江苏省淮安市涟水县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试卷（含答案）

涟水县第一中学2024-2025学年第二学期高一年级5月月考数学 试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．平面向量，，若，则（ ）
A． B．-2 C．-7 D．1
3. （ ）
A B. C. D.
4．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．角终边上一点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．△ABC的内角的对边分别为，若，，，则 ( )
A．15° B．60° C．15°或75° D．60°或 120°
8．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法错误的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥
C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
10．在△ABC中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若△ABC是锐角三角形，则
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若，则△ABC是钝角三角形
D．若，，，则满足这组条件的三角形有两个
11．如图，在棱长为4的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A． B．直线DP与平面ABCD所成角为30
C．二面角A1-BC1-C的余弦值为 D．的最小值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数z满足，则 ．
13．已知向量满足则在方向上的投影向量为________.
14．如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知向量和，且,求：
(1)的值
(2)的值
(3)的夹角的余弦值.
16．已知为第四象限角且tan．
①求的值；
②求的值．
17．如图，在三棱柱中，CC1⊥平面ABC，各棱长均为4，D为AB的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成角的正弦值；
18．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sinA+c sinC-b sinB=c sinA．
(1)求B的值；
(2)若△ABC外接圆的面积为8，且a+c=6，求△ABC的面积．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，F为CP上的点，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线PC与平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求GD的长；若不存在，说明理由.
数学 试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的共轭复数是（ ）D
A． B． C． D．
2．平面向量，，若，则（ ）C
A． B．-2 C．-7 D．1
3. （ ）D
A B. C. D.
4．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )B
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的
面积等于（ ）A
A． B． C． D．
6．角终边上一点的坐标为，则的值为（ ）B
A． B． C． D．
7．△ABC的内角的对边分别为，若，，，则 ( )C
A．15° B．60° C．15°或75° D．60°或 120°
8．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（ ）A
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法错误的是（ ）BD
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥
C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
10．在△ABC中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）AC
A．若△ABC是锐角三角形，则
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若，则△ABC是钝角三角形
D．若，，，则满足这组条件的三角形有两个
11．如图，在棱长为4的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）ACD

A． B．直线DP与平面ABCD所成角为30
C．二面角A1-BC1-C的余弦值为 D．的最小值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数z满足，则 ．
13．已知向量满足则在方向上的投影向量为________.
14．如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分13分) .已知向量和，且,求：
(1)的值
(2)的值
(3)的夹角的余弦值.
【详解】（1）∵,.
∴ =6…………………………………………………………………3分
（2）∵-4，
∴………………………………………………………………………………8分
（3），
cos……………………………………………………………13分
16．(本小题满分15分) .已知为第四象限角且tan．
①求的值；
②求的值．
【详解】
①由题意得tan，且．
由…………………………………………………………………………3分
得………………………………………………………………………………6分
②cos2= cos2=………………………………………………………9分
Sin2=2sin cos=2=…………………………………………………12分
．……………………15分
17．(本小题满分15分)如图，在三棱柱中，CC1⊥平面ABC，各棱长均为4，D为AB的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成角的正弦值；
【详解】
（1）设，连接，可知为的中点，
因为D为AB的中点，则∥，
且平面，平面，所以∥平面.…………………………6分
（2）因为∥，则异面直线与所成角为（或其补角），…………8分
在中，由题意可知：，
则，……………………………………………13分
所以异面直线与所成角的正弦值为.……………………………………………15分
18．(本小题满分17分) .在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B的值；
(2)若△ABC外接圆的面积为8，且a+c=6，求△ABC的面积．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，……………………………………………………………3分
，
，
．……………………………………………………………………………………6分
（2）设△ABC外接圆的半径为，由，得，………………………9分
由正弦定理得，所以，…………………………………12分
由（1）知，
，
，
，…………………………………………………………………………………15分
．………………………………………………………………17分
19．(本小题满分17分) .如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，F为CP上的点，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线PC与平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求GD的长；若不存在，说明理由.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，…………………………………………………………………………2分
因为平面，所以，
又因为底面是边长为4的正方形，所以，
且平面，
所以平面，………………………………………………………………………4分
又因为平面，
所以平面平面；………………………………………………………………5分
（2）
作，垂足为，连接，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角，………………7分
因为，，AB=4，所以，
因为平面，平面，所以，
所以在直角三角形中，由勾股定理可得，
所以；……………………………………………………………10分
（3）
作，交于，连接，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面，………………………12分
因为平面，平面，所以，
因为，，
所以，解得，所以，………15分
因为平面，平面，所以，
又因为，所以，
又因为，
所以.…………………………………………………………………………17分