【中考模拟题汇编】查漏补缺：二次函数-2025年中考数学（含答案）

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【中考模拟题汇编】查漏补缺：二次函数-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 永春县模拟）已知点P（d，p），Q（3，q）在二次函数y＝ax2+2ax+4（a＜0）的图象上，且p＞q，则d的值不可能为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
2．（2025 道里区二模）将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2+4（　　）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
3．（2025 河南模拟）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数y＝x2﹣x﹣1图象上的两点，当1＜x2＜x1＜2时，y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y2＜y1 C．y1＝y2 D．无法确定
4．（2025 城中区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．a＞0
B．x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个根
C．a+b+c＝0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
5．（2025 大庆二模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 东莞市校级模拟）下列说法正确的是（　　）
A．若|x﹣3|＝|y﹣3|，且x，y都大于0小于5，则x＝y
B．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴只有1个交点
C．若两个锐角相等，则它们是对顶角
D．等边三角形是中心对称图形
7．（2025 立山区三模）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1图象经过（0，3），对称轴在y轴的右侧．则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1有（　　）
A．最大值2 B．最小值2 C．最大值﹣1 D．最小值﹣1
8．（2025 西青区二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论：
①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出（300+20x）件；
②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题）
9．（2025 沛县模拟）把二次函数y＝2（x+3）2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为 　 　 ．
10．（2025 兴化市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝6，则另一个根为　 　 ．
11．（2025 靖江市一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k，A（0，﹣3），B（3，0），C（x1，m），D（x2，m）四点都在该抛物线上，且1≤x1﹣x2≤3，则m的取值范围为　 　 ．
12．（2025 本溪二模）如图，等边三角形ABC的边AB在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为.若抛物线y＝2x2+c与等边三角形ABC的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是　 　 ．
13．（2025 芜湖三模）在平面直角坐标系中，有直线l：y＝m（x+4）﹣2（m≠0，m为常数）和抛物线G：y＝a（x+5）（x﹣1）（a≠0，a为常数）
（1）直线l经过的定点坐标为 　 　 ；
（2）若无论m取何值时，直线l与抛物线G总有公共点，则a的取值范围是 　 　 ．
14．（2025 市南区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论．
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1），（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．其中正确结论的序号为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，n）在抛物线y＝x2+（k﹣2）x+4k上，且它的对称轴为直线x＝t．
（1）当n＝0时，求t的值；
（2）如果点A（t+k，y1），B（t﹣2k，y2）在抛物线上，当k＜0时，比较y1和y2的大小，并说明理由．
16．（2025 大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于x1＝a+1，x1+1＜x2＜2x1+1，都有y1＜y2，求a的取值范围．
17．（2025 宜兴市二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此二次函数的图象上有且只有3个点到直线y＝n的距离等于，求此3个点的坐标；
（3）以M（a，0），N（a+2，0），P（a+2，﹣3），Q（a，﹣3）四个点为顶点作矩形MNPQ，若此二次函数的图象在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差为，直接写出a的值．
18．（2025 工业园区校级模拟）定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若2b2+ac＝0，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线T1：y＝x2﹣x+k是准黄金抛物线，交x轴于A、B两点．
（1）求抛物线T1的函数表达式及点A、B的坐标；
（2）将抛物线T1沿x轴翻折，得到抛物线T2；
①抛物线T2　 　 准黄金抛物线（填“是”或“不是”）；
②当y≥0时，记抛物线T1、T2组成的新图象为“图象W”，图象W交y轴于点C．P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025 孝感模拟）民族要复兴，乡村要振兴．利民超市老板决定为家乡代销某种农产品，该农产品的成本为20元/件．为了解市场情况，商定先进行15天的试销，第1天销售单价为21元/件，以后每天均涨价1元/件，在销售过程中统计发现：日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系为y＝﹣2x+76．设销售时间为t（天）（即第t天）．
（1）请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式；
（2）试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销售单价；
（3）在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有多少天？
20．（2025 镇平县模拟）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为（4，3.6），落在x轴上的点C处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.3米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
21．（2025 莱芜区三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN，求点M的坐标．
（3）如图2，连接AC，BC，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P，求PM最大值及此时M点的坐标．
【中考模拟题汇编】查漏补缺：二次函数-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B C B B D
一．选择题（共8小题）
1．（2025 永春县模拟）已知点P（d，p），Q（3，q）在二次函数y＝ax2+2ax+4（a＜0）的图象上，且p＞q，则d的值不可能为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+4（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
根据距离对称轴越近，函数值越大可知，Q（3，q）距离对称轴有4个单位长度，
∵p＞q，
∴点P距离对称轴的距离小于4个单位长度，
∴﹣1≥d＞﹣5或﹣1≤d＜3．
选项A、B、C符合上述条件，不符合题意，只有选项D不在上述范围，符合题意；
故选：D．
2．（2025 道里区二模）将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2+4（　　）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标为（﹣3，4），
点（0，0）需要先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点（﹣3，4）．
∴抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
3．（2025 河南模拟）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数y＝x2﹣x﹣1图象上的两点，当1＜x2＜x1＜2时，y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y2＜y1 C．y1＝y2 D．无法确定
【解答】解：由题知，
因为二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣1，
所以抛物线开口向上，且对称轴为直线x，
则当x时，y随x的增大而增大．
又因为1＜x2＜x1＜2，
所以y2＜y1．
故选：B．
4．（2025 城中区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．a＞0
B．x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个根
C．a+b+c＝0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【解答】解：观察图象，开口向下，故a＜0，故A错误；
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于点（﹣1，0），
∴根据对称性知必交x轴于点（3，0），
∴x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个根，故B正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故C错误；
当x＜1时，y随x的增大而增大，故D错误．
故选：B．
5．（2025 大庆二模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误．
故选：C．
6．（2025 东莞市校级模拟）下列说法正确的是（　　）
A．若|x﹣3|＝|y﹣3|，且x，y都大于0小于5，则x＝y
B．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴只有1个交点
C．若两个锐角相等，则它们是对顶角
D．等边三角形是中心对称图形
【解答】解：若|x﹣3|＝|y﹣3|，且x，y都大于0小于5，那么x＝2，y＝4时成立，则A不符合题意，
抛物线y＝x2﹣2x+1中Δ＝（﹣2）2﹣4＝0，那么其图象与x轴只有一个交点，则B符合题意，
等腰直角三角形中，两个锐角相等，但它们不是对顶角，则C不符合题意，
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，则D不符合题意，
故选：B．
7．（2025 立山区三模）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1图象经过（0，3），对称轴在y轴的右侧．则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1有（　　）
A．最大值2 B．最小值2 C．最大值﹣1 D．最小值﹣1
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1的图象经过点（0，3），
∴m2+m+1＝3，
解得m＝﹣2或m＝1，
∵对称轴在y轴的右侧，a＝1＞0，
∴m＞0，
∴m＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的最小值为2，
故选：B．
8．（2025 西青区二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论：
①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出（300+20x）件；
②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：结论①：根据题意，每降价1元多卖20件，
∴降价x元时，销量为（300+20x）件，故结论①正确．
结论②：由题意，售价61元属于涨价1元，销量减少10件，即300﹣10×1＝290（件），
∵每件利润为61﹣40＝21（元），
∴总利润为21×290＝6090 （元），结论②正确．
结论③：由题意，涨价情况：设涨价y元，售价（60+y）元，销量（300﹣10y）件，
∴利润函数为10（y﹣5）2+6250．
∴当y＝5时，售价为65元，此时利润P1＝6250元．
降价情况：设降价x元，售价（60﹣x）元，销量（300+20x）件，
∴利润函数为10（x﹣2.5）2+6125．
∴当x＝2.5时，售价为57.5元，此时利润P2＝6125元．
对比两者，售价65元时利润最大，最大值为6250元，结论③正确．
综上，三个结论均正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．（2025 沛县模拟）把二次函数y＝2（x+3）2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为 　y＝2（x+2）2﹣4　 ．
【解答】解：二次函数y＝2（x+3）2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为：y＝2（x+3﹣1）2﹣1﹣3，即y＝2（x+2）2﹣4．
故答案为：y＝2（x+2）2﹣4．
10．（2025 兴化市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝6，则另一个根为　x＝﹣4　 ．
【解答】解：由题意可得：
，即b＝﹣2a，
设另一根为m，
根据根与系数的关系得，
解得m＝﹣4，
即方程ax2+bx+c＝0的另一个根为x＝﹣4．
故答案为：x＝﹣4．
11．（2025 靖江市一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k，A（0，﹣3），B（3，0），C（x1，m），D（x2，m）四点都在该抛物线上，且1≤x1﹣x2≤3，则m的取值范围为　　 ．
【解答】解：∵A（0，﹣3），B（3，0）在抛物线y＝a（x﹣1）2+k上，
∴，
解得，
∴抛物线为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵C（x1，m），D（x2，m）在该抛物线上，
∴1，
∴x2＝2﹣x1
∵1≤x1﹣x2≤3，
∴1.5≤x1≤2.5，
把1.5≤x1≤2.5，代入y＝（x﹣1）2﹣4，得y，x＝2.5代入y＝（x﹣1）2﹣4，得y，
∴m的取值范围为．
故答案为：．
12．（2025 本溪二模）如图，等边三角形ABC的边AB在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为.若抛物线y＝2x2+c与等边三角形ABC的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是　0＜c或c＝﹣2　 ．
【解答】解：∵C的坐标为，
当0＜c时，抛物线y＝2x2+c与等边三角形ABC的AC、BC边相交，满足题意；
当抛物线y＝2x2+c过点A或点B时，亦满足题意，与AB相交有两个交点，
∵∠CAO＝60°，
∴此时可得AO1，故A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入y＝2x2+c，解得c＝﹣2，
故答案为：0＜c或c＝﹣2．
13．（2025 芜湖三模）在平面直角坐标系中，有直线l：y＝m（x+4）﹣2（m≠0，m为常数）和抛物线G：y＝a（x+5）（x﹣1）（a≠0，a为常数）
（1）直线l经过的定点坐标为 　（﹣4，﹣2）　 ；
（2）若无论m取何值时，直线l与抛物线G总有公共点，则a的取值范围是 　a＜0或　 ．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝m（x+4）﹣2，当x＝﹣4时，y＝﹣2，
∴直线l经过的定点坐标为（﹣4，﹣2）；
故答案为：（﹣4，﹣2）；
（2）∵抛物线G：y＝a（x+5）（x﹣1）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0），
当a＜0时，无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，
∴a＜0满足题意；
当a＞0时，
∵无论k为何值，直线l和抛物线G总有公共点，
∴x＝﹣4时，y2≤﹣2，即16a﹣16a﹣5a≤﹣2，
解得，
∴满足题意；
综上，当a＜0或时，抛物线G与直线l总有公共点．
故答案为：a＜0或．
14．（2025 市南区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论．
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1），（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．其中正确结论的序号为 　①③⑤　 ．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x1，
∴b＝﹣2a，故②错误，
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正确，
方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看作y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点，
∵﹣k2≤0，
∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误，
∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称，
∴y1＝y2，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
三．解答题（共7小题）
15．（2025 门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，n）在抛物线y＝x2+（k﹣2）x+4k上，且它的对称轴为直线x＝t．
（1）当n＝0时，求t的值；
（2）如果点A（t+k，y1），B（t﹣2k，y2）在抛物线上，当k＜0时，比较y1和y2的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）当 n＝0时，把（2，0）代入y＝x2+（k﹣2）x+4k，
则4+2（k﹣2）+4k＝0，
解得：k＝0，
∴抛物线为：y＝x2﹣2x；
∴；
（2）∵k＜0，
∴t+k＜t，t﹣2k＞t，
∴点A（t+k，y1）在对称轴左侧，点B（t﹣2k，y2）在对称轴右侧，
∴点B（t﹣2k，y2）关于对称轴直线x＝t的对称点为：B'（t+2k，y2），
∵k＜0，
∴t+2k＜t+k，
∵抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴y2＞y1．
16．（2025 大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于x1＝a+1，x1+1＜x2＜2x1+1，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵x1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵x1+1＜2x1+1，
∴x1＞0，
∵x1＝a+1，
∴a+1＞0，
∴a＞﹣1，
①当a＞0时，
由函数的性质知，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵x1+1＜x2＜2x1+1，
∴a+2＜x2＜2a+3，
∴点N（x2，y2）总在点M（x1，y1）的右侧，且M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，
∵x1＜x2，
∴y1＜y2；
②当﹣1＜a＜0时，0＜x1＝a+1＜1，
∴当M（a+1，y1）在对称轴左侧，
∴点M（a+1，y1）关于对称轴的对称点为M′（x3，y1），
∴x3﹣1＝1﹣（a+1），
∴x3＝1﹣a，
∵y1＜y2，
∴1+a＜x2＜1﹣a，
∵a+2＜x2＜2a+3，
∴，
解得a，
∴﹣1＜a，
综上所述，a＞0或﹣1＜a．
17．（2025 宜兴市二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此二次函数的图象上有且只有3个点到直线y＝n的距离等于，求此3个点的坐标；
（3）以M（a，0），N（a+2，0），P（a+2，﹣3），Q（a，﹣3）四个点为顶点作矩形MNPQ，若此二次函数的图象在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差为，直接写出a的值．
【解答】解：（1）把A、B两点坐标代入二次函数解析式得：
，解得，
故二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）当抛物线上有且只有三个点到直线y＝n的距离等时，如图所示，直线EF平行于直线y＝n交抛物线于E、F两点，抛物线顶点D到直线y＝n的距离等于，直线EF到直线y＝n的距离等于，
根据题意，，yD，n﹣yD，yE＝yF，，
解得，n，，
把y代入抛物线解析式得：x2﹣x0，解得x或．
故这三个点的坐标为（，），（.），（.）．
（3）根据题意，矩形MNPQ的MN边在x轴上，PQ在MN下方，MN＝2，MQ＝3＞|yD|．
当矩形MNPQ包含的二次函数图象不包含抛物线顶点时，如图所示．直线l：y．
∴二次函数图象在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点纵坐标为0，最低点纵坐标为．
令y，x2﹣x0．解得x或．
∴或，即a或a+2，
故a或．
当矩形MNPQ包含的二次函数图象包含抛物线顶点时，
此时二次函数图象在矩形MNPQ内部最低点为抛物线顶点，则最低点纵坐标为yD，则二次函数图象在矩形MNPQ内部最高点的纵坐标应该为1，
令y＝﹣1，x2﹣x﹣2＝﹣1，则x或．
由于MN＝2＞xA﹣xD＝2．
∴xM＝a，xN＝a+2，
故a或．
综合以上可得：a或或或．
18．（2025 工业园区校级模拟）定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若2b2+ac＝0，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线T1：y＝x2﹣x+k是准黄金抛物线，交x轴于A、B两点．
（1）求抛物线T1的函数表达式及点A、B的坐标；
（2）将抛物线T1沿x轴翻折，得到抛物线T2；
①抛物线T2　是　 准黄金抛物线（填“是”或“不是”）；
②当y≥0时，记抛物线T1、T2组成的新图象为“图象W”，图象W交y轴于点C．P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线T1：y＝x2﹣x+k是准黄金抛物线，且2b2+ac＝0，
即2+k＝0，解得k＝﹣2，
故抛物线T1的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，
即x2﹣x﹣2＝0，解得x＝2或﹣1，
故A（﹣1，0），B（2，0）．
（2）①由翻折可知抛物线T2的表达式为y＝﹣x2+x+2，
∵2+（﹣1）×2＝0，
∴抛物线T2是准黄金抛物线，
故答案为：是．
②根据题意，“图象W”的图象如图所示，
由待定系数法可知直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
△OBC为等腰直角三角形．
设P（p，0），当P点在B点右侧时，则N（p，p2﹣p﹣2），M（p，﹣p+2），
当∠NCM＝90°时，满足题意，
此时NM＝2p，即p2﹣4＝2p，解得p＝1（负值舍去）；
当∠CN'M'＝90°时，满足题意，
此时CN'＝N'M'，即p2﹣4＝p，解得p（负值舍去）；
当P点在B点左侧时，则N''（p，﹣p2+p+2），M''（p，﹣p+2），
当∠CN''M''＝90°时，满足题意，
此时CN''＝N''M''，即﹣p2+2p＝p，解得p＝1或0（舍去），
综上，所有符合条件的点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1，0）．
19．（2025 孝感模拟）民族要复兴，乡村要振兴．利民超市老板决定为家乡代销某种农产品，该农产品的成本为20元/件．为了解市场情况，商定先进行15天的试销，第1天销售单价为21元/件，以后每天均涨价1元/件，在销售过程中统计发现：日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系为y＝﹣2x+76．设销售时间为t（天）（即第t天）．
（1）请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式；
（2）试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销售单价；
（3）在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有多少天？
【解答】解：（1）由题意，∵农产品的成本为20元/件，以后每天均涨价1元/件，
∴x＝t+20．
又∵y＝﹣2x+76，
∴y＝﹣2（t+20）+76．
∴y＝﹣2t+36．
（2）由题意得，日销售利润w＝（x﹣20）y＝t（﹣2t+36）＝﹣2t2+36t＝﹣2（t﹣9）2+162．
∴当t＝9时，日销售利润w最大，最大值为162元．
∴此时单价x＝9+20＝29（元/件）．
答：试销第9天日销售利润w最大，日最大利润是162元，此时的销售单价为29元/件．
（3）由题意，结合（2）w＝﹣2t2+36t，
∴令w＝﹣2t2+36t＝144．
∴t＝6或t＝12．
∵二次函数w＝﹣2t2+36t的图象开口向下，且日销售利润不低于144元，
∴6≤t≤12，即共7天．
答：在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有7天．
20．（2025 镇平县模拟）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为（4，3.6），落在x轴上的点C处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.3米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，设二次函数解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
又∵图象过A（0，2），
∴a（0﹣4）2+3.6＝2．
∴，
∴．
（2）由（1）可得：，
又令y＝0，
∴，
∴x1＝﹣2，x2＝10．
又∵点C在x轴的正半轴上，
∴小强掷的距离为10米，
∵9.6＜10＜11.2，
∴小强在这次训练中的成绩为90分．
（3）小朋友有危险，理由如下：
由题意得，当x＝9时，，
又∵1.1＜1.2，
∴小朋友有危险．
21．（2025 莱芜区三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN，求点M的坐标．
（3）如图2，连接AC，BC，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P，求PM最大值及此时M点的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点M作 ED∥y轴，过点C作 CD⊥DE 于点D，过点N作NE⊥DE于点E，如图所示：
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠CMN＝∠NEM＝∠CDM＝90°，
∴∠DCM+∠CMD＝∠CMD+∠NME＝90°，
∴∠DCM＝∠NME，
∴△CDM∽△MEN，
∴，
设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴物线的对称轴直线为x＝1，
∴DM＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）＝m2﹣2m，NE＝m﹣1，
∵tan∠MCN，
∴，
∴，
解得：m1（此时点M的纵坐标大于﹣3，舍去），m2，
∴点M坐标为（，）；
（3）过点M作 MH∥y轴交BC于点H，作 PG⊥HM于点G，如图：
∵OC＝OB＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵MH∥y轴，
∴∠PHG＝∠OCB＝45°，
∵AC∥PM，
∴∠ACP＝∠CPM，
∴∠ACO+∠OCB＝∠PHG+∠PMH，
∴∠ACO＝∠PMH，
∴tan∠PMH＝tan∠ACO，
∴，
∴GM＝3PG，
又∵∠PHG＝45°，
∴PG＝HG，
∴HM＝HG+GM＝4PG，
∴PMPG，
∴，
∴PMHM，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），
由B（3，0）C（0，﹣3）得直线BC解析式为y＝x﹣3，
∴H（m，m﹣3），
∴HM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴PM（﹣m2+3m）（m）2，
∵，
∴当m时，PM有最大值，最大值为，
此时M（，）．
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