【中考模拟题汇编】查漏补缺：一元二次方程-2025年中考数学（含答案）

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【中考模拟题汇编】查漏补缺：一元二次方程-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淄川区二模）若一元二次方程4x2+12x﹣1147＝0的实数根为x1，x2，且x1＞x2，则3x1+x2的值为（　　）
A．22 B．28 C．34 D．40
2．（2025 道里区二模）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn+1，方程1☆x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
3．（2025 武汉模拟）已知a，b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根，则ab﹣a﹣b+1的值是（　　）
A． B．2 C． D．﹣2
4．（2025 邗江区模拟）对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
5．（2025 乌鲁木齐模拟）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025 乌鲁木齐模拟）为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，2022年共计投入3.4亿元，预计2024年投入4.9亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．3.4（1+x）2＝4.9
B．3.4x2＝5
C．3.4（1+x%）2＝4.9
D．3.4（1+x）2+3.4（1+x）＝4.9
7．（2025 库车市校级模拟）如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（　　）
A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B．（80+2x）（60+2x）＝6300
C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D．（80+2）（60+x）＝6300
8．（2025 西山区二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来.2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1 3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．80（1+2x）＝125
B．125（1+2x）＝80
C．80（1+x）2＝125
D．80（1+x）+80（1+x）2＝125
二．填空题（共8小题）
9．（2025 常州模拟）方程x2＝2x的根为 　 　 ．
10．（2025 斗门区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的m的值 　 　 ．（写出一个即可）
11．（2025 江都区一模）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
12．（2025 伊金霍洛旗三模）已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是 　 　 ．
13．（2025 重庆校级二模）随着夏季到来，西瓜进入丰收季，某地西瓜的供应量持续增加，导致市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，则每次降低的百分率是 　 　 ．
14．（2025 乌鲁木齐模拟）如图，某中学建立了一个长方形菜园ABCD，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为15m，另外三边用长为32m的栅栏围成．若要使菜园的面积达到120m2，则AB的长为　 　 ．
15．（2025 丰润区二模）一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，且mn（m+n）＝14，其中“□”表示一个数，则“□”为 　 　 ．
16．（2025 三原县二模）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文钱能买多少株椽？设用6210文钱能买x株椽，请列出符合题意的方程：　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 凉州区校级二模）解方程：
（1）（x﹣3）2＝4（x﹣3）；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
18．（2025 西城区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值．
19．（2025 岳麓区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两根，求下列两个代数式的值：
（1）；
（2）（x1+2）（x2+2）．
20．（2025 淄川区二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人．
（1）现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？
（2）若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？
21．（2025 海南模拟）综合与实践
请仔细阅读并完成相应任务．
材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540﹣1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”，韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系．
材料2：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：，．
材料3：已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根分别为p、q，求（p+1）（q+1）的值．
解：∵p、q是一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴p+q＝4，pq＝﹣3．
则（p+1）（q+1）＝pq+p+q+1＝﹣6．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个实数根为x1、x2，则x1+x2＝ 　 　 ，x1x2＝ 　 　 ；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个实数根为p、q，求p2+q2的值；
（3）提升：已知实数m、n满足2m2+4m﹣1＝0，2n2+4n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
22．（2025 淄博二模）某建筑公司承包了一项某旅游景点的改造工程，经公开招标，最终确定由甲和乙两个工程队共同参与改造．已知乙队的工作效率是甲队的，甲队先单独做了4天，之后甲队和乙队又合作了12天，正好如期完成了整项工程的改造．
（1）求甲队单独完成整项工程需要多少天？
（2）工程改造结束后，正逢五一假期，该旅游景点为吸引游客，发售了代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价30元，为合理定价，发售前进行了市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利12000元，且售价不超过55元，那么该纪念品的售价应为多少元？
【中考模拟题汇编】查漏补缺：一元二次方程-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B B B A B C
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淄川区二模）若一元二次方程4x2+12x﹣1147＝0的实数根为x1，x2，且x1＞x2，则3x1+x2的值为（　　）
A．22 B．28 C．34 D．40
【解答】解：∵一元二次方程4x2+12x﹣1147＝0的实数根为x1，x2，
∴x1+x23，
∵a＝4，b＝12，c＝﹣1147，
∴Δ＝b2﹣4ac＝122﹣4×4×（﹣1147）＝144+18352＝18496，
∴x，
∴x1，
∴3x1+x2＝2x1+x1+x2＝31﹣3＝28．
故选：B．
2．（2025 道里区二模）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn+1，方程1☆x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【解答】解：∵1☆x＝0，
∴x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，
∴没有实数根．
故选：C．
3．（2025 武汉模拟）已知a，b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根，则ab﹣a﹣b+1的值是（　　）
A． B．2 C． D．﹣2
【解答】解：由根与系数的关系可知：a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣1﹣（﹣2）+1＝﹣1+2+1＝2，
故选：B．
4．（2025 邗江区模拟）对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【解答】解：∵，
∴关于x的方程可化为x（x﹣k）﹣8＝0，即x2﹣kx﹣8＝0，
∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣8，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．（2025 乌鲁木齐模拟）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝16﹣4m＞0，
解得：m＜4，
又∵m为整数，
∴m的最大值为3．
故选：B．
6．（2025 乌鲁木齐模拟）为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，2022年共计投入3.4亿元，预计2024年投入4.9亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．3.4（1+x）2＝4.9
B．3.4x2＝5
C．3.4（1+x%）2＝4.9
D．3.4（1+x）2+3.4（1+x）＝4.9
【解答】解：由题意可得，
3.4（1+x）2＝4.9，
故选：A．
7．（2025 库车市校级模拟）如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（　　）
A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B．（80+2x）（60+2x）＝6300
C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D．（80+2）（60+x）＝6300
【解答】解：根据题意得（80+2x）（60+2x）＝6300，
故选：B．
8．（2025 西山区二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来.2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1 3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．80（1+2x）＝125
B．125（1+2x）＝80
C．80（1+x）2＝125
D．80（1+x）+80（1+x）2＝125
【解答】解：依题意得：80（1+x）2＝125．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 常州模拟）方程x2＝2x的根为 　x1＝0，x2＝2　 ．
【解答】解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0，或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
10．（2025 斗门区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的m的值 　1（答案不唯一）　 ．（写出一个即可）
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣8）2﹣4m＞0，
解得m＜16，
所以当m取1时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：1（答案不唯一）．
11．（2025 江都区一模）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≥﹣1且k≠0　 ．
【解答】解：根据题意，得，
解得：k≥﹣1且k≠0，
故答案为：k≥﹣1且k≠0．
12．（2025 伊金霍洛旗三模）已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是 　﹣3　 ．
【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣4x﹣3＝0，
根据根与系数的关系得到a+b2，ab，
所以a2b+ab2＝ab（a+b）2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（2025 重庆校级二模）随着夏季到来，西瓜进入丰收季，某地西瓜的供应量持续增加，导致市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，则每次降低的百分率是 　20%　 ．
【解答】解：设每次降低的百分率是x，
∵市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，
∴12.5×（1﹣x）2＝8，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍），
∴每次降低的百分率是20%，
故答案为：20%．
14．（2025 乌鲁木齐模拟）如图，某中学建立了一个长方形菜园ABCD，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为15m，另外三边用长为32m的栅栏围成．若要使菜园的面积达到120m2，则AB的长为　10m　 ．
【解答】解：设AB的长应是x m，则BC的长为（32﹣2x）m，
根据题意列方程得：x（32﹣2x）＝120，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得x1＝6，x2＝10，
当AB＝6时，BC＝32﹣2×6＝20＞15，不符合题意，舍去；
当AB＝10时，BC＝32﹣2×10＝12＜15，符合题意；
综上所述，AB的长为10m，
故答案为：10m．
15．（2025 丰润区二模）一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，且mn（m+n）＝14，其中“□”表示一个数，则“□”为 　7　 ．
【解答】解：由题意可知：m+n＝□，mn＝2，
又mn（m+n）＝14，
故2×□＝14，
解得□＝7．
故答案为：7．
16．（2025 三原县二模）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文钱能买多少株椽？设用6210文钱能买x株椽，请列出符合题意的方程：　3（x﹣1）　 ．
【解答】解：由题意得：3（x﹣1）．
故答案为：3（x﹣1）．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 凉州区校级二模）解方程：
（1）（x﹣3）2＝4（x﹣3）；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
【解答】解：（1）移项，得：（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0，
因式分解，得：（x﹣3）[（x﹣3）﹣4]＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝3，x2＝7；
（2）a＝2，b＝﹣5，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴，
解得：，．
18．（2025 西城区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝42﹣4（k﹣2）＞0，
解得k＜6，
所以k的取值范围为k＜6；
（2）∵Δ＝42﹣4（k﹣2）＝4（6﹣k）＞0，
而k为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴k＝2或5，
当k＝2时，Δ＝16，
∴x2±2，
解得x1＝﹣4，x2＝0，
当k＝5时，Δ＝4，
∴x2±1，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴k的值为2或5．
19．（2025 岳麓区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两根，求下列两个代数式的值：
（1）；
（2）（x1+2）（x2+2）．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1 x2，
∴（1）4；
（2）（x1+2）（x2+2）＝x1 x2+2（x1+x2）+4＝2+24＝7．
20．（2025 淄川区二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人．
（1）现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？
（2）若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？
【解答】解：（1）设每张门票应涨价x元，
根据题意，得：（10+x）（400﹣10x）＝6000，
解得x1＝10，x2＝20．
由题意可得：x＝10，
答：每张门票应涨价10元；
（2）设每张门票涨价m元，能获利W元，
∴W＝（10+m）（400﹣10m）＝﹣10m2+300m+4000，
∵﹣10＜0，
∴时，获利最多．
答：纯从经济角度看，每张门票涨价15元，才能使该项目获利最多．
21．（2025 海南模拟）综合与实践
请仔细阅读并完成相应任务．
材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540﹣1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”，韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系．
材料2：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：，．
材料3：已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根分别为p、q，求（p+1）（q+1）的值．
解：∵p、q是一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴p+q＝4，pq＝﹣3．
则（p+1）（q+1）＝pq+p+q+1＝﹣6．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个实数根为x1、x2，则x1+x2＝ 　﹣2　 ，x1x2＝ 　　 ；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个实数根为p、q，求p2+q2的值；
（3）提升：已知实数m、n满足2m2+4m﹣1＝0，2n2+4n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程的两个根为x1，x2，
∴，．
（2）∵一元二次方程的两根分别为p、q，
∴p+q＝﹣2，，
∴p2+q2＝（p+q）2﹣2pq
＝4+1
＝5；
（3）由题意可将m、n可以看作方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，，
∴．
22．（2025 淄博二模）某建筑公司承包了一项某旅游景点的改造工程，经公开招标，最终确定由甲和乙两个工程队共同参与改造．已知乙队的工作效率是甲队的，甲队先单独做了4天，之后甲队和乙队又合作了12天，正好如期完成了整项工程的改造．
（1）求甲队单独完成整项工程需要多少天？
（2）工程改造结束后，正逢五一假期，该旅游景点为吸引游客，发售了代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价30元，为合理定价，发售前进行了市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利12000元，且售价不超过55元，那么该纪念品的售价应为多少元？
【解答】解：（1）设甲队单独完成整项工程需要x天，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，
由题意得：12（）＝1，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
答：甲队单独完成整项工程需要25天；
（2）设该纪念品的售价应为m元，则每套利润为（m﹣30）元，每天销售[80060]套，
由题意得：（m﹣30）[80060]＝12000，
整理得：m2﹣110m+3000＝0，
解得：m＝50，m2＝60（不符合题意，舍去），
答：该纪念品的售价应为50元．
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