【浙江省专用】2024-2025学年高一数学下册期末真题专项练习 02 多项选择（含答案+解析）

【浙江省专用】2024-2025学年高一数学下册期末真题专项练习
02 多项选择
一、多项选择题
1．（2024高一下·湖州期末）若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是*
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·绍兴期末）下列说法正确的是(　　)
A．复数的模为
B．复数的虚部为
C．若，，则
D．若复数，满足，则
3．（2024高一下·杭州期末）下列说法正确的是（　　）
A．若的终边经过，，则
B．
C．若，则为第一或第四象限角
D．若角和角的终边关于轴对称，则
4．（2024高一下·丽水期末）已知事件发生的概率分别为，，则（　　）
A．一定有
B．
C．若与互斥，则
D．若与相互独立，则
5．（2024高一下·丽水期末）若，，是任意的非零向量，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，，则
6．（2024高一下·杭州期末）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高一下·金华期末）对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若与互斥，则 B．若与互斥，则
C．若，则 D．若与相互独立，则
8．（2024高一下·嘉兴期末）如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（　　）
A．点到平面的距离等于1
B．点到直线CT的距离等于1
C．球在正八面体外部的体积小于
D．球在正八面体外部的面积大于
9．（2024高一下·宁波期末）已知圆，圆则下列选项正确的是(　　)
A．直线恒过定点
B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
10．（2024高一下·金华期末）已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（　　）
A．直线与直线可以相交，不可以平行
B．直线与直线可以异面，不可以平行
C．直线与直线可以垂直，可以相交
D．直线与直线可以异面，可以相交
11．（2024高一下·余姚期末）已知复数，则（　　）
A．为纯虚数
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
12．（2024高一下·阳泉期末） 给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20
C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一
D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则
13．（2024高一下·宁波期末）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆上一点，则下列选项中正确的是(　　)
A．椭圆的离心率为
B．的周长为
C．不可能是直角
D．当时，的面积为
14．（2024高一下·慈溪期末）已知，，则(　　)
A． B． C． D．
15．（2024高一下·余姚期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则(　　)
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过，，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
16．（2024高一下·奉化期末）给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．数据的极差与众数之和为
B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件
C．甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为
D．一组不完全相同数据的方差为，则数据的方差为
17．（2024高一下·慈溪期末）下列命题正确的是(　　)
A．若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件
B．若学校田径队有名运动员，其中男运动员有人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为的样本，则女运动员应抽取人
C．设一组数据的平均数为，方差为，若将这组数据的每一个数都乘以得到一组新数据，则新数据的平均数为，方差为
D．设和是两个概率大于的随机事件，若和相互独立，则和一定不互斥
18．（2024高一下·襄阳期末）疫情带来生活方式和习惯的转变， 短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选． 某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（　　）
A．图中
B．在4000份有效样本中， 短视频观众年龄在岁的有1320人
C．估计短视频观众的平均年龄为32岁
D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁
19．（2024高一下·嘉兴期末）如图，点A，B在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（　　）
A．，，
B．，
C．
D．
20．（2024高一下·奉化期末）如图，棱长为的正方体中，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，点分别是在线段上的动点，下列结论正确的是（　　）
A．异面直线与所成角为
B．平面
C．三棱锥的体积是定值
D．的最小值是
21．（2024高一下·嘉兴期末）气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（　　）
A．该组数据的极差为6 B．该组数据的众数为26
C．该组数据的中位数为25.5 D．该组数据的第70百分位数为26
22．（2024高一下·湖州期末）为了丰富同学们的课外活动，某学校为同学们举办了四种不同的科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（　　）
A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件
C． D．
23．（2024高一下·余姚期末）已知复数，，则(　　)
A．为纯虚数
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．注意：表示复数的共轭复数
D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
24．（2024高一下·汕尾期末）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（　　）
A．存在点使得
B．若点满足，则动点的轨迹长度为
C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D．当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
25．（2024高一下·绍兴期末）下列说法正确的是（　　）
A．复数的模为
B．复数的虚部为﹣1
C．若，则
D．若复数满足，则
26．（2024高一下·台州期末）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点（含端点），则下列选项正确的是（　　）
A．若直线与直线所成角为，则的最大值为
B．若直线与平面所成角为，则的最大值为
C．若点到平面的距离为，则的最小值为
D．若过三点的平面截正方体所得截面面积为，则的最小值为
27．（2024高一下·绍兴期末）已知一组样本数据，，，，，的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是(　　)
A．，，，，，
B．，，，，，
C．，，，，
D．，，，，，
28．（2024高一下·台州期末）在复平面内，满足下列条件的复数所对应的点与点在同一个圆上的是（　　）
A． B． C． D．
29．（2024高一下·杭州期末）下列命题正确的是（　　）
A．若事件两两互斥，则成立.
B．若事件两两独立，则成立.
C．若事件相互独立，则与也相互独立.
D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立.
30．（2024高一下·杭州期末）下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间上存在零点的是（　　）
A． B．
C． D．
31．（2024高一下·温州期末）正方体棱长为1，E，F分别为棱，AD（含端点）上的动点，记过C，E，F三点的平面为，记为点B到平面的距离，为点到平面的距离，则满足条件（　　）的是不唯一的．
A． B． C． D．
32．（2024高一下·奉化期末）在中，，，下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若有两解，则
D．若是锐角三角形，则
33．（2024高一下·丽水期末）在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，对任意，平面恒成立
B．当时，的最小值为
C．当时，与平面所成的最大角的正切值为
D．当时，四棱锥的外接球的表面积是
34．（2024高一下·金华期末）小明在研究物理中某种粒子点的运动轨迹，想找到与的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现和都与某个变量有关联，且有.小明以此为依据去判断函数的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数是以为周期的函数
C．函数的图象存在多条对称轴 D．函数在上单调递增
35．（2024高一下·杭州期末）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（　　）
A．是函数的一条对称轴
B．函数是周期为的函数
C．
D．若，则
36．（2024高一下·余姚期末）已知中，分别为角的对边，为的面积，则下列条件能使只有一个解的是（　　）
A． B．
C． D．
37．（2024高一下·杭州期末）如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（　　）
A．每一个直角三角形的面积为1 B．
C． D．
38．（2024高一下·襄阳期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（　　）
A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体
39．（2024高一下·温州期末）已知复数z满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．的最大值为2 D．
40．（2024高一下·湖州期末）如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（　　）
A．当平面平面时，平面
B．当A，C重合于点时，平面
C．当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当A，C重合于点时，四棱锥的体积为
41．（2024高一下·余姚期末）已知中，、、分别为角、、的对边，为的面积，则下列条件能使只有一个解的是(　　)
A．，， B．，，
C． D．，，
42．（2024高一下·镇海区期末）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．的周长为3
C．不可能是直角
D．当时，的面积为
43．（2024高一下·台州期末）为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为此，相关部门在该市随机调查了户居民六月份的用电量（单位：），以了解这个城市家庭用电量的情况.通过收集 整理数据，得到如下频率分布直方图.则下列选项正确的是（　　）
A．直方图中
B．在被调查的用户中，用电量不超过的户数为
C．这户居民六月份用电量的平均数小于中位数
D．估计该市居民六月份用电量的第百分位数约为
44．（2024高一下·衢州期末）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得平面
B．周长的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为
45．（2024高一下·杭州期末）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最大值为
46．（2024高一下·温州期末）小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（　　）
A．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜
B．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜
C．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷
D．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷
47．（2024高一下·慈溪期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，若底面，，点为线段上的动点，则(　　)
A．对于动点，线段上存在动点不与端点重合，使得平面
B．
C．与平面所成角的范围为
D．过点，且与直线和所成角均为的直线有条
48．（2024高一下·绍兴期末）如图，已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，上的点，，则(　　)
A．
B．平面经过棱中点
C．平面截该正方体，截面面积的最大值为
D．点到平面距离的最大值为
49．（2024高一下·镇海区期末）埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，分别为埃舍尔多面体的顶点，分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥与分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体的中心O，以O为原点，轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕轴旋转，将旋转后的三个正方体（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（　　）
A．在图5中，
B．在图5中，直线与平面所成角的正弦值为
C．在图10中，设点的坐标为，则
D．在图10中，若E为线段上的动点（包含端点），则异面直线与所成角余弦值的最大值为
50．（2024高一下·顺德期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（　　）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
答案解析部分
1．B,C,D
解：设复数，且；
A、，则，，，故A错误；
B、，，
则，，故，故B正确；
C、， ，
故，故C正确；
D、，，故，故D正确．
故答案为：BCD.
根据复数的四则运算，结合复数的模长公式计算判断即可.
2．A,B
解：A、，故A正确；
B、的虚部为，故B正确；
C、虚数不能比较大小，故C错误；
D、令 ，则，故D错误.
故答案为：AB.
根据复数模长公式和虚部的定义可判断AB；根据虚数不能比较大小可判断C；举反例可判断D.
3．B,D
解：A、 若的终边经过，，则，
当 时，，
当时，，故A错误；
B、，故B正确；
C、若，的终边在第一或第四象限或轴非负半轴，故C错误；
D、 若角和角的终边关于轴对称，则 ，故D正确．
故答案为：BD
根据任意角三角函数定义求值即可判断A；利用诱导公式运算求解即可判断B；根据三角函数在坐标轴上的符号即可判断C；根据对称性结合诱导公式分析即可判断D.
4．B,D
解：A、例如：盒子中有大小相同的12个球，其中红球有3个，白球有4个，黑球有5个，从盒子中任意摸出一个球，记事件为摸到红球，事件为摸到白球，
则满足，，但不成立，故A错误；
B、，
因为，且，，，
所以，所以，
所以，即，
则，故B正确；
C、若与互斥，则，，故C错误；
D、若与相互独立，，，则，
，故D正确.
故答案为：BD.
举例即可判断A；利用和事件与交事件的概率公式结合已知分析即可判断B；根据互斥事件的定义结合对立事件的概率公式分析即可判断C；根据独立事件与和事件的概率公式分析即可判断D.
5．B,C,D
解：A、若时，向量，方向不一定相同， 故A错误；
B、由向量数量积的运算性质可知：，故B正确；
C、若，两边平方得，，即，故C正确；
D、若，，则非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，
即的方向相同或相反，则， 故D正确．
故答案为：BCD．
根据向量数量积的性质及向量共线定义逐项判断即可．
6．B,D
解：A、函数在上单调递减，因为，所以，故A错误；
B、函数在上单调递增，因为，所以，故B正确；
C、，
因为，且函数在上单调递增，所以，则，，
则，则，故C错误；
D、函数，
因为为增函数，且恒成立，
所以为减函数，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
根据函数的单调性即可判断ABD；利用作差法即可判断C.
7．B,D
解：AB、若与互斥，则，，
故A错误，B正确；
C、若，则，即，故C错误；
D、若与相互独立，则，故D正确.
故答案为：BD.
由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB；由，则即可判断C；由相互独立事件的定义即可判断D.
8．B,C,D
解：A、易知正八面体的中心为棱切球的球心，因为，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
故，故A错误；
B、由于，故在平面上的投影就是正方形的中心，
故平面，而在平面内，故，
又因为，知点到直线的距离，故B正确；
C、根据上面的分析，球的半径等于点到直线的距离，即，
从而平面截棱切球所得圆的半径，设这个圆为圆，
设球的体积为，而以为顶点、圆为底面的圆锥的体积为，
则棱切球在正八面体内部的体积大于，
从而球在正八面体外部的体积小于
，故C正确；
D、球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积.
而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积.
从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积.
该圆锥的底面半径，高，故母线长.
所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积.
所以8个球冠的表面积之和大于，故D正确.
故答案为：BCD.
先确定球的中心，然后利用正八面体的性质计算即可判断A；直接利用三角形面积公式即可判断B；计算在正八面体外部的球冠对应的圆锥的体积，然后估计出球在正八面体外部的体积的上界即可判断B；利用旋转体体积公式求得球冠体积，并得到球冠与圆锥的总体积占整个球的比例，即可得到球冠的表面积，然后进行放缩即可判断D.
9．A,B,D
解：化圆得标准方程为，
A、易知，则直线的方程为，
即，则直线恒过定点，故A正确；
B、当圆和圆外切时，，解得，
当时，当共线时，如图所示：；
；
同理，当时，，故B正确；
C、若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交，
则，即，解得，故C错误；
D、由C可知，当时，两圆相交，两圆方程相减可得公共弦方程，
则到的距离为，
则圆与圆相交弦的弦长为，故D正确.
故答案为：ABD.
根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，即可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解即可判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长即可判断D.
10．B,C,D
解：A、若直线与直线相交，则四点共面，即直线与共面，
与直线与异面矛盾，则直线与直线不可以相交，故A错误；
B、当分别和重合时，直线与直线异面，
直线与直线不可以平行，假如直线与直线平行，
平面，平面，故平面，
但与平面有交点，显然这是不可能的，假设不成立，故B正确；
C、当均与重合，此时直线与直线相交，
当调整的位置，可能有⊥，且令分别与重合，
此时满足直线与直线垂直，
故直线与直线可以垂直，可以相交，故C正确；
D、当均与重合，或均与重合时，直线与直线相交，
当时，与平行，当时，与平行，此时与平行，
其他情况，直线与直线异面，
故直线与直线可以异面，可以相交，故D正确.
故答案为：BCD.
假设直线与直线相交，推出矛盾即可判断A；先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾即可判断B；根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交即可判断C；由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行即可判断D.
11．A,D
解：A选项：由，所以为纯虚数，所以A选项对；
B选项：由，所以在复平面内对应点为轴正半轴，所以B选项错；
C选项：由，
又，
所以，所以C选项错；
D选项：假设，，
因为，
所以，
解得，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，所以D正确.
故答案为：AD.
利用复数的加减、乘除法则进行计算，结合复数的几何意义以及共轭复数的概念对每一个选项进行判断即可得到结果.
12．A,C,D
A.数据0，1，2，4的极差为4，中位数为极差和中位数的积为6正确，所以A选项正确.
B.数据的方差为所以B选项错误.
C.因为数据的方差为0，即数据没有任何波动，即所以众数唯一，所以C选项正确.
D.所以所以D选项正确.
故答案为：ACD
对于A求取极差和中位数即可判断，对于B由方差的性质即可判断，对于C根据方差的定义即可判断，对于D由平均数的定义即可判断.
13．A,D
解：A、易知，因为，所以椭圆焦点在轴上，
则，解得，即椭圆的离心率，故A正确；
B、由A 的结论，根据椭圆的定义可得的周长为，故B错误；
C、取为椭圆的上顶点，则，
所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；
D、当时，设，，
则，即，解得，
则的面积为，故D正确.
故答案为：AD.
由题意，先确定椭圆的方程，再根据选项结合椭圆的性质逐项分析判断即可.
14．A,C
解：A、因为，，
所以，故A正确；
B、，，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：AC.
根据复数的乘法运算结合复数的加法运算、共轭复数计算判断即可.
15．A,B,D
解：A、连接，如图所示：
因为为正方形，所以，即，平面，
又因为平面，，平面，，
所以平面，平面，，故A正确；
B、因为，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
C、设，，，
，
，
，表示点和点到点的距离之和，
最小值为点到点的距离，为，故C错误；
D、当是的中点时，，，，
，
，，
，设点到平面的距离为，
由，可得，解得，
直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，
则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
由线面垂直证明线线垂直即可证明A；，由底面积和高判断体积为定值即可判断B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证判断C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积即可判断D.
16．A,C
A，数据的极差为，众数为，它们的和为，A正确；
B，事件包括“个红球1个白球”和“3个红球”两个基本事件，与事件“都是白球”不能同时发生，可知事件与事件是互斥事件；
但还有可能出现“1个红球2个白球”的情况，所以事件与事件是互斥但不对立事件，B错误；
C，由相互独立事件的乘法公式可得甲乙各投篮一次同时投中的概率为，C正确；
D，设数据的平均数为，
则其方差为，
所以数据的平均数为；
所以方差为
，D错误.
故答案为：AC
本题考查极差，众数的定义，对立事件的定义，相互独立事件的概率公式，方差的性质.先利用极差计算公式：极差=最大值-最小值，求出极差，再求出众数，进而求出和，可判断A选项；根据题意分析可得事件包括“个红球1个白球”和“3个红球”两个基本事件，利用互斥事件的概念可知事件与事件是互斥事件，再利用对立事件的概念可知事件与事件是互斥但不对立事件，据此可判断B选项；利用相互独立事件的概率公式可得甲乙各投篮一次同时投中的概率，可判断C选项；利用方差的性质公式进行推导可求出数据的方差，判断D选项.
17．A,C,D
解：A、某人打靶时连续射击两次，事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件，故A正确；
B、根据分层抽样可知：女运动员应抽取人，故B错误；
C、一组数据的平均数为x，方差为，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，
则新数据的平均数为2x，方差为，故C正确；
D、因为A和B是两个概率大于0的随机事件，和相互独立，所以，所以和一定不互斥，故D正确.
故答案为：ACD.
对根据对立事件的定义即可判断A；根据分层抽样的定义结合题意求解即可判断B；根据平均数和方差的性质分析即可判断C；根据独立事件和互斥事件的定义分析即可判断D.
18．B,C,D
对于A，，，A不符合题意；
对于B，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在岁的人对应频率为0.33，
短视频观众年龄在岁的有人，B符合题意；
对于C，平均年龄，C符合题意；
对于D，设分位数为，则，解得：，D符合题意.
故答案为：BCD.
利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1得出实数a的值；再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出在4000份有效样本中， 短视频观众年龄在岁的人数；再结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出短视频观众的平均年龄；再利用分位数求解方法估计出短视频观众年龄的75%分位数，进而找出正确的选项。
19．A,B,D
解：A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，无法确定夹角，则无法求出数量积的值，故C错误；
D、，设，由图可知，则，故D正确.
故答案为：ABD.
根据向量数量积的公式计算判断即可.
20．B,C,D
A.正方体中，，，
则四边形为平行四边形，有，
异面直线与所成角等于直线与所成角，
正方体中，为等边三角形，
所以异面直线与所成角为，A错误；
B.正方体中，平面，平面，，
正方形中，有，
平面，，则有平面，
平面，则，
同理，
平面，，所以平面，B正确；
C.，平面，平面，则平面，
点是线段上的动点，则点到平面的距离为定值，
是边长为的等边三角形，面积为定值，
所以三棱锥的体积是定值，C正确；
D.正方形中，点是线段的中点，也是线段的中点，
以为轴，把和旋转到同一平面内，
则的最小值为，
由，，，，
，平面四边形为矩形，
是线段的中点，点是线段上靠近的四等分点，设为的中点，
则中，，，
所以，D正确.
故答案为：BCD.
本题考查异面直线的夹角，直线与平面垂直的判定，三棱锥的体积计算公式.根据正方体的结构特征可推出四边形为平行四边形，进而可得，据此可将异面直线与所成角转化为直线与所成角，利用等边三角形的性质可求出夹角，判断A选项；利用正方体的结构特征可得，利用正方形的性质可得，进而可推出平面，利用直线与平面垂直的性质可得，同理可得，利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论，判断B选项；根据正方体的结构特征可得平面，进而可推出点到平面的距离为定值，再结合底面积为定值，可推出体积为定值，判断C选项；先根据题意证明，进而推出平面四边形为矩形，又知是线段的中点，点是线段上靠近的四等分点，设为的中点，利用勾股定理可求出，判断D选项.
21．A,B,D
解：数据按照从小到大的顺排列可得，
A、该组数据的极差为，故A正确；
B、该组数据的众数为，故B正确；
C、该组数据的中位数为26，故C错误；
D、因为，所以该组数据的第70百分位数为第个数据，故D正确.
故答案为：ABD.
根据极差、众数、中位数和百分位数的定义求解即可.
22．A,B,C
解：A、事件与事件，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
B、至少参加两种，与至多参加一种对立，故B正确；
C、事件表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；
D、事件表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故答案为：ABC.
根据互斥事件和对立事件的概念即可判断AB；根据事件的交、并的概念即可判断CD.
23．A,D
解：复数，；
A、，即为纯虚数，故A正确；
B、，在复平面内对应的点为，位于轴正半轴上，故B错误；
C、，，则，故C错误；
D、令，，由，
可得，即，故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确.
故答案为：AD.
由题意，根据复数的加减、乘除运算法则，复数的几何意义与共轭复数的定义逐项判断即可.
24．A,C
解：A选项：如图：
当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确；
B选项：如图：
当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，
即动点轨迹的周长为：，故B错误；
C选项：如图：
当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，
故C正确；
D选项：如图：
当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧
则即为二面角的平面角，
即当与的中点重合时，二面角取得最大值，
此时，因为，所以.
故D错误.
故选：AC
本题为立体几何中动点轨迹问题，需根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断.
25．A,B
解：A、复数，则，故A正确；
B、复数的虚部为，故B正确；
C、若，均为虚数，虚数不能比较大小，故C错误；
D、令复数，则，故D错误.
故答案为：AB.
根据复数模长公式和虚部的定义即可判断AB；由虚数不能比较大小即可判断C；举反例即可判断D.
26．B,C,D
解：A、由题意可知：当点N运动到与M点重合时，求得，故A错误；
B、，则当线段最小时，最大，
分析知，当点运动到满足时，最小，此时根据勾股定理，也最小，
又因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
在中，由勾股定理得，
由，可得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，，故B正确；
C、过作，再作，又，易证平面，
所以点到平面等于点到平面，所以，
将平面和平面展开放在同一平面内，如图所示：
取的中点，则，，即为等腰直角三角形，，又因为为等腰直角三角形，
所以，
所以，所以，
设，，则，，
在中，，
所以，
所以，，
所以，下面求其最小值，令，则，
由辅助角公式可得，，
其中取，所以，
所以存在角使得，即存在，化简得，
，又由方程解得，
所以或，又因为，所以，
所以的最小值为，故C正确；
D、分析知，经过，，三点的平面截正方体得到的截面经过的中点，的中点时，截面面积最小，此时截面为四边形，由于，，
，都全等，所以，所以四边形为菱形，易求，，
则，故D正确.
，
故答案为：BCD.
根据点运动情况，求得即可判断A；根据点运动情况找到使角最大的位置求解即可判断B；根据动点到面和点到线的距离转化求解即可判断C；当截面为经过的中点，的中点时，面积最小即可判断D.
27．A,C,D
解：因为的标准差，其平均数，所以，
A、的标准差为，故A正确；
B、的标准差为，故B错误；
C、，
又的平均数为，
设数据的标准差为，则，
所以，则，故C正确；
D、的标准差为，故D正确.
故答案为：ACD.
根据方差（标准差）的性质及方差公式逐项判断即可.
28．B,C
解：由题意可得：，
则以原点为圆心，为半径的圆上，
A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、设复数，，故C正确；
D、复数，，因为，所以，
解得，则，故D错误.
故答案为：BC.
由复数几何意义，计算它们的模，得这3个点在以原点为圆心，为半径的圆上，再逐项计算判断即可.
29．A,C,D
解：对于A，若事件两两互斥，则与互斥，
所以，，故A正确；
对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，
事件：第二个骰子点数为奇数，
事件：两个骰子的点数之和为奇数，
所以，，，
可以看出事件两两独立，但不互相独立，
所以，故B错误；
对于C，若事件相互独立，则，
又因为，，
则
，故C正确；
对于D，若，事件相互独立，
则，
若互斥，则，故D正确.
故答案为：ACD.
利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断出选项B；利用事件相互独立的判定公式，则判断出选项C；利用独立事件定义和互斥事件定义，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
30．B,D
解：对于A，因为函数，
可得函数的值域为，
所以函数在定义域没有零点，
所以函数不可以用零点存在定理判断函数在区间上存在零点，
所以A不符合题意；
对于B，因为函数的定义域为，且在定义域上为单调递增函数，
又因为，所以，
由零点的存在定理，可得函数在区间上存在零点，所以B符合题意；
对于C，因为函数，
令，解得或，
又因为，此时，
所以函数不可以用零点存在定理判断函数在区间上存在零点，
所以C不符合题意；
对于D，因为函数，
当，可得，
所以函数在区间上为减函数，
因为，则，
所以函数可以用零点存在定理判断函数在区间上存在零点，
所以D符合题意.
故答案为：BD.
根据题意，利用函数的零点的定义和函数的单调性，再结合函数零点的存在性定理，从而可得答案.
31．A,C
解：设，则，
可得，
在中，由余弦定理可得，
且，则，
则的面积，
设平面与直线的交点为，连接，可知，
因为平面∥平面，且平面平面，平面平面，所以∥，
同理可得：∥，可知四边形为平行四边形，则，
由三棱锥可知：，
则，解得；
由三棱锥可知：，
则，解得；
A、若，
显然和上式均成立，所以平面是不唯一的，故A正确；
B、若，
整理可得，解得，
即平面是唯一的，故B错误；
C、若，
显然和上式均成立，所以平面是不唯一的，故C正确；
D、若，
整理可得，解得，
所以平面是唯一的，故D错误.
故答案为：AC.
设，结合解三角形知识求得的面积，利用等体积法求得，，由题意结合选项逐项分析判断即可.
32．A,C,D
A，在中，，，，则由余弦定理得
，A正确，
B，在中，，，，则由正弦定理得
，，得，
因为，，所以或，B错误，
C，如图，过作于，则，
因为有两解，所以，即，C正确，
D，由正弦定理得，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，得，
所以，所以，
所以，即，D正确.
故答案为：ACD
本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.根据条件直接利用余弦定理可求出，判断A选项；先利用正弦定理可求出，再根据三角形的边角关系可求出，据此可判断B选项；过作于，利用正弦的定义可求出，根据三角形解的情况可求出BC的取值范围，判断C选项；先利用正弦定理可求出，根据为锐角三角形，可列出不等式组，解不等式组可求出角的范围，进而可求出的取值范围，判断D选项.
33．A,C,D
解：A、 棱长为的正方体中，
当，时，可得，即，则点在线段上运动，如图所示：
在正方体中，平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
B、当时，可得，即点在线段上运动，如图所示：
连接，则为边长为的等边三角形，
过点作，可得，即的最小值为，故B错误；
C、当时，可得，即点在线段上运动，如图所示：
连接，在正方体，可得，
因为，且平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设平面，在直角中，可得，
取的中点，连接，则，且，
即点到的最短距离为，在直角中，可得，
所以与平面所成的最大角的正切值为，故C正确；
D、当时，可得，可得点为线段的中点，
即点为正方体的中心，如图所示：
设四棱锥的外接球的球心为，且半径为，，连接，
因为正方体的棱长为1，可得，
在直角中，可得，解得，
所以四棱锥的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
当，得到点在线段上运动，结合平面平面即可判断A；当时，得到点在线段上运动，根据为边长为的等边三角形，过点作即可判断B；当时，得到点在线段上运动，连接，证得平面，得到是直线与平面所成的角，求得到的最短距离，在直角中即可判断C；当时，得到在线段的中点，结合球的截面性质，求得外接球的半径即可判断D.
34．B,C,D
解：A、由题意知，则不可能关于原点对称，故A错误；
B、函数周期为，则是以为周期的函数，故B正确；
C、当时，则有多条对称轴，故C正确；
D、设单调递增，
单调递增，根据复合函数的单调性可得：在单调递增，故D正确.
故答案为：BCD.
根据y的取值情况即可判断A；根据正弦余弦函数周期性即可判断B；根据圆的特性即可判断C；根据复合函数单调性即可判断D.
35．B,C,D
A、解：由题意可得：，，
则，
，则不是函数的一条对称轴，故A错误；
B、，
则为周期为的函数，故B正确；
C、，
令，
则，
当时，取到最大值为，即，故C正确；
D、因为，则，
则
，故D正确.
故答案为：BCD.
根据题意分别求出，，则，代入即可判断A；由即可判断B；利用换元法令即可判断C；
化简即可判断D.
36．A,B,D
解：由题意，对于A：因为三角形三边关系有：，
则，又，
所以，所以A选项对；
对于B：因为，
变形化简得，
所以：，
则，所以此三角形唯一，所以B选项对；
C选项：因为
则
所以或，所以三角形不唯一，所以C选项错.
D选项：因为，
所以，利用三角形的边角关系判断两边及其夹角确定，则三角形唯一确定，所以D选项对.
故答案为：ABD
对于A，利用三角形的边角关系：两边之和与两边之差与第三边的关系即可判断；对于B，根据正弦定理和余弦定理将式子进行化简即可判断；对于C，利用三角形面积公式化简：，此时得到角有两个值即可判断；对于D，根据内角和即可判断D.
37．A,C,D
解：A、由题意可知：小正方形的边长为，大正方形的边长为，
则每个直角三角形的面积为，故A正确；
B、设直角三角形的边长分别为（其中），由，可得，
则，
联立方程组，解得，
又因为，所以，故B不正确；
C、由，所以，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
由题意可得：小正方形的边长为，大正方形的边长为即可判断A；设直角三角形的边长分别为，求得，结合三角的定义和三角恒等变换的公式即可判断CD.
38．A,C,D
对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，A符合题意；
对于B：圆台的截面均不可能是正方形，B不符合题意；
对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，C符合题意；
对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中，
取的中点，的中点，取的中点，的中点，
依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，D符合题意；
故答案为：ACD
利用已知条件结合长方体、圆台、四棱台、正四面体的结构特征和截面的形状是正方形的条件，进而得出原来的几何体。
39．A,B,C
解：对于A，设，因为所以，A选项正确；
对于B，，B选项正确；
对于C，由，设
，
当时， 的最大值为2 ，C选项正确；
对于D，当时，满足，D选项错误。
故选：ABC.
本题主要考查复数代数形式的混合运算以及共轭复数的相关知识运算，根据共轭复数及乘法计算判断A，B选项，应用特殊值法判断D选项，结合模长公式判断C选项.
40．A,C
解：由题意，易知、、、四点共面，平面平面，
平面平面，当平面平面，，
由题意得：，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
因为，所以，则可得，
即，同理可得，当重合于点时，如图所示：
在中，，
又因为，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，即，，，
故和不垂直，则不垂直于平面，故B错误；
在三棱锥中，，均为直角三角形，所以为外接球直径，
则外接球半径，则三棱锥外接球表面积为，故C正确；
，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
平面平面，过点作，
因为是边长为的等边三角形，所以可得，
由面面垂直性质定理可知：平面，即为四棱锥的高，
所以，故D错误.
故答案为：AC.
利用面面平行的判定和性质定理即可判断A； 利用反证法即可判断B；根据题意判断出外接球的球心为的中点，可求出外接球半径，求外接球的表面积即可判断C；利用平面平面，可求得四棱锥的高，计算体积即可判断D.
41．A,B,D
解：A、根据三角形的三边关系可得，则，
因为，所以，故A正确；
B、由，根据正弦定理可得，
即，即，即，，
解得，即三角形唯一，故B正确；
C、，解得，则或，即三角形不唯一，故C错误；
D、，故， 两边及其夹角，此三角形唯一，故D正确.
故答案为：ABD.
根据两边之和与两边之差与第三边的关系即可判断A；利用正弦和余弦定理实现边角互化即可判断B；根据面积公式可得，进而得角有两个值，即可判断C，根据内角和即可判断D.
42．A,D
解：由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上，
由，则椭圆的离心率，故A正确；
B、根据椭圆的定义，的周长为，故B错误；
C、取为椭圆的上顶点，则，
则为钝角，即椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；
D、当时，设，，
则，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
先确定椭圆的方程，再根据方程结合椭圆的性质分析判断即可.
43．A,B,D
解：A、由频率分布直方图各矩形面积之和为，可得
，解得，故A正确；
B、用电量不超过的频率为，
则户数为，故B正确；
C、平均数为
设中位数为，则在第三组，
即，解得，
故平均数大于中位数，故C错误；
D、设第百分位数为，则在第三组，
，解得，故D正确.
故答案为：ABD.
由频率分布直方图各矩形面积之和为列式求解即可判断A；计算前三组的频率即可判断B；计算平均数和中位数作比较即可判断C；设第百分位数为，则在第三组，由计算即可判断D.
44．A,C,D
解：对于A：由题意知，，又平面，
∴平面，由平面，得；
当为的中点时，
∵四边形为正方形，为的中点，
∴，由平面，
∴平面，故A正确；
对于B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于，
此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值，
∵，
∴的周长的最小值为，故B错误；
对于C：易知中，，取的中点，过作平面，如图
，
则三棱锥的外接球的球心必在上，且，
∴球的半径为，其体积为，故C正确；
对于D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，设，
∴，
易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
∴，
当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为，
则，即，故D正确.
故选：ACD
本题为立体几何综合应用题，结合线面垂直的判定定理与性质，三点共线定理，球相切公式和空间向量法求解面面角等进行判断求解。
45．A,D
解：对于A，由题意得，，
，，
所以，所以，故A正确；
对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为，圆台容球的轴截面如图所示，
因为，
所以，
所以，且，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以
，
，
所以，
所以，故B错误；
对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为、和，圆锥容球的轴截面如图所示，
由，得，
整理得即①，
因为，
所以，故，
所以，所以，则②，
由①②得即，整理得，
由①得，
所以，，
所以，
所以，故C错误；
对于D，由题意可知，由C得，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：AD.
由已知条件结合球和圆柱的体积公式、表面积公式，从而依次求出、、、，则判断出选项A；设圆台上下底面的半径和母线长分别为，由三角形全等得，求证得，再由台体体积公式计算得，则由台体表面积公式得，从而得出和，则判断出选项B；设圆锥的底面半径、高和母线长为、和，由得①，由和得②，从而得出和，再由锥体体积公式和表面积公式，从而求出和，进而得出，则判断出选项C；由选项C结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出关系正确的选项.
46．A,D
解：
对于A，抛掷一枚质地均匀的骰子，其可能的结果有6种：1， 2， 3， 4， 5， 6。其中，掷出的点数为1或2的情况有2种，所以小明获胜的概率为， 而掷出的点数不是1或2（即3， 4， 5， 6）的情况有4种，所以小红获胜的概率为， 由于两者获胜的概率不相等，所以A选项中的游戏是不公平的。
对于B， 抛掷骰子两次，每次都有6种可能的结果，所以总共有种可能的结果。其中，掷出的点数之和为奇数的情况可以通过列举法或组合法得出有18种，， 所以小明获胜的概率为， 而掷出的点数之和为偶数（即非奇数）的情况也有18种，所以小红获胜的概率也为。 两者获胜的概率相等，所以B选项中的游戏是公平的。
对于C，抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6的情况有5种， 所以小明获胜的概率为， 掷出的点数之和为8的情况也有5种， 所以小红获胜的概率为。 两者获胜的概率相等，所以C选项中的游戏是公平的。
对于D，抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数的情况 有4种 ， 所以小明获胜的概率为， 掷出的点数都相同的情况有6种（即三次都掷出1， 2， 3， 4， 5， 6中的任意一个），所以小红获胜的概率为。 虽然两者获胜的概率不相等，但由于存在“否则重新抛掷”的规则，这实际上是一个无限重复的游戏，直到出现明确的胜负为止。然而，从单次抛掷的角度来看，两者的获胜概率是不等的。但在这个特定的问题中，我们关注的是单次抛掷的公平性，而不是整个游戏的长期公平性（因为存在重新抛掷的规则）。因此，从单次抛掷的角度来看，D选项中的游戏也是不公平的。但需要注意的是，这种不公平性在游戏的长期运行中可能会被重新抛掷的规则所缓解或消除（尽管这超出了本题的考察范围）。然而，在本题的语境下，我们主要关注单次抛掷的公平性，所以D选项也是不公平的。但严格来说，D选项的不公平性主要体现在单次抛掷的概率不等上，而不是游戏规则的本质上。
故选：AD.
本题主要考查古典概率及其概率计算公式，对于每个选项，由古典概型概率计算公式计算各自获胜的概率即可求解.
47．B,C
解：A、因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由于平面与平面不平行，要使平面，则，
又因为点E为线段BC上的动点，点F在线段PC（不与端点重合）上，则不平行，故A错误；
B、连接，如图所示：
因为，，所以，
梯形的面积，故，
又三棱锥与三棱锥的高均为，
故，故B正确；
C、取的中点，连接，过点作⊥交于点，如图所示：
因为，所以，
又，所以四边形为平行四边形，所以，故⊥，
因为⊥底面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
又，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
连接，则即为AE与平面PBC所成角，
因为，所以为等腰直角三角形，，
故当与重合时，最大，最大为，
又对称性可知，当与或重合时，最小，
由勾股定理得，故，
故，所以AE与平面PBC所成角的范围为，故C正确；
D、因为，故过点A，且与直线AP和BC所成角均为60°的直线条数等价于过点A，且与直线AP和AD所成角均为60°的直线条数，
以为邻边作正四棱锥，且侧面均为等边三角形，可以作两个，
故过点A，且与直线AP和BC所成角均为60°的直线可作2条，D错误.
故选：BC
证明出线面平行，要想平面，则，而两者不会平行即可判断A；B选项，求出与梯形的面积之比，从而得到体积之比即可判断B；作出辅助线，证明出线面垂直，得到即为AE与平面PBC所成角，结合图形，得到线面角的最大和最小的情况，并求出范围即可判断C；转化为过点A，且与直线AP和AD所成角均为60°的直线条数，结合可做出两个符合要求的正四棱锥即可判断D.
48．A,B,D
解：如图，
B、记为的中点，棱的中点，
取线段上的点使得，设正方体的中心为，则和，和，和分别关于点对称.
所以在平面内，而，故，所以在平面内.
所以平面截该正方体的截面就是为中心的六边形，
所以一定在平面内，故B正确；
A、B中已经证明，同理有，所以.
因为，所以，.
从而，.
由于，，
故四边形和都为等腰梯形，从而，.
这表明线段和互相平分且长度相等，所以四边形是矩形，故，故A正确；
C、由于四边形和都是等腰梯形，且上底均为，下底均为，
腰长均为，故它们的高都等于.
所以它们的面积都等于.
所以截面的面积.
当时，，故C错误；
D、因为，且在平面内，
所以到平面的距离不超过.
当时，分别是各自所在棱的中点，从而.
而，所以点和点到三点的距离两两相等.
所以点和点在平面的投影同样满足到三点的距离两两相等，
所以点和点在平面的投影都是的外心，
所以由点和点的投影是同一点，知垂直于平面.
从而由在平面内，知点到平面的距离就是的长，即.
所以，点到平面的距离的最大值是，故D正确.
故答案为：ABD.
记为的中点，取线段上的点使得，正方体的中心为，然后说明平面截该正方体的截面即为六边形，然后根据正方体的对称性和勾股定理，逐项验证即可.
49．B,C,D
解：A、在图5中，建立直角坐标系，如图所示：
设，
则，，，，
所以，
则，
与不垂直，故A错误；
B、由图知：，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，得，令得，，
即，
又由，
所以直线与平面所成角的正弦值为，故B正确；
C、在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转，坐标由变为，
所以结合图形可知：点的坐标为点的坐标为点的坐标为
则，故C正确；
D、由图知：，，，，，
则，
由E为线段上的动点（包含端点），则可设，，
所以，
则
令，，则，
由，得
即
所以异面直线与所成角余弦值的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.
解：连接，如图所示，
直三棱柱中，，
为正方形，，
，平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；
设，，，
，
，
，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；
当是的中点时，，，，
，
，，
，设点到平面的距离为，由，
得，，
直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，
则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确.
故答案为：ABD
利用线面垂直去求证出线线垂直，进行判断选项A；利用等体积法，根据底面积和高求解出体积，即可判断选项B；将变成求点和点到点的距离之和，接着进行计算化简，即可判断选项C；利用构造直角三角形求截面半径，求出体积即可判断选项D.