【中考模拟题汇编】查漏补缺：圆综合-2025年中考数学（含答案）

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【中考模拟题汇编】查漏补缺：圆综合-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 涪城区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，I为△ABC的内心，ID⊥AB于点D，则ID的长为（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
2．（2025 广东校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．
3．（2025 洪山区模拟）如图，在△ABC中，AC＝10，，点O在边AB上，扇形DOE分别与AC和CB的延长线相切，切点分别为D和E，扇形DOE与AB交于点M，若OE＝BE，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 顺庆区二模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，D，E分别为AC，BC的中点，延长ED交⊙O于点F，若⊙O的半径，则DF的长度为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 淮北三模）如图，AB为半圆的直径，C为的中点，P为上任意一点，连接AP，CP，过点C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD．若AB＝2，则BD的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 蜀山区校级三模）如图，半径为5的⊙O，直径CD垂直于AB与EF，FH⊥OB，∠OEF＝54°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．5π
7．（2025 淄博二模）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝30°，若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是（　　）
A．2 B． C．1 D．
8．（2025 重庆校级二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、OC，OA、OD，若CO＝CD，∠ACD＝40°，则∠B的度数是（　　）
A．70° B．71° C．72° D．73°
二．填空题（共6小题）
9．（2025 温州模拟）某挂饰由圆盘和挂绳组成（如图），AB，AC分别切⊙O于点B，C．若∠A＝64°，则的度数为　 　 度．
10．（2025 龙泉市二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，B为切点，连结AC．若BC＝3，AC＝5，则直径AB的长为　 　 ．
11．（2025 河南模拟）如图，点B是⊙A内一点，以B点为圆心、BA长为半径作⊙B，两圆相交于C，D两点，若⊙A的半径为2，∠CAD＝90°，则两圆重合部分的面积是 　 　 ．
12．（2025 北碚区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交DC，BA的延长线于点F和点G，连接BE交CD于点P，连接BD．若BD∥FG，，CD＝4，则PH＝ 　 　 ，AG＝ 　 　 ．
13．（2025 九龙坡区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，E为圆上两点，若点C为BD的中点，连接DE并延长与⊙O交于点F，与CA的延长线交于点H．若2∠D+∠DBE＝180°，BC＝3，HC＝12，则BE＝ 　 　 ，AH＝ 　 　 ．
14．（2025 涪城区三模）如图，⊙O是边长为4的正三角形ABC的外接圆，D为⊙O上的一动点，过点A作直线BD的垂线AE．垂足为E，连接CE．设CE的长为x，则x的取值范围为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 沛县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝6，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
16．（2025 密云区一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接DE交AB于点F，连接AE交CD于点G，AG＝GE．
（1）求证：∠AOC＝2∠CDE；
（2）过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点H．若，，求DH的长．
17．（2025 上城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，E是BC上的动点（不与端点B，C重合），连结AE与CD交于点F，过E，F，D三点的圆与BD交于点G（不与B，D重合），连结EG．
（1）若CE＝CF，∠B＝50°，求∠EGD的度数；
（2）若，求的值；
（3）求证：EG+EF＝AF．
18．（2025 嵊州市模拟）已知，正方形ABCD，AB＝4，以CD为直径在正方形内部作半圆M，点E是边BC上动点，连结DE交半圆M于点F，连结MF．
（1）若∠CMF＝50°，求∠ADE的度数．
（2）如图2，连结AF，将△ADF沿着DE对折，得到△PDF，PF交CD于点N．
①若∠DAF＝50°，求∠MFP的度数．
②求MN的最小值．
19．（2025 惠安县模拟）一部台式切割机的截面图如图1所示．点P为转动杆手把位置，A为转动杆与底座连接处的转动点，AQ为底座，O为圆形切割片的圆心（点O在AP上）．已知切割机未工作时的最大仰角∠PAQ＝70°，OA＝4dm，底座长AQ＝7dm．圆形切割片的半径等于．
（1）切割机工作时，转动杆AP绕点A按顺时针方向旋转锐角α，此时⊙O与AQ′相切于点G（如图2）．若AQ'＝7dm，求：
①∠Q′AQ的大小；
②点Q'到转动杆AP的距离．
（2）现将一方形薄铁片置于底座上进行加工，切开一个2.4dm长度的口子（切口大小应符合实际要求）．已知底座有凹槽，允许切割片穿过的最大深度为0.5dm，请判断能否达到加工要求，并说明理由．
20．（2025 荔湾区校级二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点E是线段AB上的一个动点，点G在BC的延长线上且满足CG＝AF，连接EG，以EG为直径作⊙O，交AC于点N，交BC于点P．
（1）证明：BE＝2BP；
（2）连接OC，若⊙O和AB相切，求线段OC的长；
（3）点E在线段AB上运动的过程中，当线段OC长度最小时，求四边形AEPN的面积．
21．（2025 淄博二模）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点E，与AC相交于点F，与CD相交于点G．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为，求弦CG的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一动点，过点M作MN⊥OC交⊙O于点N．当时，求FM的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D D A D A
一．选择题（共8小题）
1．（2025 涪城区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，I为△ABC的内心，ID⊥AB于点D，则ID的长为（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
【解答】解：过点I作IE⊥BC于E，IF⊥AC于E，连接IA、IB、IC，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴，
∴，
∵I为△ABC的内心，
∴ID＝IE＝IF，
∵S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI，
∴，
即，
解得：ID＝2，
故选：A．
2．（2025 广东校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．
【解答】解：如图，连接OC、OD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵⊙O的周长是6π，
∴r＝3，
∴CD＝3，
即正六边形的边长是3，
故选：B．
3．（2025 洪山区模拟）如图，在△ABC中，AC＝10，，点O在边AB上，扇形DOE分别与AC和CB的延长线相切，切点分别为D和E，扇形DOE与AB交于点M，若OE＝BE，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过A点作AH⊥CED于E点，如图，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB，
∴设AH＝3x，CH＝4x，
∴AC＝5x，
∴5x＝10，
解得x＝2，
∴AH＝6，CH＝8，
∵扇形DOE分别与AC和CB的延长线相切，切点分别为D和E，
∴OE⊥CH，OD⊥AC，
∵OE＝BE，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴∠OBE＝∠BOE＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴BH＝AH＝6，
∴CB＝CH﹣BH＝8﹣6＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵S△AOC+S△BOC＝S△ABC，
∴OD BCOE BCBC AH，
即r×10r×26×2，
解得r＝1，
∴图中阴影部分的面积．
故选：A．
4．（2025 顺庆区二模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，D，E分别为AC，BC的中点，延长ED交⊙O于点F，若⊙O的半径，则DF的长度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接并延长CO交AB于点H，交EF于点L，连接OA、OF，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径r，
∴∠AOC360°＝120°，OA＝OC＝OF，，
∴∠AOH＝180°﹣∠AOC＝60°，CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∵sin60°，cos60°，
∴AHOA1，OHOA，
∴CH＝OC+OH，
∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴CD＝AD，DE∥AB，
∴1，∠OLF＝180°﹣∠AHC＝90°，
∴CL＝HLCH，
∴DLAH，OL＝HL﹣OH，
∴FL，
∴DF＝FL﹣DL，
故选：D．
5．（2025 淮北三模）如图，AB为半圆的直径，C为的中点，P为上任意一点，连接AP，CP，过点C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD．若AB＝2，则BD的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ，DQ，
由条件可知∠APC＝45°，
∵CD⊥CP，
∴∠DCP＝90°，
∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的圆弧AC，
由条件可知△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴，
∴△ACQ中，AQ＝DQ＝CQ，AQ2+CQ2＝AC2，
∴AQ＝DQ＝CQ＝1，
∵∠QAB＝∠QAC+∠CAB＝90°，
∴，
∴，
∴BD的最小值为，
故选：D．
6．（2025 蜀山区校级三模）如图，半径为5的⊙O，直径CD垂直于AB与EF，FH⊥OB，∠OEF＝54°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．5π
【解答】解：∵CD⊥EF，∠OEF＝54°，
∴∠EOD＝90°﹣54°＝36°，
∵AB⊥CD，CD⊥EF，FH⊥OB，
∴四边形OHFG是矩形，
∴FG∥OH，FG＝OH，
∵CD⊥EF，
∴EG＝FG，
∴EG∥OH，EG＝OH，
∴四边形OEGH是平行四边形，
∴S△OEG＝S△OGH，
S阴影部分＝S扇形ODE
π，
故选：A．
7．（2025 淄博二模）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝30°，若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是（　　）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：连接OA，OC，设OC的中点为P，以点P为圆心，以PO为半径作⊙P，连接AP，FP，如图3所示：
∵CF⊥OE，
∴∠OFC＝90°，
∴当点E在AC上运动时，点P在⊙P上运动，
根据点与圆的位置关系得：当A，F，P在同一条直线上时，AF为最小，最小值为AP﹣PF，
∵△OAC是等边三角形且边长为2，点P是OC的中点，
∵PO＝PC＝PFOC＝1，AP⊥OC，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP，
∴AP＝PF1，
∴AF的最小值是1．
故选：D．
8．（2025 重庆校级二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、OC，OA、OD，若CO＝CD，∠ACD＝40°，则∠B的度数是（　　）
A．70° B．71° C．72° D．73°
【解答】解：∵CO＝CD，OC＝OD，
∴CO＝CD＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝80°+60°＝140°，
∴．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
9．（2025 温州模拟）某挂饰由圆盘和挂绳组成（如图），AB，AC分别切⊙O于点B，C．若∠A＝64°，则的度数为　116　 度．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵AB，AC分别切⊙O于点B，C，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
∵∠A＝64°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣64°＝116°，
∴的度数是116°，
故答案为：116．
10．（2025 龙泉市二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，B为切点，连结AC．若BC＝3，AC＝5，则直径AB的长为　4　 ．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AB4，
故答案为：4．
11．（2025 河南模拟）如图，点B是⊙A内一点，以B点为圆心、BA长为半径作⊙B，两圆相交于C，D两点，若⊙A的半径为2，∠CAD＝90°，则两圆重合部分的面积是 　2π﹣2　 ．
【解答】解：如图，连接CD，
∵∠CAD＝90°，
∴CD是⊙B的直径，
∵AC＝AD＝2，
∴CD2，
∴AB＝BC＝BD，
∴两圆重合部分的面积为：⊙B的面积+（扇形CAD的面积﹣△ACD的面积）π×（）22×2＝2π﹣2，
故答案为：2π﹣2．
12．（2025 北碚区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交DC，BA的延长线于点F和点G，连接BE交CD于点P，连接BD．若BD∥FG，，CD＝4，则PH＝ 　　 ，AG＝ 　　 ．
【解答】解：连接OE、OD、AE，如图，设⊙O的半径为r，则OH＝r，
∵AB⊥CD，
∴CH＝DHCD＝2，在Rt△OHD中，（r）2+22＝r2，
解得r，
在Rt△BDH中，∵BH，DH＝2，
∴BD，∵
GF为⊙O的切线，
∴OE⊥GF，
∴∠OEG＝90°，
∵BD∥FG，
∴∠G＝∠DBH，
∴Rt△OEG∽Rt△DHB，
∴，即，
解得OG，GE，
∴AG＝OG﹣OA，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠GEA+∠AEO＝90°，∠AEO+∠OEB＝90°，
∴∠GEA＝∠OEB，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠GEA＝∠OBE，
∵∠EGA＝∠BGE，
∴△GEA∽△GBE，
∴，
∵∠HBP＝∠EBA，∠BHP＝∠BEA，
∴△BPH∽△BAE，
∴，
∴，
∴BH．
故答案为：，．
13．（2025 九龙坡区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，E为圆上两点，若点C为BD的中点，连接DE并延长与⊙O交于点F，与CA的延长线交于点H．若2∠D+∠DBE＝180°，BC＝3，HC＝12，则BE＝ 　6　 ，AH＝ 　　 ．
【解答】解：∵点C为BD的中点，BC＝3，
∴CD＝BC＝3，
∴BD＝CD+BC＝6，
在△BDE中，∠D+∠DBE+∠BED＝180°，
∵2∠D+∠DBE＝180°，
∴∠D+∠DBE+∠BED＝2∠D+∠DBE，
∴∠BED＝∠D，
∴BE＝BD＝6；
连接AE，设AH＝a，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠AEB＝90°，
在Rt△HBC中，∠H+∠D＝90°，
∴2∠H+2∠D＝180°，
∵2∠D+∠DBE＝180°，
∴∠DBE＝2∠H，
根据圆周角定理得：∠EAC＝∠DBE，
∴∠EAC＝2∠H，
∵∠EAC是△AEH的外角，
∴∠EAC＝∠H+∠AEH，
∴2∠H＝∠H+∠AEH，
∴∠H＝∠AEH，
∴AE＝AH＝a，
∵HC＝12，
∴AC＝HC﹣AH＝12﹣a，
在Rt△ABC和Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝AE2+BE2，
∴（12﹣a）2+32＝a2+62，
解得：a，
∴AH＝a．
故答案为：6；．
14．（2025 涪城区三模）如图，⊙O是边长为4的正三角形ABC的外接圆，D为⊙O上的一动点，过点A作直线BD的垂线AE．垂足为E，连接CE．设CE的长为x，则x的取值范围为 　　 ．
【解答】解：∵BD⊥AE，
∴点E在以AB为直径的圆上，
作以AB为直径的圆F，连接CF，交圆F于点E′，延长CF，交圆F于点E″，则圆F的半径为2，
∴当点E与点E′重合CE最短，当点E与点E″重合CE最长，
∵△ABC为正三角形，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 沛县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝6，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接AE，
∵弦DE垂直平分半径OA，
∴AE＝OE，
∵OA＝OE，
∴OA＝OE＝AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∵CEDE＝3，
∴OE2，
∴⊙O的半径为2．
（2）连接OF，
∵弦DE垂直平分半径OA，
∴∠DCP＝90°，
∵∠DPA＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠EOF＝2∠CDP＝90°，
∴S扇形EOFπ×（2）2＝3π，S△EOF226，
∴S阴影＝S扇形EOF﹣S△EOF＝3π﹣6．
16．（2025 密云区一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接DE交AB于点F，连接AE交CD于点G，AG＝GE．
（1）求证：∠AOC＝2∠CDE；
（2）过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点H．若，，求DH的长．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又AG＝EG，
∴△OGA≌△OGE（SAS），
∴∠AGO＝∠EGO，
∵∠AGO+∠EGO＝180°，
∴∠AGO＝90°，
∴CD⊥AE，
∴，
∴∠ADC＝∠EDC，
又∠AOC＝2∠ADC，
∴∠AOC＝2∠CDE；
（2）解：由（1）知CD⊥AE，
∴，
设FB＝2k（k＞0），则OF＝3k，OA＝OD＝OB＝5k，
∵DH是⊙O的切线，
CD是⊙O的直径，
∴CD⊥DH，
又CD⊥AE，
∴AE∥DH，
∴△DOH∽△GOA，△DHF∽△EAF，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
整理得，
解得BH＝10k，
∴．
17．（2025 上城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，E是BC上的动点（不与端点B，C重合），连结AE与CD交于点F，过E，F，D三点的圆与BD交于点G（不与B，D重合），连结EG．
（1）若CE＝CF，∠B＝50°，求∠EGD的度数；
（2）若，求的值；
（3）求证：EG+EF＝AF．
【解答】（1）解：∵D是斜边AB上的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DCE＝∠B＝50°，
∵CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF＝65°，
∵四边形EFDG内接于圆，
∴∠EGD＝∠CFE＝65°；
（2）解：如图，过E作EH∥CD，交BD于点H，
∵EH∥CD，，
∴，
∵AD＝BD，
∴，
∵EH∥CD，
∴；
（3）证明：如图，过B作BM∥CD，交AE延长线于点M，在BD上作BH＝BM，连接EH，
∵BM∥CD，AD＝DB，
∴AF＝FM，
∵BM∥CD，
∴∠MBE＝∠DCB＝∠CBD，∠M＝∠CFE＝∠EGD，
又∵BM＝BH，BE＝BE，
∴△EMB≌△EHB（SAS），
∴EH＝EM，∠EHG＝∠M＝∠EGH，
∴EH＝EG，
∴EG+EF＝EM+EF＝FM＝AF．
18．（2025 嵊州市模拟）已知，正方形ABCD，AB＝4，以CD为直径在正方形内部作半圆M，点E是边BC上动点，连结DE交半圆M于点F，连结MF．
（1）若∠CMF＝50°，求∠ADE的度数．
（2）如图2，连结AF，将△ADF沿着DE对折，得到△PDF，PF交CD于点N．
①若∠DAF＝50°，求∠MFP的度数．
②求MN的最小值．
【解答】解：（1）∵∠CMF＝50°，
∴∠CDE＝25°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°；
（2）①设∠ADF＝x°，则∠DFM＝∠CDF＝90°﹣x°，
∵∠DAF＝50°，
∴∠DFA＝∠DFP＝180°﹣50°﹣x°＝130°﹣x°，
∴∠MFP＝130°﹣x°﹣（90°﹣x°）＝40°；
②延长FM交DP于点G，
∵∠ADF＝∠PDF，∠MDF＝∠MFD，且∠ADF+∠MDF＝90°，
∴∠MFD+∠FDP＝90°，即FG⊥DP，
∴∠GFP+∠P＝90°，
∵∠P＝∠DAF，
∴∠GFP+∠DAF＝90°，
延长AF，DC交于点R，
∴∠R+∠DAF＝90°，
∴∠MFN＝∠R，
且∠FMR是公共角，
∴△FMR∽△NMF．
∴，
即MN MR＝MF2＝4，
∴当MR的长最大时，MN的长最小，
当AR与半圆M相切时，MR的长最大，
即MF⊥AF，此时△MFR∽△ADR，
∴，
即，
∴
∴，
∴MN的最小值为．
19．（2025 惠安县模拟）一部台式切割机的截面图如图1所示．点P为转动杆手把位置，A为转动杆与底座连接处的转动点，AQ为底座，O为圆形切割片的圆心（点O在AP上）．已知切割机未工作时的最大仰角∠PAQ＝70°，OA＝4dm，底座长AQ＝7dm．圆形切割片的半径等于．
（1）切割机工作时，转动杆AP绕点A按顺时针方向旋转锐角α，此时⊙O与AQ′相切于点G（如图2）．若AQ'＝7dm，求：
①∠Q′AQ的大小；
②点Q'到转动杆AP的距离．
（2）现将一方形薄铁片置于底座上进行加工，切开一个2.4dm长度的口子（切口大小应符合实际要求）．已知底座有凹槽，允许切割片穿过的最大深度为0.5dm，请判断能否达到加工要求，并说明理由．
【解答】解：（1）①连结OG，如图，
由题意得：∠PAQ′＝α，
∵AQ与⊙O相切于点G，
∴OG⊥AQ，
即∠PAQ'＝90°，
∵OG＝r＝2，OA＝4，
∴sin，
∴α＝30°．
∵∠PAQ＝70°，
∴∠QAQ'＝∠PAQ﹣α＝40°；
②过点Q′作Q′B⊥AP，交AP于点B，如图，
∵∠OAG＝∠Q′AB，∠OGA＝∠Q'BA＝90°，
∴△OAG∽△QAB，
∴，
∵AQ'＝7dm，OG＝2dm，
∴（dm）．
即点Q'与转动标杆AP的距离为dm；
（2）能达到加工要求，理由：
设AQ'与⊙O相交于E、F两点，连结OF，过点O作OH⊥AQ′于点H，交弧EF于点G，如图，
设EF＝2.4dm，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FHdm，
由勾股定理，得：OH（dm），
∴方形薄铁片的加工深度HG＝OG﹣OH＝20.4（dm），
∵，
∴能达到加工要求．
20．（2025 荔湾区校级二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点E是线段AB上的一个动点，点G在BC的延长线上且满足CG＝AF，连接EG，以EG为直径作⊙O，交AC于点N，交BC于点P．
（1）证明：BE＝2BP；
（2）连接OC，若⊙O和AB相切，求线段OC的长；
（3）点E在线段AB上运动的过程中，当线段OC长度最小时，求四边形AEPN的面积．
【解答】（1）证明：∵EG为⊙O的直径，
∴∠EPG＝90°＝∠ACB，
∴PE∥AC，
∴∠A＝∠BEP＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE＝2BP；
（2）解：设CG＝AE＝n，
∴BE＝8﹣n，
∵⊙O和AB相切，
∴∠BEG＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BGE＝30°，
在Rt△BGE中，，
∴BG＝2BE＝16﹣2n，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，
∴，
∴BG＝CG+BC＝n+4，
∴16﹣2n＝n+4，
解得n＝4，
∴BC＝CG＝4，BE＝8﹣n＝4，
∵GO＝OE，
∴OC是△GBE的中位线，
∴；
（3）解：过点O作OH⊥BG于点H，
设CG＝AE＝x，
∴BE＝8﹣x，BG＝4+x，
由（1）得∠BEP＝30°，
∴，cos∠BEP，
∴BP（8﹣x）＝4，，
∵GO＝OE，∠OHG＝∠EPG＝90°，
∴△GOH∽△GEP，
∴，
∴，HG＝HP，
∵，BC＝4，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，开口向上，
∴当x＝6时，OC2有最小值，
即OC有最小值，此时，CG＝x＝6，，，
∴，，，
∴，
连接ON，作OM⊥AC于点M，则四边形OMCH为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵PE∥AN，
∴四边形AEPN是平行四边形，
∴四边形AEPN的面积．
21．（2025 淄博二模）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点E，与AC相交于点F，与CD相交于点G．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为，求弦CG的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一动点，过点M作MN⊥OC交⊙O于点N．当时，求FM的长．
【解答】（1）证明：连结OE，过O作OH⊥AD，垂足为H，如图，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAD＝∠B＝90°，AB＝BC，∠BAC＝45°，
∴△EAO为等腰直角三角形，
∴∠EOA＝45°，
∴AE＝EO，
∵OH⊥AD，OE⊥AE，∠EAD＝90°，
∴四边形AEOH为正方形，
∴OH＝OE＝r，
即AD到圆心O的距离定义圆的半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）延长EO交CD于点K，如图，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，∠ACD＝45°，
∴∠OKD＝180°﹣∠AEO＝180°﹣90°＝90°，
∴OK⊥CG，
∴∠KOC＝45°，，
∴在Rt△CKO中：，
设EO＝OC＝r，则OK＝KCr，
∵EK＝BC，
∴，
∴r＝1．
∴OK＝CK．
∴；
（3）连结FN，如图，
∵FC为直径，
∴∠FNC＝90°，
由（2）知：FC＝2r＝2．
∵NM⊥FC，
∴∠NMC＝90°，
∴∠MCN+∠CNM＝90°，
∵∠MCN+∠NFC＝90°，
∴∠CNM＝∠NFC．
∵MCN＝∠NCF，
∴△CMN∽△CNF，
∴，
∴NC2＝CM FC，
∴，
∴．
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