【中考模拟题汇编】查漏补缺：图形的相似-2025年中考数学（含答案）

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【中考模拟题汇编】查漏补缺：图形的相似-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 桥东区模拟）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A与直尺的0刻度重合且在数轴上表示的数是﹣2，则点B在数轴上表示的数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025 白云区模拟）如图，在5×4的正方形网格中，点A，C是在网格处，线段AC与网格线交于点B点，则AB：BC等于（　　）
A．1：2 B． C． D．2：5
3．（2025 北碚区模拟）若两个相似三角形的周长比是2：3，则这两个相似三角形的面积比是（　　）
A．2：3 B．2：6 C． D．4：9
4．（2025 九龙坡区校级二模）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若AA′＝3OA′，若△A′B′C′的面积为3，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．16
5．（2025 龙泉市二模）如图，在直角坐标系中，△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3．则点A（2，﹣1）的对应点C的坐标为（　　）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（﹣3，6） D．（3，﹣6）
6．（2025 河南模拟）手工课上，小明想借助如图所示的四边形纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，经测量可得这张四边形纸片中AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，则该圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 南岸区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OD的中点，连接CE，过点E作EG⊥EC，EG与AC，AB分别交于点F，G，若EC＝EG，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2025 西城区校级一模）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且BD＝2CE．以DE为边作等边△DEF，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点H．给出下面四个结论：
①∠BED＝∠AHF；
②AD DF＝BE DG；
③若ED⊥AB，则DF⊥AC；
④若CE：BE＝1：2，则四边形DBEF是菱形．
上述结论中．所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共6小题）
9．（2025 城中区模拟）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为 　 　 ．
10．（2025 密云区一模）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为E，延长DE交AB于F，AE＝2，DE＝4，则CD的长为 　 　 ．
11．（2025 建昌县二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF依次交l1，l2，l3于点D，E，F，若，DE＝9，则EF的长为　 　 ．
12．（2025 房山区二模）在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，若AB＝3.5，CD＝6，BD＝3．则DE的长为 　 　 ．
13．（2025 上虞区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是边DC的三等分点，连结BE，AF，AF交BE于点G，交BC延长线于点H．若S△EFG＝5，则S△FCH＝ 　 　 ．
14．（2025 温州模拟）如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，BF⊥AE于点F．以AE为边作矩形AEHG，使得HG经过点D，EH交DC于点M．若△BFE与△ECM的面积之比为144：25，AG＝12，则GH的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 碧江区 模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2，点E是BC边上一点（且点E不与点B、C重合），连接AE．过点C作CD⊥AE，交边AB于点D，交线段AE于点F．
（1）求BC的长；
（2）当△CAF∽△ABC时，求AD的长；
（3）连接DE，当四边形ACED为轴对称图形时，直接写出BD的长．
16．（2025 蓝田县三模）如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线DE交CB的延长线于点E．
（1）求证：AB∥DE；
（2）连接AD，如果AB＝10，AC＝6，求DE的长．
17．（2025 洪山区模拟）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC和BD的交点，E为线段OB上一点，F为线段OD上一点，连接AE，CE，FC，AF．若　 　 ，则四边形AECF是平行四边形．请从①AE⊥BD，CF⊥BD；②AE＝CF；③OE：OB＝1：3，FD：OD＝2：3这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
18．（2025 上城区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使DE＝EF．
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE＝α，∠AEM＝β．
①求∠DEM（用含α，β的代数式表示）；
②若β＝90°﹣2α，求证：2DE2＝DM DA．
19．（2025 南岸区模拟）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且AD＝AB．AE平分∠BAC，交BC于点F，DE∥AB，DE交BC于点G．DH平分∠CDE，交BC于点H．
（1）求证：DH∥AE；
（2）如图2，当EG＝GD，∠DHG＝45°时，用等式表示AC与BC之间的数量关系，并证明；
（3）当∠BAD＝60°时，连接EH，若△DEH为直角三角形，直接写出的值．
20．（2025 淮安区模拟）【初步感知】如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B时，求证：．
【探索发现】如图2，在△ABC中，∠ABC＝50°，AB＝4，BC＝3，点F是CB延长线上的一点，且BF＝BC，在FC下方作∠CFG＝∠ABC，将射线CA绕点C逆时针旋转130°，交射线FG于点G，求FG的长．
【尝试应用】如图3，在△ABC中，∠A＞∠C，E为AC边上一点，连接BE，∠ABE＝∠C，tanC，且，求的值．
【拓展提升】如图4，已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在边AB上，且AE＝mEB，连结CE交对角线BD于F，点G在线段CF上，连结DG，GB，若∠DGB＝120°，GB＝n，则DG＝　 　 ．（用含有m、n的式子表示）
21．（2025 广信区校级模拟）【综合与实践】
【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出△ADE≌△ABE′．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究．
【例题延伸】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，使AB与AD重合，试求BE，EF，DF之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点F为边BC延长线上一点，连接DF，过点B作BH⊥DF于点H，交CD于点E．
①求的值；
②求cos∠EFC的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段DF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若，请你求出MN的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C A A D D
一．选择题（共8小题）
1．（2025 桥东区模拟）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A与直尺的0刻度重合且在数轴上表示的数是﹣2，则点B在数轴上表示的数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：在数轴上数8对应的点为D，在直尺上刻度3对应的点为C点，刻度5对应的点为D点，如图，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即，
解得OB＝4，
∴点B在数轴上表示的数是4．
故选：C．
2．（2025 白云区模拟）如图，在5×4的正方形网格中，点A，C是在网格处，线段AC与网格线交于点B点，则AB：BC等于（　　）
A．1：2 B． C． D．2：5
【解答】解：取格点D、E，如图，
∵AD∥CE，
∴△ADE∽△CEB，
∴，
即AB：BC＝1：2．
故选：A．
3．（2025 北碚区模拟）若两个相似三角形的周长比是2：3，则这两个相似三角形的面积比是（　　）
A．2：3 B．2：6 C． D．4：9
【解答】解：根据题意知：两个相似三角形的相似比为2：3，而面积比为相似比的平方，所以面积比是4：9．故选：D．
4．（2025 九龙坡区校级二模）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若AA′＝3OA′，若△A′B′C′的面积为3，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．16
【解答】解：∵AA′＝3OA′，
∴2．
∵△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△A′B′C′，且AC∥AA′．
∴22．
∵△A′B′C′的面积为3，
∴△ABC的面积为12，
故选：C．
5．（2025 龙泉市二模）如图，在直角坐标系中，△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3．则点A（2，﹣1）的对应点C的坐标为（　　）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（﹣3，6） D．（3，﹣6）
【解答】解：∵△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3，
而A（2，﹣1），
∴点A（2，﹣1）的对应点C的坐标为[﹣3×2，﹣3×（﹣1）]，
即C（﹣6，3）．
故选：A．
6．（2025 河南模拟）手工课上，小明想借助如图所示的四边形纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，经测量可得这张四边形纸片中AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，则该圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接AC，作∠ABC的平分线，交AC于点O，作OH⊥BC于H，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，
∴AC平分∠BAD和∠BCD，
∵OB平分∠ABC，
∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，
∴⊙O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH，
∵∠ABC＝90°，
∴，
∴△BOH为等腰直角三角形，
∴OH＝BH，
设OH＝r cm，则BH＝r cm，CH＝BC﹣BH＝（8﹣r）cm，
∴∠ABC＝90°，OH⊥BC，
∴OH∥AB，
∴△COH∽△CAB，
∴，
即，
∴，
即⊙O的半径为，
∴圆形纸片的半径为，
故选：A．
7．（2025 南岸区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OD的中点，连接CE，过点E作EG⊥EC，EG与AC，AB分别交于点F，G，若EC＝EG，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：设OF＝m．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，
∵EC⊥EG，
∴∠FEO+∠CEO＝90°，∠CEO+∠OCE＝90°，
∴∠FEO＝∠ECO，
∵E是OD的中点，
∴OE＝ED，
∵∠EOF＝∠EOC＝90°，
∴△EOF∽△COE，
∴，
∴OE＝2m，OC＝4m，
∴EG＝EC2m，EFm，
∴FG＝EG﹣EFm，
∴．
故选：D．
8．（2025 西城区校级一模）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且BD＝2CE．以DE为边作等边△DEF，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点H．给出下面四个结论：
①∠BED＝∠AHF；
②AD DF＝BE DG；
③若ED⊥AB，则DF⊥AC；
④若CE：BE＝1：2，则四边形DBEF是菱形．
上述结论中．所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DEF＝60°，
∵∠BEF＝∠BED+∠DEF＝∠ACB+∠CHE，
∴∠BED＝∠CHE，
∵∠AHF＝∠CHE，
∴∠BED＝∠AHF，故①正确；
∵∠B＝∠BAC＝∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠BED＝120°，∠BDE+∠ADG＝120°，
∴∠BED＝∠ADG，
∴△EDB∽△DGA，
∴，即AD DE＝BE DG，
∵DE＝DF，
∴AD DF＝BE DG；故②正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∴∠ADG＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AGD＝90°，即DF⊥AC，故③正确；
∵CE：BE＝1：2，
∴BE＝2CE，
∵BD＝2CE，
∴BE＝BE，
∵∠B＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD＝DE＝EF＝DF，
∴四边形DBEF是菱形，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．（2025 城中区模拟）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为 　1：9　 ．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，
∴△ABC的面积：△DEF的面积＝12：32＝1：9．
故答案为：1：9．
10．（2025 密云区一模）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为E，延长DE交AB于F，AE＝2，DE＝4，则CD的长为 　4　 ．
【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，∵AE＝2，DE＝4，
∴AD2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠CDE＝∠DAE，
∴Rt△CDE∽△Rt△DAE，
∴，
即，
解得CD＝4．
故答案为：4．
11．（2025 建昌县二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF依次交l1，l2，l3于点D，E，F，若，DE＝9，则EF的长为　6　 ．
【解答】解：根据平行线分线段成比例可得，
∵，
∴，
解得DF＝15，
∴EF＝DF﹣DE＝6，
故答案为：6．
12．（2025 房山区二模）在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，若AB＝3.5，CD＝6，BD＝3．则DE的长为 　　 ．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CED∽△CAB，
∴，
即，
解得DE．
故答案为：．
13．（2025 上虞区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是边DC的三等分点，连结BE，AF，AF交BE于点G，交BC延长线于点H．若S△EFG＝5，则S△FCH＝ 　10　 ．
【解答】解：连接BF，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点E，F是边DC的三等分点，
∴，
∵EF∥AB，
∴△GEF∽△GBA，
∴，（）2＝（）2，
∴S△BGF＝3S△GEF＝3×5＝15，S△GBA＝9S△GEF＝9×5＝45，
∵EF＝CF，
∴S△BCF＝S△BEF＝15+5＝20，
∴S四边形ABCF＝20+15+45＝80，
∵CF∥AB，
∴△HCF∽△HBA，
∴（）2＝（）2，
即，
∴S△HCF＝10．
故答案为：10．
14．（2025 温州模拟）如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，BF⊥AE于点F．以AE为边作矩形AEHG，使得HG经过点D，EH交DC于点M．若△BFE与△ECM的面积之比为144：25，AG＝12，则GH的长为 　　 ．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
则∠BAE+∠DAE＝90°，
在矩形AEHG中，∠EAG＝∠G＝90°，
则∠DAG+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵BF⊥AE，
∴∠BFA＝90°，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴AF＝AG＝12，BF＝DG，
∵正方形ABCD与矩形AEHG面积相等，
∴S△BEF+S△ECM＝S△DMH，
∵△BFE与△ECM的面积之比为144：25，
设S△ECM＝25a，S△BEF＝144a，
则S△DMH＝S△BEF+S△ECM＝169a，
∵BF∥EH，
∴∠FBE＝∠MEC，
∵∠BFE＝90°＝∠C，
∴△BFE∽﹣△ECM，
则；
∴∠EMC＝∠DMH，
∵∠H＝90°＝∠C，
∴△MHD∽△MCE，
则，
设EC＝5b，则HD＝13b，BF＝12b，
∴DG＝BF＝12b，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝12，BF＝12b，
则由勾股定理可得，
∴，
∵GH＝GD+DH＝12b+13b＝25b，
∴S矩形AEHG＝AG GH＝25b×12＝300b，
∵正方形ABCD与矩形AEHG面积相等，
∴300b＝144（b2+1），
即12b2﹣25b+12＝0，
∴，
解得或，
∵在正方形ABCD中，当点E与点C重合时，△ABC是等腰直角三角形，
则由BF⊥AE可知，此时AF＝BF，
∴当点E在边BC上时，AF＞BF，即12＞12b，
解得b＜1，
∴取，
则，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 碧江区 模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2，点E是BC边上一点（且点E不与点B、C重合），连接AE．过点C作CD⊥AE，交边AB于点D，交线段AE于点F．
（1）求BC的长；
（2）当△CAF∽△ABC时，求AD的长；
（3）连接DE，当四边形ACED为轴对称图形时，直接写出BD的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，
∴BC4；
（2）当△CAF∽△ABC时，
∴∠CAF＝∠B，
∵AE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝90°，∠ACF+∠FCB＝90°，
∴∠CAF＝∠FCB＝∠B，
∴AD＝BDAB；
（3）当四边形ACED为轴对称图形时，
①如图，以AE为对称轴时，
则AD＝AC＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝22；
②如图，以CD为对称轴时，
则∠ACD＝∠BCD，
∴点D到AC、BC的距离相等，
设点D到AC、BC的距离为h，点C到AB的距离为m，
∴，
∴，
∴BD，
综上，BD的长为22或
16．（2025 蓝田县三模）如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线DE交CB的延长线于点E．
（1）求证：AB∥DE；
（2）连接AD，如果AB＝10，AC＝6，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠BCA＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝90°，
∴OD⊥AB，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴AB∥DE；
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝6，
∴BC8，
∵AB为直径，
∴∠BDA＝90°，
∵∠DBA＝∠ACD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝ADAB＝5，
∵AB∥DE，
∴∠E＝∠ABC，∠EDB＝∠DBA＝45°，
而∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠EDB＝45°，
∴△EDB∽△DCA，
∴BE：AD＝BD：AC，
即BE：55：6，
解得BE，
∴CE＝BE+BC8，
∵∠EDB＝∠ECD，∠DEB＝∠CED，
∴△EDB∽△ECD，
∴DE：EC＝BE：DE，
即DE：：DE，
解得DE．
17．（2025 洪山区模拟）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC和BD的交点，E为线段OB上一点，F为线段OD上一点，连接AE，CE，FC，AF．若　OE：OB＝1：3，FD：OD＝2：3　 ，则四边形AECF是平行四边形．请从①AE⊥BD，CF⊥BD；②AE＝CF；③OE：OB＝1：3，FD：OD＝2：3这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
【解答】解：选择③OE：OB＝1：3，FD：OD＝2：3，
理由：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OBOD，
∵OE：OB＝1：3，FD：OD＝2：3，
∴OEOB，FDOD，
∴OF＝ODODOD，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：OE：OB＝1：3，FD：OD＝2：3．
注：答案不唯一．
18．（2025 上城区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使DE＝EF．
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE＝α，∠AEM＝β．
①求∠DEM（用含α，β的代数式表示）；
②若β＝90°﹣2α，求证：2DE2＝DM DA．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴DE＝BE＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝EF＝BE＝AE，
∴四边形ADBF为矩形；
（2）①解：∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠ADE＝α，
∴∠AED＝180°﹣2α，
∴∠DEM＝∠AED﹣∠AEM＝180°﹣2α﹣β；
②证明：∵β＝90°﹣2α，
∴∠DEM＝180°﹣2α﹣β＝180°﹣2α﹣（90°﹣2α）＝90°，
∵四边形ADBF为矩形，
∴∠DAF＝90°，
∵∠MDE＝∠FDA，∠DEM＝∠DAF，
∴△DEM∽△DAF，
∴DE：DA＝DM：DF，
∴DE DF＝DM DA，
而DF＝2DE，
∴2DE2＝DM DA．
19．（2025 南岸区模拟）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且AD＝AB．AE平分∠BAC，交BC于点F，DE∥AB，DE交BC于点G．DH平分∠CDE，交BC于点H．
（1）求证：DH∥AE；
（2）如图2，当EG＝GD，∠DHG＝45°时，用等式表示AC与BC之间的数量关系，并证明；
（3）当∠BAD＝60°时，连接EH，若△DEH为直角三角形，直接写出的值．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB＝∠CDE，
又∵AE平分∠BAC，DH平分∠CDE，
∴，∠EDH＝∠CDH，
∴∠CAE＝∠CDH，
∴DH∥AE；
（2）解：，证明如下：
连接BD交AE于点O，连接BE，如图，
∵DE∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵∠BAE＝∠CAE，
∴∠DEA＝∠CAE，
∴DE＝DA＝AB，
∴四边形ABED是菱形，
∴∠BOF＝90°，BO＝OD，BE∥AC，BE＝AD，
∴∠BED＝∠EDC，∠EBC＝∠C，
又∵EG＝GD，
∴△GEB≌△GDC（ASA），
∴BE＝CD，BG＝GC，
同理可得△GEF≌△GDH（ASA），
∴FG＝GH，
设EO＝OD＝a，
∵DH∥AE，
∴∠BFO＝∠GHD＝45°，∠BOF＝∠BDH＝90°，
∴BO＝OF＝a，BD＝DH＝2OB＝2a，
∴BFa，，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵DH∥AE，
∴△CDH∽△CAF，
∴，
即AF＝2DH＝4a，
∴AO＝AF﹣OF＝4a﹣a＝3a，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
连BD交AE于M，如图，
由（2）可得：∠BAF＝∠FAD＝∠AED＝30°，∠BMF＝∠BDH＝90°，BO＝OD，
①当∠DHE＝90°时，四边形DMEH是矩形，
∴DM＝EH，DE＝2DM＝2EH，HE∥DM，
∴∠EHG＝∠GBD，∠HEG＝∠GDB，
∴△EHG∽△DBG，
∴，
∴DGDEEH，
∴；
②当∠HED＝90°时，ED＝2DM，
∴，
又∵DH∥AE，
∴∠HDE＝∠MCD＝30°，
∴，
∴，
又∵AE∥DH，
∴△BMF∽△BDH，
∴，
即，
∴，
又∵AE∥DH，
∴∠FEG＝∠GDH，∠EFG＝∠GHD，
∴△GEF∽△GDH，
∴，
∴，
∴；
综上，△DEH为直角三角形时，的值为或．
20．（2025 淮安区模拟）【初步感知】如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B时，求证：．
【探索发现】如图2，在△ABC中，∠ABC＝50°，AB＝4，BC＝3，点F是CB延长线上的一点，且BF＝BC，在FC下方作∠CFG＝∠ABC，将射线CA绕点C逆时针旋转130°，交射线FG于点G，求FG的长．
【尝试应用】如图3，在△ABC中，∠A＞∠C，E为AC边上一点，连接BE，∠ABE＝∠C，tanC，且，求的值．
【拓展提升】如图4，已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在边AB上，且AE＝mEB，连结CE交对角线BD于F，点G在线段CF上，连结DG，GB，若∠DGB＝120°，GB＝n，则DG＝　n　 ．（用含有m、n的式子表示）
【解答】【初步感知】证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B，∠APD+∠ADP＝180°﹣∠A，∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，
∴∠ADP＝∠PBC，
∴△APD∽△BCP，
∴；
【探索发现】解：∵∠ABC＝50°，
∴∠A+∠ACB＝130°，
∵射线CA绕点C逆时针旋转130°，交射线FG于点G，
∴∠ACG＝130°，
∴∠ACB+∠FCG＝130°，
∴∠A＝∠FCG，
∵∠CFG＝∠ABC，
∴△ABC∽△CFG，
∴，
∵BF＝BC＝3，
∴CF＝6，
∴，
∴FG；
【尝试应用】解：如图1，
作AD⊥BC于D，
设CE＝3a，AE＝7a，则AC＝10a，
∵tanC，
∴sinC，cosC，
∴ADAC＝8a，CDAC＝6a，
∵∠ABE＝∠C，∠BAC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AE AC＝70a2，
∴BD，
∴BC＝CD+BD＝（6）a，
∴；
【拓展提升】解：如图2，
作GV∥BD，交CD于V，交BC于W，
∴△CGV∽△CFD，△CGW∽△CFB，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝BC，∠BCD＝∠A＝60°，
∴△BEF∽△DCG，△BCD是等边三角形，
∴，∠CDB＝∠CBD＝60°，
∴，∠DVG＝∠BWG＝120°，CV＝CW，
∴∠WBG+∠BGW＝60°，DV＝BW，
∵∠DGB＝120°，
∴∠BGW+∠DGV＝60°，
∴∠DGV＝∠WBG，
∴△DGV∽△GBW，
∴，
设GW＝x，GW＝（m+1）x，
∴，
∴DV x，
∴，
∴DG，
故答案为：n．
21．（2025 广信区校级模拟）【综合与实践】
【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出△ADE≌△ABE′．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究．
【例题延伸】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，使AB与AD重合，试求BE，EF，DF之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点F为边BC延长线上一点，连接DF，过点B作BH⊥DF于点H，交CD于点E．
①求的值；
②求cos∠EFC的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段DF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若，请你求出MN的长．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF；理由如下：
∵△ADG是△ABE绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠ADG＝∠B，AG＝AE，∠DAG＝∠BAE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴∠ADG＝90°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，
∴C，D，G三点共线．
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
（2）①∵BE⊥DF，
∴∠CBE+∠DFC＝90°．
在矩形ABCD中，∠DCF＝∠DCB＝90°，AB＝CD，
∴∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠DFC，
∴△BCE∽△DCF，
∴．
∵，
∴；
②∵△BCE∽△DCF，，
∴．
设CE＝4a，则CF＝3a，
在直角三角形CEF中，由勾股定理得：，
∴；
（3）由平移的性质可得MN∥DF，MN＝DF．
∵点H为BE的中点，
∴MN垂直平分BE，
∴BN＝NE．
∵，
∴设BN＝EN＝5x，CE＝4x，
在直角三角形CEN中，由勾股定理得：，
∴BC＝BN+CN＝8x．
∵BC＝8，
∴8x＝8，
解得x＝1，
∴CE＝4．
∵，设MN＝3y，
∴BE＝4y．
在Rt△EBC中，由勾股定理得：BE2＝BC2+CE2，
∴（4y）2＝42+82，
解得或（不合题意，舍去），
∴．
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