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人教版六年级数学小升初专项复习
专题二二 平均数问题
类型一 直接求平均数
1.参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1:3,这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）
A.82分 B.86分 C.87分 D.88分
2.小明为了可以在小升初的数学考试中取得更好的成绩，利用牛皮纸卷子进行了8次模拟测试，前3次的平均成绩是84分，后5次的平均成绩是92分，小明前后8次模拟测试的平均成绩是 分。
3.一组数据的倒数的平均数的倒数叫做这组数据的调和平均数，则2,3,4,6的调和平均数是。
4.已知一组数据a ,a ,a ,a4,a5的平均数为8,则另一组数据a +10,a -10,a +10,a -10,a +10的平均数为 。
5.有7个数，它们的平均数是18。去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19;再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20。则去掉的两个数的平均数是 。
类型二 根据平均数求最值
6.某小组15人的分数恰好为等差数列，平均分数为75分。统计时发现，前11名的平均分数为78.2分，那么最高分是（ ）
A.88.2分 B.87.2分 C.86.2分 D.85.2分
7.每次考试的满分是100分，小明4次考试的平均分是89分。为了使平均成绩尽快达到94分（或更高）,小明至少还要考 次。
8.有四个数，每次从中挑选三个数，求其平均数然后再加上第四个数，因为每次可留下一个不同的数不选，因此这样的操作有4种不同的方式，已知得出的四个结果分别为17,21,23,29,那么原来的四个数中最大的数是 。
类型三 根据平均数求某个数
9.有四个数：84,76,x,89,它们的平均数是80,则x为（ ）
A.70 B.71 C.72 D.73
10.在某文艺比赛中，有8个评委给表演者打分，平均分是9.5分，去掉一个最高分，平均分是9.3分，去掉一个最低分，平均分是9.8分，最高分与最低分相差 分。
11.有8个数排成一列，它们的平均数是56,前5个数的平均数是45,后4个数的平均数是63,这列数的第5个数是 。
12.6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。然后每个人把左、右两个相邻的人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示。问：亮出数11的人原来心中想的数是多少
专题二三 盈亏问题
类型一 一盈一亏
1.把一袋糖分给一群小朋友。每人分5颗糖，余2颗；每人分6颗糖，少11颗。请你算一算有 个小朋友， 颗糖。
2.老师把两个整数交给杰克让他用减法计算，结果得29;又把同样两个数知识及方法交给汉斯让他用除法计算，结果汉斯发现大数不能被小数整除，但要是把大数加上1后除以小数的结果正好是3,则两个数中较大的数为 。
3.在中国古代数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十，问家数，牛价各几何 ”翻译成现代文就是：许多人家凑钱合伙买牛，如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱；如果每9家共出270钱，又多余30钱，则共有 人家，每头牛价 钱。
4.小明从家到学校上课，开始时以每分钟走50米的速度走了2分钟，这时他想：若根据以往的经验，再按这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快了速度，每分钟多走了10米，结果早到了5分钟。小明家到学校的路有多远
类型二 双盈双亏
5.用绳子测井的深度，四折而入，则余9米；把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米，井深 米。
6.老师买来一些故事书，发给班里的三好学生，如果每人发9本则少25本，如果每人发6本则少7本。问：有多少名三好学生 买了多少本故事书
类型三 一盈一尽或一亏一尽
7.一捆练均分给几个小朋友，每人分5本，还剩12本，每人分8本，则正好分完，一共有 个小朋友，这捆练习本一共有 本。
8.学校分配寝室，如果每间住6人，还有20人没有床位，如果每间住8人，正好住满，学生宿舍有多少间寝室
专题二四 抽屉原理
类型一 抽屉原理的直接应用
1.给一个正方体木块的6个面分别涂色，颜色从红、黄、蓝、绿四种中选择一种或几种，不论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。
A.2 B.3 C.4 D.5
2.把红、绿、蓝、白四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少要取 个球，才可以保证取到两个颜色相同的球。至少取 次，才能保证有两个颜色不同的球。
3.一排有20个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有 人就座。
4.将99个苹果分给一群小朋友，每位小朋友所分得的苹果数都不一样，且每位小朋友至少有一个苹果，那么这群小朋友最多有 位。
5.西安市为了控制汽车流量，规定每辆私人汽车每个星期停驶2天（一星期为7天）,而“土豪”小李家由于业务繁忙，每天必须至少要有10辆汽车在行驶，如果小李能够自行选择停驶时间，那么小李家至少应当拥有 辆汽车。
类型二 最不利原则
6.在一个袋子中装有同一种形状的20粒纽扣，其中黑的有6粒，蓝的有4粒，红的有10粒。摸出11粒时，其中一定有 色的纽扣。
7.一次测验共有10道题，每道题完全答对可以得5分，答对一半可以得3分，答错或不答不得分，至少有 人参加比赛才能保证有3人的得分相同。
8.小李的袜子筐有12只脏袜子和20只干净袜子。这天，他迷迷糊糊地从筐中拿袜子，每次拿两只。如果其中有脏袜子就会把两只都扔到地上，然后从筐中重拿。那么,他至少拿 次才能保证一定拿到两只干净的袜子。
类型三 构造抽屉
9.一副扑克牌有54张，最少要抽取 张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数。
10.从自然数1～1000中最多可以选出 个数，使得被选出的数中任意两个数的差都不整除它们的和。
11.有30个孩子，每人胸前有一个号码，号码恰为1到30,现挑选出若干个小孩排成
一个圆圈，使任何相邻两个孩子号码数乘积小于100,问：最多能挑选出多少个孩子 说明理由。
专题二五 计数原理
类型一 车票问题
1.某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样。那么,这样需要增加（ ）种不同的车票。
A.24 B.42 C.48 D.21
2.从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站。铁路局要为这次快车准备 种不同的车票，这些车票中有 种不同的票价。
类型二 握手问题
3.开家长会时，小明、小丽、小强、小勇和小航的爸爸在门口相遇，如果他们相互握一次手，那么他们一共握了 次手。
4.有50个学生参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，依此类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手，这些学生中有 个男生。
类型三比赛场次
5.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船发射圆满成功，六（1）班举行了有关航天知识竞赛，参加这次知识竞赛的有6名同学，每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要比赛 场。
6.10名选手参加象棋比赛.每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分。比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和第二名一盘都没输过，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分总和相等，则第三名得 分。
7.在一次围棋比赛中，每两个人都要赛一场，胜者得2分，平局两人各得1分，负者得0分。现在五位同学统计了全部选手的总分，分别是551,552,553,554,555,但只有一个统计是正确的。问：共有多少名选手参赛
类型四其他问题（5年8考）类型四
8.数1447、1005、1231有一些共同特征，每个数都是以1开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同，这样的数共有（ ）个。
A.216 B.360 C.432 D.576
9.某种细菌的繁殖速度很快，20分钟就能繁殖一代（一个分裂为两个）,如果手上原有细菌45个，如果不洗手，2小时后手上的细菌有 个。
10.西安市的街道非常整齐（如右图）,从西南角A处走到东北角B处，要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（正在修路）,共有 种不同的走法。
第3页，共4页
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人教版六年级数学小升初专项复习 专题二三 盈亏问题
专题二二 平均数问题 类型一 一盈一亏
类型一 直接求平均数 1.把一袋糖分给一群小朋友。每人分 5颗糖，余 2颗；每人分 6颗糖，少 11 颗。请你
1.参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是 1:3,这次竞赛的平均成绩是 82 分，其中 算一算有 个小朋友， 颗糖。
男生的平均成绩是 80 分，女生的平均成绩是（ ） 2.老师把两个整数交给杰克让他用减法计算，结果得 29;又把同样两个数知识及方法交
A.82 分 B.86 分 C.87 分 D.88 分 给汉斯让他用除法计算，结果汉斯发现大数不能被小数整除，但要是把大数加上 1
考 点 2.小明为了可以在小升初的数学考试中取得更好的成绩，利用牛皮纸卷子进行了 8次模
后除以小数的结果正好是 3,则两个数中较大的数为 。
拟测试，前 3次的平均成绩是 84 分，后 5次的平均成绩是 92 分，小明前后 8次模 3.在中国古代数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一
拟测试的平均成绩是 分。 百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十，问家数，牛价各几何 ”翻译
3.一组数据的倒数的平均数的倒数叫做这组数据的调和平均数，则 2,3,4,6 的调和平均 成现代文就是：许多人家凑钱合伙买牛，如果每 7 家共出 190 钱，那么还缺少 330
数是。 钱；如果每 9家共出 270 钱，又多余 30 钱，则共有 人家，每头牛
考 场 4.已知一组数据 a ,a ,a ,a4,a5的平均数为 8,则另一组数据 a +10,a -10,a 价 钱。
+10,a -10,a +10 的平均数为 。 4.小明从家到学校上课，开始时以每分钟走 50 米的速度走了 2分钟，这时他想：若根
5.有 7 个数，它们的平均数是 18。去掉一个数后，剩下 6个数的平均数是 19;再去掉一 据以往的经验，再按这个速度走下去，将要迟到 2分钟，于是他立即加快了速度，
个数后，剩下的 5个数的平均数是 20。则去掉的两个数的平均数是 。 每分钟多走了 10 米，结果早到了 5分钟。小明家到学校的路有多远
类型二 根据平均数求最值
考 号 6.某小组 15 人的分数恰好为等差数列，平均分数为 75 分。统计时发现，前 11 名的平
均分数为 78.2 分，那么最高分是（ ）
A.88.2 分 B.87.2 分 C.86.2 分 D.85.2 分
7.每次考试的满分是 100 分，小明 4次考试的平均分是 89 分。为了使平均成绩尽快达 类型二 双盈双亏
到 94 分（或更高）,小明至少还要考 次。 5.用绳子测井的深度，四折而入，则余 9米；把绳子剪去 18 米后，三折而入，则余 12
姓名 8.有四个数，每次从中挑选三个数，求其平均数然后再加上第四个数，因为每次可留下 米，井深 米。
一个不同的数不选，因此这样的操作有 4种不同的方式，已知得出的四个结果分别 6.老师买来一些故事书，发给班里的三好学生，如果每人发 9本则少 25 本，如果每人
为 17,21,23,29,那么原来的四个数中最大的数是 。 发 6本则少 7本。问：有多少名三好学生 买了多少本故事书
类型三 根据平均数求某个数
座位号 9.有四个数：84,76,x,89,它们的平均数是 80,则 x 为（ ）
A.70 B.71 C.72 D.73
10.在某文艺比赛中，有 8 个评委给表演者打分，平均分是 9.5 分，去掉一个最
高分，平均分是 9.3 分，去掉一个最低分，平均分是 9.8 分，最高分与最低 类型三 一盈一尽或一亏一尽
分相差 分。 7.一捆练均分给几个小朋友，每人分 5本，还剩 12 本，每人分 8本，则正好分
11.有 8 个数排成一列，它们的平均数是 56,前 5 个数的平均数是 45,后 4 个数的平均数 完，一共有 个小朋友，这捆练习本一共有 本。
是 63,这列数的第 5个数是 。 8.学校分配寝室，如果每间住 6人，还有 20 人没有床位，如果每间住 8人，正好住满，
12.6 个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相 学生宿舍有多少间寝室
邻的两个人。然后每个人把左、右两个相邻的人告诉自己的数的
平均数亮出来，如图所示。问：亮出数 11 的人原来心中想的数
是多少
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专题二四 抽屉原理 专题二五 计数原理
类型一 抽屉原理的直接应用 类型一 车票问题
1.给一个正方体木块的 6个面分别涂色，颜色从红、黄、蓝、绿四种中选择一种或几种， 1.某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7个车站，现在新增了 3个车站，铁路
上两站之间往返的车票不一样。那么,这样需要增加（ ）种不同的车票。
不论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。
A.24 B.42 C.48 D.21
A.2 B.3 C.4 D.5 2.从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站。铁路局要为这次快车准备 种
2.把红、绿、蓝、白四种颜色的球各 5个放到一个袋子里，至少要取 个球，才 不同的车票，这些车票中有 种不同的票价。
可以保证取到两个颜色相同的球。至少取 次，才能保证有两个颜色不同的球。 类型二 握手问题
3.一排有 20 个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有 3.开家长会时，小明、小丽、小强、小勇和小航的爸爸在门口相遇，如果他们相互握一
次手，那么他们一共握了 次手。
一个人与他相邻，则原来至少有 人就座。
4.有 50 个学生参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生
4.将 99 个苹果分给一群小朋友，每位小朋友所分得的苹果数都不一样，且每位小朋友 只差 1个男生没握过手，第三个到会的女生只差 2个男生没握过手，依此类推，最
至少有一个苹果，那么这群小朋友最多有 位。 后一个到会的女生同 7个男生握过手，这些学生中有 个男生。
5.西安市为了控制汽车流量，规定每辆私人汽车每个星期停驶 2天（一星期为 7天）,
类型三比赛场次
而“土豪”小李家由于业务繁忙，每天必须至少要有 10 辆汽车在行驶，如果小李能
5.2022 年 11 月 29 日，神舟十五号载人飞船发射圆满成功，六（1）班举行了有关航天
够自行选择停驶时间，那么小李家至少应当拥有 辆汽车。 知识竞赛，参加这次知识竞赛的有 6名同学，每两名同学之间都要进行一场比赛，
类型二 最不利原则 一共要比赛 场。
6.在一个袋子中装有同一种形状的 20 粒纽扣，其中黑的有 6粒，蓝的有 4粒，红的有 6.10 名选手参加象棋比赛.每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得 1分，
平一盘得 0.5 分，负一盘得 0分。比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和
10 粒。摸出 11 粒时，其中一定有 色的纽扣。
第二名一盘都没输过，前两名的总分比第三名多 10 分，第四名与最后四名得分总和
7.一次测验共有 10 道题，每道题完全答对可以得 5分，答对一半可以得 3分，答错或
相等，则第三名得 分。
不答不得分，至少有 人参加比赛才能保证有 3人的得分相同。 7.在一次围棋比赛中，每两个人都要赛一场，胜者得 2分，平局两人各得 1分，负者得
8.小李的袜子筐有 12 只脏袜子和 20 只干净袜子。这天，他迷迷糊糊地从筐中拿袜子， 0分。现在五位同学统计了全部选手的总分，分别是 551,552,553,554,555,但只有
每次拿两只。如果其中有脏袜子就会把两只都扔到地上，然后从筐中重拿。那么, 一个统计是正确的。问：共有多少名选手参赛
他至少拿 次才能保证一定拿到两只干净的袜子。
类型三 构造抽屉 类型四其他问题（5年 8考）类型四
9.一副扑克牌有 54 张，最少要抽取 张牌，方能使其中至少有 2 张牌有相同的 8.数 1447、1005、1231 有一些共同特征，每个数都是以 1开头的四位数，且每个数中
点数。 恰好有两个数字相同，这样的数共有（ ）个。
A.216 B.360 C.432 D.576
10.从自然数 1～1000 中最多可以选出 个数，使得被选出的数中任意两个数的
9.某种细菌的繁殖速度很快，20 分钟就能繁殖一代（一个分裂为两个）,如果手上原有
差都不整除它们的和。 细菌 45 个，如果不洗手，2小时后手上的细菌有 个。
11.有 30 个孩子，每人胸前有一个号码，号码恰为 1到 30,现挑选出若干个小孩排成 10.西安市的街道非常整齐（如右图）,从西南角 A 处走
一个圆圈，使任何相邻两个孩子号码数乘积小于 100,问：最多能挑选出多少个孩子 说 到东北角 B处，要求走最近的路，并且不能通过十字
明理由。 路口 C（正在修路）,共有 种不同的走法。
第 3页，共 4页 21 世纪教育网（www.21cnjy.com） 第 4页，共 4页
装 订 线 内 不 许 答 题人教版六年级《数学》小升初期末专题训练卷(（专专题题二二二二、、二二三三、、二二四四、、
二五 平均平数均问数题问、题、盈盈亏亏问问题题、、抽抽屉屉原原理、计数原理）) 参考答案
11. 29【解析】由题意可得前5个数与后4个数的和
专题22 平均数问题 加了两次第5个数，这8个数的总和是：56×8=
448,前5个数的总和是：45×5=225,后4个数的总
类型一 直接求平均数
和是：63×4=252,前5个数的总和与后4个数的总
1.D 2.893.15 和加起来是：225+252=477,则第5个数为：477-
448=29,所以这列数的第5个数是29。
4.10【解析】由题得a +a +a +aa+a =5×8=40,则a, 12.解：设亮出11的人原来心中想的数是x,根据题意：
+10+a -10+a +10+a -10+a +10=40+10=50,则另 亮9的人想的数是7×2-x=14-x,
一组数据的平均数为50÷5=10。 亮8的人想的数是10×2-x=20-x,
5.13【解析】这7个数的和为7×18=126,去掉一个 因为亮4的人所亮之数是亮8的人和亮9的人所
数后，剩下6个数的和为6×19=114,去掉的这个数 想之数的平均数，所以[(14-x)+(20-x)]÷2=4,
解得x=13。
为126-114=12,再去掉一个数后，剩下5个数的和
答：亮出数11的人原来心中想的数是13。
为5×20=100,去掉的这个数为114-100=14,去掉
专题23 盈亏问题
的两个数分别为12、14,则去掉的两个数的平均数
是(12+14)÷2=13。 类型一 一盈一亏
1.13 67 【解析】每人多分糖的颗数为6-5=1(颗),
类型二 根据平均数求最值 总共需要多分糖的颗数为11+2=13(颗),所以小朋
6.C【解析】因为15人的分数是等差数列，则第8名 友的人数为13+1=13(人),糖的总颗数为5×13+2=
的分数为75分，第6名的分数为78.2分，所以公差 67(颗)。
为(78.2-75)÷2=1.6(分),所以最高分为78.2+ 解题技巧盈亏问题一般解答方法：“盈亏总额
(6-1)×1.6=86.2(分)。 (总差额)÷每人两次分配数的差=人数”,据此先求
解题技巧等差数列的平均数：若由n(n>1,n为奇 出人数，再计算糖的颗数。
数)个数组成的数列为等差数列，设中间数为m,公差 2.【思路分析】大数比小数多29,且大数加1后是小数
的3倍。大数加1后比小数多30,此时大小数比为
为d,则这组数列的平均数为|[(m+"2 a)+ (m+ 3:1。大数比小数多2份，1份为30÷2=15,则小数
为15,进而用小数加差的29可求出大数。
2d)+(m+2)+m+(m-2)+(m-2d)+(m-214)]÷n= 44【解析】小数：(29+1)÷(3-1)=15,大数：15+29
=44
m。
7.4【解析】设小明要再考x次，则(100x+89×4)÷(x 3.126 3750【解析】7家共出190钱，则每家出190
+4)≥94,解得*≥3,,取整数可知，小明至少还要考 钱，9家共出270钱，则每家出匹6钱，两种情况每家
4次，平均成绩可尽快达到94分(或更高)。 实际出钱相差(270199钱，而总钱数相差(330+
8.21【解析】设这些数是a,b,c,d,则(a+b+c)÷3+d=
17,化简得a+b+c+3d=51,类似可以得到a+b+d+3c 30)钱，所以人家数有(330+30)+(270190)=360÷
=63,a+c+d+3b=69,b+c+d+3a=87,联立这些式子
求解，可得a=21,b=12,c=9,d=3,所以原来的四个 20=126(家),每头牛价为29×126-30=3750(钱)。
数中最大的数是21。 4.【思路分析】迟到2分钟，离学校还有(50×2)米，后
类型三 根据平均数求某个数 来每分钟走(50+10)米，早到5分钟，即超过学校
9.B (50+10)×5=300米，由此可求出原定时间，进而求
得小明家到学校的路程。
10.3.5【解析】最高分：8×9.5-7×9.3=10.9(分),最 解：迟到2分钟，离学校还有50×2=100(米),
低分：8×9.5-7×9.8=7.4(分),最高分与最低分相 后来每分钟走50+10=60(米),则早到5分钟，超过
差10.9-7.4=3.5(分)。 学校60×5=300(米),
根据盈亏问题公式可得，(100+300)÷10=40(分钟),
因为开始时走了2分钟，加上将要迟到2分钟，所以
到学校所需时间为40+2+2=44(分钟),
小明家到学校的路程是50×44=2200(米)。
数在0~50分之间，由于1分、2分、4分、7分、47
答；小明家到学校的路程是2200米。
分、49分都不可能出现，所以共有45种得分情况。
类型二 双盈双亏 最不利的情况是每种得分情况都有2人，那么再有
5.18【解析】假设绳子没有剪去18米，则三折后余下 1人，才能保证有3人的得分相同，即至少有45×2+
长度为18÷3+12=18(米),故井深为(18×3-9×4)÷ 1=91(人)参加比赛。
(4-3)=18(米)。 8.13【解析】最不利情况下，每次都拿出的是一只脏
■题多解设井深为x米，则有(x+9)×4=(x+12) 袜子和一只干净的袜子，在第12次之后，脏袜子全
×3+18,解得x=18。 部扔掉，剩下干净袜子，再拿一次，就能拿到两只干
6.解：三好学生人数：(25-7)÷(9-6)=6(名), 净袜子，所以至少拿12+1=13(次)才能保证一定拿
故事书的本数：6×6-7=29(本)。 到两只干净的袜子。
答：有6名三好学生，买了29本故事书。 类型三 构造抽屉
类型三 一盈一尽或一亏一尽 9.16【解析】构造抽屉：54张牌，根据点数特点可以
7.4 32 【解析】每人分8本，正好分完，每人分5本， 分别看做15个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都摸
还剩12本，这12本是因为每人少分了8-5=3(本) 出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，
造成的，所以12里面有多少个3,便有多少人，即一 无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽
共有小朋友12÷3=4(个);由于每人分8本，正好分 屉，即两张牌点数相同，15+1=16(张),至少抽取16
完，所以这捆练习本一共有8×4=32(本)。 张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数。
8.解：两次分配的差为8-6=2,人数差为20, 10.334 【解析】将自然数1到999分成333组：1,2,
根据盈亏问题公式可知寝室共有20÷(8-6)=10(间)。 3,4,5,6;7,8,9; 997,998,999。每组中的数
答：学生宿舍有10间寝室。 都是三个连续的自然数，任选出其中的两个数，如
专题24 抽屉原理 果这两个数奇偶相同，则和为偶数，差为2;否则和
为奇数，差为1。所以，在某组中任选两个数，它们
类型一 抽屉原理的直接应用 的差都可以整除它们的和。根据抽屉原理如果从
1. A 1～1000中选出的数的个数大于334,必定有两个
2.5 6【解析】假设前4次取出红、绿、蓝、白四种颜 数在前面所给的333组数的某组中，这样选出的数
色的球各1个，所以至少要取4+1=5(个)球，才可 不满足题目要求。另一方面，当选出1,4,7, ,
以保证取到两个颜色相同的球；假设前5次取出的 1000,即选出的数为3k+1(k=0,1,2, ,333)
是同一种颜色的球，所以至少取5+1=6(次),才能 时，其中任意两个数的和被3除余2,它们的差是3
保证有两个颜色不同的球。 的倍数，满足题目的要求。所以最多可以选出334
3.7【解析】因为新来的人无论坐在何处都与某个人 个数。
相邻，所以一定没有连续三个以上的空座，要使原来 11. 解：根据抽屉原理：将1~30中相乘小于100的两
人数最少，需要空座最多，也就是每隔两个座坐一个 个数，按被乘数构造成9个抽屉，如下：
人，即20÷3=6(人) 2(个),6+1=7(人),所以 (1×2)、(1×3)、(1×4) 、(1×30)
原来至少有7人就座。 (2×3)、(2×4) 、(2×30)
4.13【解析】由于希望小朋友尽可能多，所以每位小 (3×4) 、(3×30)
朋友在数量不相等的情况下得到的苹果数量尽可能
少，前12位小朋友分配方案为：1,2,3,4,5,6,7,8, (9×10)、(9×11)
9,10,11,12,13,13×(13+1)÷2=91,所以当分到第 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数
13位同学时分完了91个苹果，99-91=8(个),剩下 作为被乘数或乘数最多两次，所以每一个抽屉中最
的8个若再分给第14位同学就会和第8位同学的 多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个
苹果数一样，所以这群小朋友最多有13位。 数对，共18×2=36(次),但是每个数都出现两次，
5.14【解析】如果每辆汽车充分利用，一周可以行驶 故出现了18个数。若随意选出19个孩子，那么共
7-2=5(天),所以至少要拥有汽车7×10÷5=14 有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别
(辆)。 相乘，则会形成19个相乘的数对。那么在9组中
类型二 最不利原则 取出19个数时，有19=9×2+1,由抽屉原理可知，
必有三个数对落人同一组中，这样某个数字会在数
6.红【解析】从最不利情况分析，假设前10个都摸出
对中出现三次(或三次以上),由分析知，这是不允
黑色和蓝色的纽扣，再摸出1个一定就是红色纽扣。
许的，故最多能挑选出18个孩子。
7.91【解析】最低得分为0分，最高得分为50分，分
答：最多能挑选出18个孩子。 不同的数字。故按照加法原理，这样的数共有216+
专题25 计数原理 216=432(个)。
类型一 车票问题 9.2880【解析】某细菌20分钟繁殖一代，2小时繁殖
2×60÷20=6(代),原有细菌繁殖6代后的数量是45
1.C【解析】新增车站前共有车票：(1+2+3+ +6)×2
×2×2×2×2×2×2=2880(个)。
=42(种),新增车站后共有车票：(1+2+3+ +9)×2
10.120【解析】从A到B共需走6段横道，4段竖道，
=90(种),需要增加：90-42=48(种)。 每一走法对应着6个“一”和4个"I"的一个排列，
2.56 28【解析】一共有6+2=8(个)车站，票价共有
8×7÷2=28(种),每两站往返车票不同，车票有28× 共有4×3×2×1=210((种〉不同的走法，其中过C点
2=56(种)。
类型二 握手问题 的有2×1×2×3=90((种),所以不过C点的共有210
3.10【解析】由题意可知，一共有5人，根据握手原 -90=120(种)不同的走法。
理：(5-1)×5÷2=10(次),一共握手10次。
4.28【解析】因为最后一个到会的女生同7个男生握
过手，说明男生比女生多6人，所以男生人数为(50+
6)÷2=28(个)。
类型三 比赛场次
5.15【解析】参加知识竞赛的6名同学每2人之间比
赛一次，共需比赛：6×(6-1)÷2=15(场)。
6.6.5【解析】每人要赛9盘，前两名都没有输过，比
分又不同，所以第一名不大于8.5分，第二名不大于
8分。因为后四名之间赛6盘，后四名得分总和至
少是6分，所以第四名至少得6分，再由前两名的总
分比第三名多10分，即第三名至多得6.5分，所以
第三名得6.5分，第四名得6分。
7.【思路分析】因为胜者得2分，负者得0分，平局两人
各得1分，所以每两个人赛一场对于总分的贡献是
相同的，即加2分，设有x个选手，每两个人都要赛
一场，根据握手原理得比赛的总场数为x·(x-1)÷
2,全部选手的总分即为x·(x-1)。相邻的两个数
一定一个为奇数，另一个为偶数，乘积一定是偶数，
所以551,553,555是错误的，代入552和554,判断
是否有整数解。
解：设有x名选手，每两个人都要赛一场，则总场数
为x·(x-1)÷2,全部选手的总分即为x·(x-1),
根据题意可列方程为x·(x-1)=552,
因为24×23=552,所以代入552有解，这个数是正确
的，选手人数为24名；令x·(x-1)=554,无整
数解。
答：共有24名选手参赛。
类型四 其他问题
8. C【解析】分情况讨论：①相同数字为1时，除了千
位上的1,另一个1有个、十、百3个位置选择，剩下
的两个数位上的数字是除1之外不同的两个数，即
有9×8×3=216(种);②相同数字不是1时，除了千
位上的1和相同的两个数字外，剩下的一个数位上
的数字是除1和这两个相同数字之外的数，而这个
数有3种位置，故按照乘法原理有9×8×3=216(种)
