铁人中学2024级高一下学期期中考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 5月
铁人中学2024级高一下学期期中考试
数学参考答案
单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
A D D A B C D B
多选题
9 10 11
BCD BCD ABD
填空题： 12. 13. 14.
解答题
15.（13分）（1）如图，取的中点，连接，
因为为的中点， 所以，，
因为四边形为平行四边形，为的中点，
所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，即，
由勾股定理的逆定理可知，且在直三棱柱中，为高，
所以由三棱柱的体积公式可得体积，
表面积为5个面面积之和.
16.（15分）（1）由及正弦定理得，
，，，
．，
，
，，，
．
（2）①由，可得，
；
②由，可得，
由（1）知，则，
，
又由余弦定理可得，
，
，解得或（舍去），
的面积为.
17.（15分）（1）连接交于，连接，如下图：
由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点，
所以为中位线，则，
又面，面，
平面；
（2）由题设知：，面，面，
面，又面，面面，
，又E为棱的中点，即是△的中位线，
F为的中点；
（3）存在N使得平面且，理由如下：
设点为中点，连接，
由题设，且，由（2）知且，
且，即四边形为平行四边形，
，而面，面，
面，故所求点即为点，
则上存在点N使得平面，且.
18（17分）（1）由题意得
根据正弦定理可得：，
根据余弦定理可得：，即；
（2）由知，
两边同时平方得，
即，化简得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，，
，即，②
由①②得，由于，得，代入②得．
的面积为．
（3）如图，设，则，
在中，由正弦定理得可得，
，
在中，由正弦定理得：
，
是锐角三角形，
，当时，可得的最大值是.
19.（1）由题意得，整理得，；
（2）①当时，，设，
因为，所以，
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为；
②设，
则
因为存在实数M，使得成立，
所以为实数，所以，
因为，所以，
当时，，符合题意，
此时，且，
所以的取值范围为铁人中学2024级高一下学期期中考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 5月
铁人中学2024级高一下学期期中考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．设复数=，则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．四边形的周长为
4．已知的内角的对边分别为，且只有一解，则边长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（ ）个区块
A． B． C． D．
6.正三棱台上、下底面的边长分别为3、6，侧棱长为，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（ ）
A．直线与直线异面
B．过三点的平面截正方体所得的截面的面积为
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D．存在点，使得平面平面
8．在锐角中，角的对边分别为，若，，则的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．若复数是纯虚数，则
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10.下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
C．若为的垂心，，则
D．若，，分别表示，△的面积，
则
11．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为9
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上)
12．设复数满足，，则 .
13．在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为 .
14．在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，动点在侧面内（包含边界），若，则点轨迹的长度为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．（13分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若求直三棱柱的体积和表面积.
16.（15分）在中，角的对边分别是，且.
(1)求;
(2)设的面积为，且.
①求的值；
②求的面积.
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，
平面与棱交于点．
(1)求证：平面；
(2)求证：为的中点；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.（17分）已知中，角的对边分别是,
且.
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，求的面积;
(3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值.
19.（17分）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.
已知复变函数，，
当时，解关于复数的方程：；
当时，
①若，求复变函数的最小值；
②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围.
