15.1多边形巩固强化练习（含解析）

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15.1多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从n边形的一个顶点出发共有对角线（ ）
A．（n-2）条 B．（n-3）条
C．（n-1）条 D．（n-4）条
2．张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤正十边形，可以购买的地砖形状是（ ）．
A．①④ B．①③ C．③⑤ D．②④
3．一个多边形内角和是，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
5．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说法错误的是（　　）
A．这个多边形是十边形 B．这个多边形的内角和是1800°
C．这个多边形的每个内角都是144° D．这个多边形的外角和是360°
6．过多边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成4个三角形的是( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
7．一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则旋转角α为（　　）
A． B． C． D．
8．多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
10．已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（　　）
A．110° B．120° C．125° D．135°
12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数是 ．
14．五边形一共有 条对角线．
15．若n边形的每个外角都等于，则边数 ．
16．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 ．
三角形的内角和等于 ，正方形、长方形的内角和都等于 ．
17．用边长相等的正三角形与正方形两种图形铺满地面，设在一个顶点周围有x个正三角形和y个正方形，则x＝ ，y＝ ．
三、解答题
18．画出四边形、五边形、六边形的所有对角线，猜想七边形、八边形有多少条对角线？边形呢？
19．如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
20．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
21．（1）如图1，则________；
（2）如图2，则________；
（3）如图3，则________．
22．一个边数为的多边形中所有对角线的条数是边数为的多边形中所有对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数.
23．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
24．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．
《15.1多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D B C D C C C
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n 3个．
【详解】解：n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引（n-3）条对角线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的定义，掌握多边形的对角线的定义是解题关键．
2．B
【分析】依次求出各形状地砖的内角度数，再判断360°是否为该内角的整数倍即可得出结论．
【详解】解：正三角形每个内角的度数为60°，且360°÷60°=6；
正五边形每个内角度数为180°-（360°÷5）=108°，且360°÷108°不是整数；
正六边形每个内角度数为180°-（360°÷6）=120°，且360°÷120°=3；
正八边形每个内角度数为180°-（360°÷8）=135°，且360°÷135°不是整数；
正十边形每个内角度数为180°-（360°÷10）=144°，且360°÷144°不是整数；
综上可知，只有正三角形和正六边形两种形状的地砖符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形内角和的计算，解决本题的关键是能读懂题意，了解同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，做到无缝隙、不重叠铺设，则360°应该为该正多边形地砖的内角的整数倍，本题对学生应用数学的意识与能力有一定的体现．
3．B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题即可．根据n边形的内角和是，根据多边形的内角和为，得到一个关于n的方程，从而求出边数．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
4．D
【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
5．B
【分析】用360°除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的内角与相邻的外角互为补角和多边形的内角和公式与外角和定理对各选项分析判断即可得解．
【详解】多边形的边数为：360°÷36°=10，
所以，多边形的内角和为：（10-2） 180°=1440°，
每一个内角为：180°-36°=144°，
多边形的外角和为：360°，
所以，说法错误的是B选项．
故选B．
【点睛】考查了多边形内角与外角，主要利用了多边形的内角和公式与外角和定理，根据外角和求出边数是解题的关键．
6．C
【详解】解：A、过四边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成（4-2）=2个三角形．故本选项不符合题意；
B、过五边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成（5-2）=3个三角形．故本选项不符合题意；
C、过六边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成（6-2）=4个三角形．故本选项符合题意；
D、过七边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成（7-2）=5个三角形．故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的知识点为：过n边形一个顶点作对角线，最多可把n边形分成（n-2）个三角形．熟练掌握是解本题的关键.
7．D
【详解】因为赛车五次操作后回到出发点，0＜α＜90°，
∴α=360°÷5=72°.
故选：D.
8．C
【分析】可根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
【详解】设多边形有n条边，
则n 2=11，解得n=13.
故这个多边形是十三边形．
故经过这一点的对角线的条数是13 3=10.
故选C.
【点睛】此题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形．
9．C
【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．
【详解】解：∵正n边形的一个内角为135°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣135°=45°，
n=360°÷45°=8．
故选C．
10．C
【分析】多边形的内角和可以表示成（n2） 180°，依此列方程可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n-2） 180°=1080°．
解得：n=8，
故选C．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
11．D
【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，
∴∠FBE+∠FDE=（∠ABE+∠CDE）=（360°﹣90°）=135°，
∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．
故选D．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．
12．C
【分析】根据平角的定义分别用∠1，∠2，∠3表示阴影部分三角形的三个外角，然后根据三角形的外角和是360°列式即可得到答案．
【详解】解：如图所示，正三角形、正四边形、正五边形的每个内角的度数分别为，
∴中间阴影部分的三角形的三个外角的度数分别为，
∵三角形的外角和为，
∴．
，
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
13．9/九
【分析】设每个内角为，每个外角为，先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角的度数，再根据多边形的外角和是，从而代入公式求解即可．
【详解】解：设每个内角为，每个外角为，
根据题意得：，
解得，
故每个外角为，
，
故这个正多边形的边数是9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程是解题的关键．
14．5
【分析】由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得．
【详解】解：∵边形共有条对角线，
五边形共有条对角线．
故答案为：5
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键．
15．18
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【详解】多边形的外角和为,每个外角都等于,
n的值是，
故答案为：18．
【点睛】本题考查多外角和边形的为360°，正确理解多边形外角和定理是关键．
16． 多边形 180° 360°
【解析】略
17． 3, 2
【分析】根据正多边形镶嵌的条件：在同一顶点处几个多边形的内角相加等于360°即可解决问题.
【详解】正三角形的每个内角为60°,正方形的每个内角是90°,根据题意可得,
整理得 ，
时,，
时,，
时,，
时,，
∵ 只能取正整数
∴ 满足条件的只有，
即用3个正三角形和2个正方形能镶嵌平面.
故答案为3,2.
【点睛】本题主要考查的是判定正多边形镶嵌平面的知识,希望同学们好好掌握:用正多边形镶嵌必须具备的条件是在同一顶点处几个正多边形的内角相加等于360°.
18．见解析
【分析】本题考查多边形对角线的定义，根据对角线的定义直接画图及求解即可得到答案；
【详解】解：画图如图所示，
四边形：条，
五边形：条，
六变形：条，
∴七边形有条对角线；
八边形有条对角线；
边形有条对角线；
∵从边形的一个顶点出发有条对角线，
∴共有条对角线，
∵其中每条对角线都重复数了一次，
∴有条对角线．
19．答案见解析．
【详解】试题解析：如图所示：所画正方形即为所求．
考点：作图—应用与设计.
20．(1)见解析
(2)十三边形
(3)40°
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可解答．
【详解】（1）解：由多边形内角和公式可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，
故不可能是多边形内角和．
（2）解：由多边形内角和公式可知，，
所以，则，
故多边形是十三边形
（3）解：由（2）计算可知余数为，
所以多加的外角为．
21．（1），（2），（3）
【分析】根据题意，利用三角形的外角性质转化为三角形或者多边形的外角，进而根据多边形的外角的性质求解即可
【详解】（1）如图，
的外角和
故答案为：360°
（2）如图，
四边形的外角和为
故答案为：360°
（3）如图，延长至则
五边形的外角和
故答案为：360°
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，多边形的外角和性质，将已知角根据三角形外角的性质进行转化是解题的关键．
22．这两个多边形的边数分别为12和6.
【分析】n边形的对角线有条，2n边形的对角线有条，根据题意可列出方程，再解方程求解即可.
【详解】解：由多边形的性质，可知边形共有条对角线.
由题意，得.
解得.
∴.
∴这两个多边形的边数分别为12和6.
【点睛】本题考查了多边形对角线的性质（条数）和解一元一次方程，熟记n边形对角线的条数公式是解此题的关键.
23．另一组对角也互补．
【分析】根据四边形内角和公式可求出内角和为360°，一组对角互补，即为180°，可得另外一组对角也互补，即可解决．
【详解】解：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )=360°－180°=180°
∴如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，熟练内角和公式以及准确的计算是解决本题的关键．
24．36°．
【分析】根据五边形的内角和的性质可得出∠E＝∠B＝∠BAE＝108°,再通过三角形内角和进行求解.
【详解】解：∵五边形的内角和是540°，
∴每个内角为540°÷5＝108°，
∴∠E＝∠B＝∠BAE＝108°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝（180°－108°）÷2＝36°，
∴∠CAD＝∠BAE－∠1－∠3＝108°－36°－36°＝36°．
【点睛】本题主要考查的是五边形的内角和及三角形内角和的综合应用，熟练掌握其性质和特点是本题的解题关键.
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