2025年中考数学培优模型四 一线三等角模型(含弦图模型)（含解析）

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模型四 一线三等角模型(含弦图模型)
模型解读
有三个等角的顶点在同一条直线上的图形统称为一线三等角模型.
情形 图示 结论
等角在线同侧 若有一组边对应相等则全等
等角在线异侧 若有一组边对应相等则全等
内弦图
外弦图
例 [2024 盘锦期末改编]如图，沿直线 DE折叠纸片(等边三角形ABC)，使A点落在BC边上点F处(不与B，C重合).已知等边三角形ABC 的边长为28,D为AB上一点,BD=15,BF=7,则(
【点拨】由等边三角形和折叠可得∠B=∠C=∠DFE=60°，利用一线三等角模型的结论可得△BDF∽△CFE，结合相似三角形的性质可求解CE.
针对训练
1. 如图,△ABC为等腰直角三角形,AD⊥BD 于点 D,CE⊥BD于点E,AC与BD 交于点 F,若BE=2,CE=7,则DE= .
2.如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边 CD的中点处，若BC=12，则AB的长为 .
3.多解法如图,在 ABCD中,E为边BC上的一点,F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB=10,BE=4,EF=6,则DE的长为 .
模型四 一线三等角模型(含弦图模型)
例
【针对训练】
1. 5 2. 8
3. 15 【解析】解法1:如解图①,延长BC到点M,使得DC=DM,则∠DCM=∠M,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DM=DC=AB=10,∵DC∥AB,∴∠DCM=∠B,∴∠B=∠M,∠DEF=∠B,∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC,∴∠BFE=∠DEM,∴△BFE∽△MED, 即
解法2:∵ ∠DEF=∠B,∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC,∴∠BFE=∠DEC,如解图②,过点 C作CG∥FE交DE于点G,∴∠DEF=∠EGC,∴∠B=∠EGC,∴△FBE∽△ECC,∴BE=CCBC,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=DC=10,∠B+∠BCD=180°,∵ ∠EGC+∠DGC= 180°,∠B = ∠EGC,∴ ∠DGC = ∠BCD,∵∠EDC=∠CDC,∴△DCC∽△DCE,∴DCE=CC,∴ 即 即