【浙江省专用】2024-2025学年高一数学下册期末真题专项练习 03 填空题（含答案+解析）

【浙江省专用】2024-2025学年高一数学下册期末真题专项练习
03 填空题
一、填空题
1．（2024高一下·金华期末）已知函数，则　 　.
2．（2024高一下·杭州期末）已知集合．若，则实数　 　．
3．（2024高一下·温州期末）已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为　 　．
4．（2024高一下·杭州期末）已知，则的最小值为　 　．
5．（2024高一下·台州期末）某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是　 　.
6．（2024高一下·杭州期末）　 　.
7．（2023高一下·杭州期末） 将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为　 　.
8．（2024高一下·温州期末）设样本空间含有等可能的样本点，，则　 　．
9．（2024高一下·台州期末）已知正四棱台，下底面边长为，侧面与下底面所成二面角的大小为，则该正四棱台的体积可能为　 　（写出一个即可）
10．（2024高一下·绍兴期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是　 　．
11．（2024高一下·绍兴期末）已知向量与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为　 　．
12．（2024高一下·余姚期末）已知复数（i为虚数单位），则　 　.
13．（2024高一下·慈溪期末）总体由编号为，，，，的个个体组成．利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字即开始由左到右依次选取两个数字作为个体的编号，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第个个体的编号为　 　．
14．（2024高一下·慈溪期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东　 　．
15．（2024高一下·慈溪期末）设，是一个随机试验中的两个事件，记，为事件，的对立事件．若，，，则　 　．
16．（2023高一下·杭州期末） 对于函数，若存在，使得，则称为函数的“不动点”.若存在，使得，则称为函数的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即.经研究发现：若函数为增函数，则.设函数，若存在使成立，则的取值范围是　 　.
17．（2024高一下·宁波期末）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是　 　．
18．（2024高一下·台州期末）已知线段为的两条内角平分线，若，且，则的值为　 　.
19．（2024高一下·温州期末）如图，在中，，点P在线段上，若的面积为，，则的最小值为　 　.
20．（2024高一下·衢州期末）已知定义在上的函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则的解集为　 　.
21．（2024高一下·杭州期末）已知是第三象限角，则　 　.
22．（2024高一下·奉化期末）如图，相距米的，之间是一条小路（，可看作两条平行直线），为测量点到的距离（，在点的同侧），某研究小组在一侧东边选择点，作为测量起始位置，与交于点，从点出发向西走米到达，测得，继续向西走米到达点，与交于点，继续向西走米到达点，测得，则　 　.
23．（2023高一下·宁波期末）已知等差数列，，，则　 　.
24．（2023高一下·衢州期末）已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，，，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式　 　.
25．（2023高一下·衢州期末） 设，则函数的最小值为　 　
26．（2023高一下·金华期末）已知，则　 　.
27．（2023高一下·温州期末）如图，四边形为筝形有一条对角线所在直线为对称轴的四边形，满足，的中点为，，则筝形的面积取到最大值时，边长为　 　 ．
28．（2023·杭州期末）对于函数，若存在，使得，则称为函数的“不动点”若存在，使得，则称为函数的“稳定点”记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即，经研究发现：若函数为增函数，则设函数，若存在使成立，则的取值范围是　 　．
29．（2023·杭州期末）将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为　 　．
30．（2024高一下·余姚期末）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为　 　．
31．（2023高一下·湖州期末）在锐角三角形ABC中，已知，则　 　，的最小值是　 　.
32．（2023高一下·宁波期末）已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为　 　.
33．（2023高一下·湖州期末）对任意的，不等式恒成立，求正实数t的取值范围是　 　.（其中是自然对数的底数）
34．（2024高一下·温州期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为　 　．
35．（2024高一下·长沙期末）正四棱锥的外接球半径为，内切球半径为，则的最小值为　 　．
答案解析部分
1．2
解：函数，
则，.
故答案为：2.
根据函数的解析式代值求值即可.
2．
解： 集合，若，
则4必定在集合中，
当时，解得或，
当时，，则，与题意不符，舍去；
当时，，则，符合题意，所以，
当时，解得，此时，不满足，舍去，
综上，即实数的值为.
故答案为：.
分类讨论求解参数即可.
3．12
解：易知也是方程的一个根，
由韦达定理可得，解得.
故答案为：12.
根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可.
4．
解：易知，由，可得，即，
则，当且仅当时等号成立，
故当时，取得最小值.
故答案为：.
利用对数运算结合基本不等式求最小值即可.
5．168
解：易知男、女生所占的频率分别为、，
则抽取的男、女生人数分别为、，
即总样本的平均数.
故答案为：168.
根据分层抽样求各层人数，结合平均数公式求解即可.
6．9
解：原式可化为.
故答案为：9.
根据根式的化简与对数的运算法则，从而计算得出结果.
7．
解：将曲线上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，可得，
因为与的图象相同，
所以x+φ=x+π+2kπ，k∈Z，
即φ=π+2kπ，k∈Z，
因为φ＞0，所以当k=0时，φ取得最小值，
φ的最小值为π．
故答案为：π．
本题主要考查三角函数的图象与性质，先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果．
8．2
解：由题意可知：，，
则，
，
故.
故答案为：2.
由题意利用列举法求，代入计算即可.
9．（介于区间内都可以，答案不唯一）.
解：延长棱台母线交于点，过作平面于，连接，如图所示：
则，因为，所以，，
又因为棱台的高度不确定，所以.
故答案为：（答案不唯一）.
延长棱台母线交于点，过作平面于，连接根据二面角的平面角的大小计算出高，利用柱体、锥体和台体之间的关系求解即可.
10．
解：记A=“两枚骰子的点数都为奇数”，
抛掷两枚质地均匀的骰子，可能结果有个，
其中事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共个，
所以.
故答案为：.
根据古典概型的概率公式计算即可.
11．
解： 向量与的夹角为，，
则，
，即，
故向量在向量上的投影向量的模为：.
故答案为：.
利用向量数量积结合投影向量的定义求解即可.
12．
由题意可得： .
故答案为：.
根据复数的模长公式运算求解.
13．11
解：根据随机数表法可知，所选编号依次为：08，02，14，07，04，11，
则第6个个体编号为：11.
故答案为：11.
根据随机数表根据规则要求依次选取求解即可.
14．
解：设海警船的航行方向是北偏东，
则，，，
在中，由正弦定理可得，即，
因为，所以，解得，
故答案为：.
设海警船的航行方向是北偏东，根据已知条件，利用正弦定理求得，即可求解.
15．0.3
解：因为，为事件，的对立事件 ，所以，为互斥事件，
即，，
又因为①，②，
所以①②相加得，则，
即，则.
故答案为：0.3.
根据对立事件先求得，再根据得到，结合，求出，求解即可.
16．
解：因为是增函数，
所以等价于，即，
所以a=b-b2，
而a=b-b2在上单调递增，上单调递减，
所以，
而当b=0时，a=0；当b=1时，a=0，即amin=0，
所以a的取值范围为．
故答案为：．
先判断是增函数，再根据题意可得，代入可得a=b-b2，再结合二次函数的性质即可求解a的取值范围．
17．
解：易知、，，
设，则，则，
易知圆的圆心为，半径为，则，又因为，
所以，则.
故答案为：.
结合切线的性质与二倍角公式可将求的最小值转化为求的最大值，结合三角函数定义以及点到直线距离公式计算即可.
18．
解：若，
则，解得，
因为，
所以，
即，则，
在中应用正弦定理，，
所以，又因为，
所以，即，
即，整理可得，
则.
故答案为：.
可以先利用数量积定义得到角A，再利用向量的数量积定义和正弦定理以及三角变换求解即可.
19．
解：由于C、P、B三点共线，且，所以
由于若的面积为，，则，所以，
，，当且仅当时，等号成立。
所以的最小值为.
故填：.
先通过三角形面积公式、三点共线结论得出以及，再结合模长公式以及基本不等式即可求解.
20．
解：函数为奇函数，
函数关于中心对称，
∴，
∵在上单调递增，
在单调递增，
从而可化为，
，
即
故答案为
本题结合函数的对称性及单调性来求解不等式.
21．
解：因为，
且为第三象限角，
所以，
所以
.
故答案为：.
利用两角差的正弦公式得出，再结合诱导公式和同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，从而得出的值.
22．
由题意知相距米的，之间是一条小路，
所以，，，，
所以，则，
在中根据正弦定理知，解得，
由，得到.
故答案为：
本题考查利用正弦定理解三角形的实际应用.根据题意可知相距米的，之间是一条小路，利用两角差的正弦公式可求出，再利用正弦定理可求出，再利用正弦的定义可求出距离.
23．1
设等差数列公差为，由题意知 ，
，，，
.
故答案为：1
由题意先求出公差，再求出，，，结合两角和差的余弦公式代入求解 .
24．（答案不唯一）
因为为R上的奇函数，所以又为偶函数即，由①②可得所以是周期为8的周期函数。
对任意的，，都有可以判断出在区间（0，2）上单调递减，不妨设
函数的最小正周期为函数在区间（0，2）上单调递减，所以A<0，不妨取-1，所以
（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
根据奇偶性可判断为周期函数，再结合单调性可利用正、余函数的性质即可得出.
25．
函数当且仅当时，即
时，等号成立，函数取得最小值.
故答案为：
利用基本不等式即可求解.
26．
，
故答案为：
利用正弦、余弦的二倍角公式、两角差的余弦公式化简求值，可得m的值.
27．
解：以点O为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系.
设 ，
则 .
因为 ，所以 ，
即 ，当且仅当 时，取等号.
筝形ABCD的面积为
即当时，筝形ABCD的面积最大.
此时AB边长为 .
故答案为：.
建立坐标系，易得 ，利用向量的求模公式可得 ，结合基本不等式得出AB边长.
28．
由函数 是增函数，得 等价于f(b)=b，则，即
，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以amax =，
又因为当b=0时，a=0；
当b=1时，a=0，即amin=0，
即可得a的取值范围为
故答案为：.
先判断出 是增函数，再根据题意可得f(b)=b，代入可得，再结合二次函数的性质即可求解出 的取值范围 .
29．
将曲线上所有点向左平移个单位， 可得，即与 的图象相同，得，
由φ > 0，得φ的最小值为π.
故答案为： π.
先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，再由两函数图象相同列方程可得，进而求出 的最小值 .
30．
解：如图：
连接交与点，设正方形边长为，，则，
则正方形面积为：，四棱锥的侧面积为：，由题意得，即，解得，画出折叠后的立体图形．如图：
设重合点为，该四棱锥为正四棱锥，球心应在的连线上，设为，设外接球半径为，则，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面积为：
故答案为.
第一步连接交与点，利用四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求出正方形的边长，接着画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理进行求解，即可得到结果.
本题考查图形折叠前后的变换关系，四棱锥的外接球半径的求法，属于中档题
31．3；
，由正弦定理知，
，， 为锐角三角形， ，
，又，
，
当且仅当，即时取等号。
故答案为：3；
由已知条件先利用正弦定理将边化角，再利用余弦定理结合三角恒等变换求 ，利用第一问结合三角关系将三个角转化为一个角利用基本不等式求最小值。
32．
如图
设，，，则，
，即
，点在线段上
，，
设，则，，，
，
求的最大值即求最大值，
利用等面积法，，
又，当且仅当等号成立，
，
的最大值为.
故答案为：
设，，，由条件得点在线段上，，可化简，再利用等面积法得，进而求最小值即.
33．
，
令，则只需证明对任意的 ，，
与在R上单调递增，在R上单调递增，只需证明，当显然不成立，，解得。
故答案为
构造函数，进而将题目转化为 对任意的 ，利用函数单调性进行求解。
34．4
解：设棱切球的球心为，与棱分别切于点，如图所示：
则，
由题意可得：，解得，
则.
故答案为：4.
设球心以及相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，棱长关系分析运算即可.
35．
解：如图，
设正四棱锥底面边长为，高为，底面的中心为，连接，
则，，，
设外接球球心为，内切球球心为，则，在上，
因为，所以，
在中，，化简得，
因为，所以，
则，
令，得，
令，可得，
令，得，（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故答案为：.
设出底面边长和高，结合正四棱锥外接球与内切球性质用底面边长及高表示出外接球半径与内切球半径，作商，多次换元后结合基本不等式即可得解.