【中考模拟题汇编】查漏补缺：二次根式-2025年中考数学（含答案）

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【中考模拟题汇编】查漏补缺：二次根式-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 昆明模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
2．（2025 鞍山二模）与能合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 庄浪县二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．a+a＝a2 D．（a3）2＝a6
4．（2025 裕华区校级二模）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．1
5．（2025 温州模拟）如表所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（　　）
∵（m﹣2）2＝（2﹣m）2① ∴② ∴m﹣2＝2﹣m③ ∴m＝2④
A．① B．② C．③ D．④
6．（2025 环翠区一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　）
A．ab＞bc B．
C．abc＞0 D．|a﹣1|＜|c﹣1|
7．（2025 南开区二模）计算的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
8．（2025 盐湖区校级模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，则△ABC面积为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 威远县校级模拟）如果代数式有意义，那么x的取值范围是　 　 ．
10．（2025 宝应县二模）若，，则 　 　 ．
11．（2025 淄川区二模）计算： 　 　 ．
12．（2025 威远县校级模拟）已知实数a满足|a﹣2014|a，则a﹣20142的值是　 　 ．
13．（2025 雁塔区校级模拟）已知，，那么a2﹣b2＝　 　 ．
14．（2025 阿城区二模）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：m※，计算2※8的结果为　 　 ．
15．（2025 聊城模拟）若，则xy＝　 　 ．
16．（2025 峡江县校级模拟）已知，那么的值等于　 　 ．
三．解答题（共4小题）
17．（2025 奉贤区三模）计算：．
18．（2025 罗湖区校级模拟）在解决问题“已知，求3a2﹣6a+1的值”时，聪聪是这样分析与解答的：
解：∵，∴，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a+1＝3（a2﹣2a）+1＝4．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求4a2﹣8a﹣2的值．
19．（2025 蜀山区校级三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： 　 　 ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：　 　 ．
（3）应用运算规律：
①化简： 　 　 ；
②若（a，b均为正整数），则 a+b＝ 　 　 ．
20．（2024 扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）．
古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）．
请完成下列问题：
（1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　 　 ；
（2）请由秦九韶公式推导出海伦公式；
（3）若三角形的周长为24cm，一边长为6cm，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状．
【中考模拟题汇编】查漏补缺：二次根式-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C C D B B
一．选择题（共8小题）
1．（2025 昆明模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
故选：B．
2．（2025 鞍山二模）与能合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，
故能与合并，
故选：D．
3．（2025 庄浪县二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．a+a＝a2 D．（a3）2＝a6
【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、a+a＝2a，原计算错误，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，正确，符合题意；
故选：D．
4．（2025 裕华区校级二模）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．1
【解答】解：2，故A选项不符合题意；
0，故B选项不符合题意；
1，可得x是错误的，故C选项符合题意；
1，故D选项不符合题意．
故选：C．
5．（2025 温州模拟）如表所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（　　）
∵（m﹣2）2＝（2﹣m）2① ∴② ∴m﹣2＝2﹣m③ ∴m＝2④
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：∵（m﹣2）2＝（2﹣m）2①，
∴，
∴|m﹣2|＝|2﹣m|③，
m﹣2＝2﹣m，
∴m＝2，
∴开始错误的步骤是③，
故选：C．
6．（2025 环翠区一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　）
A．ab＞bc B．
C．abc＞0 D．|a﹣1|＜|c﹣1|
【解答】解：观察数轴可知：﹣3＜a＜﹣2，﹣1＜b＜0，3＜c＜4，a＜b＜0＜c，
A．∵a＜c，b＜0，∴ab＞bc，∴此选项的结论正确，故此选项不符合题意；
B．∵﹣3＜a＜﹣2，∴a+2＜0，∴，∴此选项的结论正确，故此选项不符合题意；
C．∵a＜b＜0＜c，∴abc＞0，∴此选项的结论正确，故此选项不符合题意；
D．∵﹣3＜a＜﹣2，3＜c＜4，∴|a﹣1|＞|c﹣1|，∴此选项的结论错误，故此选项符合题意；
故选：D．
7．（2025 南开区二模）计算的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
【解答】解：原式
＝1﹣1
＝0．
故选：B．
8．（2025 盐湖区校级模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，则△ABC面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由条件可知a2＝3，b2＝4，c2＝5，
∴
，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 威远县校级模拟）如果代数式有意义，那么x的取值范围是　x≥﹣3且x≠5　 ．
【解答】解：如果代数式有意义，那么x+3≥0且5﹣x≠0，
解得x≥﹣3且x≠5，
故答案为：x≥﹣3且x≠5．
10．（2025 宝应县二模）若，，则 　14　 ．
【解答】解：∵，，
∴14，
故答案为：14．
11．（2025 淄川区二模）计算： 　　 ．
【解答】解：原式＝（）2﹣（）2
．
故答案为：．
12．（2025 威远县校级模拟）已知实数a满足|a﹣2014|a，则a﹣20142的值是　2015　 ．
【解答】解：∵，
∴a﹣2015≥0，
∴|a﹣2014|＝a﹣2014，
∴，
∴，
∴a﹣2015＝20142，
∴a﹣20142＝2015，
故答案为：2015．
13．（2025 雁塔区校级模拟）已知，，那么a2﹣b2＝　　 ．
【解答】解：∵，，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：．
14．（2025 阿城区二模）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：m※，计算2※8的结果为　24　 ．
【解答】解：由题意得：2※8
（2）
＝2
＝24，
故答案为：24．
15．（2025 聊城模拟）若，则xy＝　　 ．
【解答】解：由题意得，2x﹣4≥0且4﹣2x≥0，
解得x＝2，
∴y＝﹣3，
∴xy＝2﹣3．
故答案为：．
16．（2025 峡江县校级模拟）已知，那么的值等于　　 ．
【解答】解：由条件可得：
，
整理得：，
原式
．
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
17．（2025 奉贤区三模）计算：．
【解答】解：
＝2（2）+（）
＝22
．
18．（2025 罗湖区校级模拟）在解决问题“已知，求3a2﹣6a+1的值”时，聪聪是这样分析与解答的：
解：∵，∴，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a+1＝3（a2﹣2a）+1＝4．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求4a2﹣8a﹣2的值．
【解答】解：（1）．
（2）∵，
∴a﹣11﹣1，
∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝4（a2﹣2a）﹣2＝4﹣2＝2．
19．（2025 蜀山区校级三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： 　5　 ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：　（n+1）（n为正整数）　 ．
（3）应用运算规律：
①化简： 　2025　 ；
②若（a，b均为正整数），则 a+b＝ 　22　 ．
【解答】解：（1）5；
故答案为：5；
（2）第n个式子可以表示为：（n+1）（n为正整数）；
故答案为：（n+1）；
（3）原式＝202520252025；
故答案为：2025；
（4）∵（a，b均为正整数），
∴a＝11﹣1＝10，
∴b＝10+2＝12，
∴a+b＝10+12＝22．
故答案为：22．
20．（2024 扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）．
古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）．
请完成下列问题：
（1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　12　 ；
（2）请由秦九韶公式推导出海伦公式；
（3）若三角形的周长为24cm，一边长为6cm，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状．
【解答】解：（1）设a＝5，b＝5，c＝6，
∴p8，S12；
（2）S
，
∵p，
∴2p＝a+b+c，
S
；
（3）设一边长为x cm，三角形的面积为S cm2，则另一边为（18﹣x）cm，
∴p＝12，
∴S2＝12×（12﹣6）×（12﹣x）×[12﹣（18﹣x）]＝﹣72（x﹣9）2+648，
∴当x＝9时，
S
有最大值为cm2，
此时三边长分别为6cm，9cm，9cm，是等腰三角形．
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