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(用户名和初始密码均为准考证号)
铁人中学2023级高二下学期期中考试
数学答题卡 17.
考场/座位号：
姓名： 准考证号
班级：
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
注意事项 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
1．答题前，请将姓名、班级、考
[2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
场、准考证号填写清楚。
2．客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
涂，修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
3．主观题使用黑色笔书写。
4．必须在题号对应的答题区内作 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
答，超出答题区书写无效。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
16.
[7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
正确填涂 缺考标记 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
客观题(1~8为单选题;9~11为多选题)
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
填空题
1 2. 1 3.
14.
15.
18. 19.
20.铁人中学2023级高二下学期期中考试 数学 试题答案 考试时间： 2025 年 5月
铁人中学2023级高二下学期期中考试数学试题答案
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D C C A B C A BD AC ACD
填空题：
13. 14. ①③④
解答题：
15．【详解】记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件、、、，
“取到的电子元件是次品”为事件，
（1）由题意得：，
又，
所以
，所以取到的电子元件是次品的概率为；
（2）由题意得：，
又，
所以
，
所以，
所以若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为．
16.【详解】（1），
在处切线为，故，解得，
故，所以，所以，
所以；
（2）存在，理由如下：
的定义域为，，
当时，在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，舍去.
当时，令得，，令得，，
若，则0<，故在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，满足要求，
若，则，故在上单调递减，
故，解得，舍去.
综上，.
17.【详解】（1）从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种，
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种，
故三种颜色的球都被摸出的概率；
（2）由题可知，的取值可能为
且，
，
的分布列为
1 2 3
.
18.【详解】（1）若，则，
因为当时，，仅当时，“＝”成立，
所以在上单调递减，
所以在上的最大值为.
（2），令，则，
当时，由，即，得或.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
，，，，
因为在上恰有两个零点，
所以直线与曲线（）恰有两个交点，
所以实数a的取值范围为.
19.【详解】（1）当时，李华先回答A类问题累计得分为100分的概率为：
．
（2）设李华先回答A类问题累计得分为X，
则X的可能取值为0，40，100，
且P（X＝0）＝1﹣p，，
，则，
设李华先回答B类问题累计得分为Y，则Y的可能取值为0，60，100，
且，
，
，
则，
由E（X）＞E（Y），可得30p2+52p＞20p2+38p+12，
化简可得5p2+7p﹣6＞0，即（5p﹣3）（p+2）＞0，
解得，且p∈（0，1），所以，
即p的取值范围为．
20.【详解】（1）当时，，则
令，解得
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
（2）解法一：由，
若在上单调递增，必有恒成立；
令，有，
当时，由已知在单调递增，但，不合题意
当时，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为，有
又由函数单调递减，且.
又由，故a的最大值为.
解法二：，依题意恒成立，
所以，故
因为，所以，
当时，，
设，则
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以
所以满足题意，即的最大值为；
（3）当时，易知单调递增.
易知，
所以存在使得，即，为的极小值点，
所以，
其中，
设，则
整理得
因为，，
所以当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
所以，即的最大值为.铁人中学2023级高二下学期期中考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 5月
铁人中学2023级高二下学期期中考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．5或3 D．4或6
2．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答）
A．20 B．25 C．30 D．40
4．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
5．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有4种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．84种 B．72种 C．64种 D．56种
6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)=（ ）
A． B． C． D．
7．下列结论不正确的是（ ）
A．（为正整数且）
B．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种
8．已知函数是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．恒成立 B．当且仅当时，
C．恒成立 D．当且仅当时，
多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．对于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有 5 项 B．展开式的各项系数之和为
C．展开式中的常数项是 15 D．展开式的各二项式系数之和为 32
10．已知函数，则（ ）
A．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 B．有3个零点
C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间 上的值域为
11．高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题部分
填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上)
设事件A，B满足，且，则 .
13．将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有 种不同分配方法.（用数字作答）
14．函数是一个在生物学中常见的型函数，也称为型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记为函数的导函数，则下列序号正确有 .
①． ②．函数是减函数
③．函数的最大值是 ④．
解答题(本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．（12分）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为．
(1)若将这40个电子元件按生产线生产的产品装箱，装成4箱，现从中任取1箱，再从该箱中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率．
(2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率．
16．（12分）设函数，．
(1)若在处切线方程为（），求的值；
(2)是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17．（12分）一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球.
(1)求三种颜色的球都被摸出的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望.
18．（13分）已知函数.
(1)若，求在上的最大值；
(2)若在上恰有两个零点，求实数的取值范围.
19．（14分）某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛．有A，B两类问题．每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分．设选手李华能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关．
（1）当时，求李华先回答A类问题累计得分为100分的概率；（2）若李华先回答A类问题累计得分的期望大于先回答B类问题累计得分的期望，求的取值范围．
20．（14分）设函数,为实数.
(1)当时，求的极值；
(2)已知，若在上单调递增，求的最大值；
(3)已知，设为的极值点，求的最大值.
