q两点同时停止运动，则当点 P 运动 秒时，△PBQ为直角三角形.
类型 对应关系不确定
10. [2024辽阳期末]如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△OAB 放大或缩小，则点A的对应点A'的坐标是( )
A. (1,2) B. (-4,-8) C. (8,2)或(1,2) D. (1,2)或(4,8)
11.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°,AC= ,AD=2.若以点A，B，C为顶点的三角形与以A，D，C为顶点的三角形相似，则AB 的长为 .
12. 如图,在矩形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B 出发,以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点 P 的运动时间为 ts，且t≤5.点P从点 B 开始运动的同时，点Q从点C 出发,以v cm/s的速度沿CD 向点D 运动,当v= cm/s时,以A、B、P为顶点的三角形与以 P、Q、C为顶点的三角形全等.
【点拨】分两种情况讨论:①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ;②当BA=CQ,PB=PC 时,△ABP≌△QCP.
思维训练一 分类讨论思想
1. A 变式1 3 变式2 a≤2且a≠-4 变式3- 2. D 3. C 4. D 5. 0或-6 6. C
7. 或 【解析】当点A'在AC 下方时，如解图①，延长A'P交AB于点H,则A'H⊥AB,由题可得. ∵D 为斜边AB的中点,∴AD=13,又∵ . DH=5,∴AH=AD-DH=8,由 解得 当点A'在AC上方时，如解图②，同理可得 DH=5,∴AH=AD+DH=18,∵cosA=AH=ACAB, 解得 综上所述，AP的长为 或
8. A
9. 10或16 【解析】由题知 设点P的运动时间为 ts，由题意得BQ=t,AP=2t,∴BP=AB-AP=40-2t,分两种情况:当∠BQP=90°时,如解图①,∴∠BPQ=90°-∠B=30°,∴BP=2BQ,∴40-2t=2t,解得t=10;当∠BPQ=90°时,如解图②,∴∠BQP=90°-∠B=30°,∴BQ=2BP,∴t=2(40-2t),解得t=16.综上所述,当点 P 运动10或16秒时,△PBQ 为直角三角形.
10. D
11. 3或3 【解析】在 Rt△ADC中,由勾股定理得 CD= 当△ABC∽△ACD 时, 日风 ∴AB=3;当△ABC∽△CAD时, 月[# 综上所述，AB 的长为3 或 3
12. 2或2.4 【解析】分两种情况讨论:①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ(SAS).∵AB=6 cm,∴ PC=6cm,∴BP=BC-PC=10-6=4(cm),即2t=4,解得t=2.∵CQ=BP=4 cm,即2v=4,解得v=2;②当BA=CQ,PB=PC 时,△ABP≌△QCP(SAS).∵ PB=PC,∴ BP= 即2t=5,解得t=2.5.∵CQ=BA=6cm,即2.5v=6,解得v=2.4.综上所述,当v=2或2.4cm/s时,以A,B,P为顶点的三角形与以 P,Q,C为顶点的三角形全等.
答题技巧
1.当题目遇到动点，动线，动图时考虑分类讨论，做题时不要盲目开始解题，应按以下步骤作答：
第一步：根据题目要求进行分类讨论；
第二步：根据分类情况画出草图；
第三步：每种情况下根据所画草图将动图转化为定图，再按照常规静态几何题进行作答；
2.代数中遇到去绝对值符号、到数轴原点(坐标轴、直线)的距离、含参数的方程、函数自变量取值范围不确定等情况时需要思考是否分情况讨论，再进行计算；
3.几何中遇到“全等”“相似”对应关系不确定、等腰三角形中底边不确定、直角三角形中斜边不确定、平行四边形中边和对角线不确定、圆的大小不确定、折叠位置不确定等情况时需要思考是否分情况讨论，再进行计算.
类型 代数含参问题
1.已知关于x的分式方程 无解，则m的值是 ( )
A. 1或 B. 1或3 D. 1
变式组合练
变式1若方程 的解为 ,则m 的值为 ;
变式2 若方程 的解为非负数，则m的取值范围是 ；
变式3若方程 有增根，则m的值为 .
2.直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程 实数解的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
3. 当 - 2≤x≤1时,二次函数 有最大值4，则实数m的值为 ( )
A. - 3 B. - 1或2 C. 2 或 D. 2或 或
4.若抛物线 (m是常数)的顶点到x轴的距离为2，则m的值为 ( )
或
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类型 位置不确定
5.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-8，2，将长为3的线段 PQ摆放在数轴上，使得点P与AB 的中点重合，则点 Q 表示的数为 .
6.[2024 雅安改编]如图，在△ABC中，∠A=38°，BC边绕点C 按逆时针方向旋转一周回到原来的位置，点B 的对应点记为点 B'.在旋转的过程中，当CB'∥AB时，∠B'CA的度数为 ( )
A.38° B.142° C.38°或142° D.38°或52°
7. 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=10,AC=24,D为斜边AB的中点,P是边AC上的一个动点,将△APD沿PD 翻折得到△A'PD,当直线A'P与AB垂直时,AP 的长为 .
类型 图形形状不确定
8.等腰三角形的周长为12 cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为 ( )
A. 3cm B. 4. 5cm C. 5cm D. 6cm
9. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=40cm,动点P从点A 出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为 ，动点Q 从点B 出发在BC边上沿B→C 方向匀速运动，速度为 当点 P到达点B 时，P，Q两点同时停止运动，则当点 P 运动 秒时，△PBQ为直角三角形.
类型 对应关系不确定
10. [2024辽阳期末]如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△OAB 放大或缩小，则点A的对应点A'的坐标是( )
A. (1,2) B. (-4,-8) C. (8,2)或(1,2) D. (1,2)或(4,8)
11.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°,AC= ,AD=2.若以点A，B，C为顶点的三角形与以A，D，C为顶点的三角形相似，则AB 的长为 .
12. 如图,在矩形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B 出发,以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点 P 的运动时间为 ts，且t≤5.点P从点 B 开始运动的同时，点Q从点C 出发,以v cm/s的速度沿CD 向点D 运动,当v= cm/s时,以A、B、P为顶点的三角形与以 P、Q、C为顶点的三角形全等.
【点拨】分两种情况讨论:①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ;②当BA=CQ,PB=PC 时,△ABP≌△QCP.
思维训练一 分类讨论思想
1. A 变式1 3 变式2 a≤2且a≠-4 变式3- 2. D 3. C 4. D 5. 0或-6 6. C
7. 或 【解析】当点A'在AC 下方时，如解图①，延长A'P交AB于点H,则A'H⊥AB,由题可得. ∵D 为斜边AB的中点,∴AD=13,又∵ . DH=5,∴AH=AD-DH=8,由 解得 当点A'在AC上方时，如解图②，同理可得 DH=5,∴AH=AD+DH=18,∵cosA=AH=ACAB, 解得 综上所述，AP的长为 或
8. A
9. 10或16 【解析】由题知 设点P的运动时间为 ts，由题意得BQ=t,AP=2t,∴BP=AB-AP=40-2t,分两种情况:当∠BQP=90°时,如解图①,∴∠BPQ=90°-∠B=30°,∴BP=2BQ,∴40-2t=2t,解得t=10;当∠BPQ=90°时,如解图②,∴∠BQP=90°-∠B=30°,∴BQ=2BP,∴t=2(40-2t),解得t=16.综上所述,当点 P 运动10或16秒时,△PBQ 为直角三角形.
10. D
11. 3或3 【解析】在 Rt△ADC中,由勾股定理得 CD= 当△ABC∽△ACD 时, 日风 ∴AB=3;当△ABC∽△CAD时, 月[# 综上所述，AB 的长为3 或 3
12. 2或2.4 【解析】分两种情况讨论:①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ(SAS).∵AB=6 cm,∴ PC=6cm,∴BP=BC-PC=10-6=4(cm),即2t=4,解得t=2.∵CQ=BP=4 cm,即2v=4,解得v=2;②当BA=CQ,PB=PC 时,△ABP≌△QCP(SAS).∵ PB=PC,∴ BP= 即2t=5,解得t=2.5.∵CQ=BA=6cm,即2.5v=6,解得v=2.4.综上所述,当v=2或2.4cm/s时,以A,B,P为顶点的三角形与以 P,Q,C为顶点的三角形全等.
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