15.2平行四边形和特殊的平行四边形巩固强化练习（含解析）

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15.2平行四边形和特殊的平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
2．一矩形两对角线之间的夹角有一个是60°，且这角所对的边长5cm，则对角线长为（　　）
A．5cm B．10cm C．5cm D．无法确定
3．平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）
A．大于1 B．小于7
C．大于1且小于7 D．小于7或大于1
4．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　）
A．22.5°角 B．30°角
C．45°角 D．60°角
5．矩形ABCD的对角线AC BD交于点O，以下结论不一定成立的是（ ）
A．∠BCD=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OC=CD
6．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（　　）
A．24cm2 B．32cm2 C．48cm2 D．128cm2
7．下列性质矩形不一定具备的是（ ）．
A．对角线相等 B．四个内角都相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
8．下列说法中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
9．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
10．图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（　　）

A．30 B．32.5 C．35 D．37.5
11．一个矩形和一个平行四边形的边分别相等， 若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍，则平行四边形的锐角的度数为（ ）．
A．15° B．30° C．45° D．60°
12．如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
二、填空题
13．如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为 ．
14．如图，将长方形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F，若∠BFA=34°，则∠DAE= 度．
15．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC= ，矩形的面积为 ．
16．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是 ．
17．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1 S2．
三、解答题
18．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．
求证：DE=AC．
19．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点．
（）求证：．
（）若，，，点是的中点，求的长．
20．如图，正方形ABCD的边长为12 cm，在AB上有点P，且AP=5 cm，将正方形折叠，使点D与点P重合，折痕为EF，求△EAP的周长.
21．如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．
求证：AE=BE．
22．如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与BC交于点O．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若PO：PA=1：2，则边AB的长是多少？
23．请你写出两个本考卷中没有的定义
24．如图,将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm,求四边形纸片ABCD的周长.
《15.2平行四边形和特殊的平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C D B D D C D
题号 11 12
答案 B C
1．A
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB.
∵∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE，∴S△DOE=S△BOF.
∴阴影部分的面积为S△BOF+S△COF=S△OBC=S矩形ABCD=×4×3=3.
故选A.
2．B
【详解】因为矩形的对角线相等且互相平分，又两对角线之间的夹角有一个是60°，所以对角线的一半与矩形的边所构成的三角形是等边三角形，所以对角线长为2×5=10（cm）.
故选B.
3．C
【分析】根据题意画出图形，已知的两边和对角线正好组成三角形，根据三角形的三边关系，可确定对角线的范围．
【详解】如图：
在△ABC中，AB=3，BC=4，则1＜AC＜7，
所以此平行四边形的对角线必大于1且小于7．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质三角形的三边关系．解答本题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．C
【详解】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．
5．D
【分析】根据矩形的性质进行分析判断即可．
【详解】解：如下图
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴∠BCD=90°，AC=BD，OA=OB，但OC=CD不一定成立，
∴上述四个结论中选项A、B、C中的结论是正确的，选项D的结论不一定成立．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质．熟记“矩形的相关性质”是正确解答本题的关键．
6．B
【分析】根据矩形的性质，两对边相等，可以求出相邻两边的和，进而求出各边的长度，根据面积公式求解即可．
【详解】设长为xcm，宽为ycm．
∵一矩形的周长是24cm，
∴2（x+y）=24，
∴x+y=12，
∵相邻两边之比是1：2，
∴x=8cm、y=4cm，
∴面积S=xy=8×4=32cm2．
故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，由很多个小的知识点组合而成，求解长宽即可求得面积．
7．D
【详解】A.矩形的对角线相等，正确；B. 矩形的四个内角都相等，正确；C.矩形的对角线互相平分，正确；D. 对角线互相平分、相等，但不一定垂直，
故选D.
【点睛】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．
8．D
【详解】根据平行四边形的性质可知，A，B正确；根据矩形的性质，C正确；有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形不一定是正方形，所以D错误.
故选D.
9．C
【详解】在矩形ABCD中，
∵EF∥AB,AB∥DC，
∴EF∥DC,则EP∥DH；故∠PED=∠DHP；
同理∠DPH=∠PDE;又PD=DP;所以△EPD≌△HDP;则S△EPD=S△HDP；
同理,S△GBP=S△FPB；
则(1)= = =
(2)= = =
(3) =+=+=
(4)=+=+ =
(5)=+=+=
故选C.
10．D
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形，所以∠AEB=60°，再根据平角等于180°求出∠AED′=60°，即可求得∠DED′=75°，然后根据翻折变换的性质求出∠2=37.5°，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】如图，

根据题意得：∵BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°，
∴△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形，
∴∠1=∠AEB=60°，
∴∠AED′=180°﹣∠1﹣∠AEB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DED′=∠AED+∠AED′=15°+60°=75°，
∴∠2=∠DED′=37.5°，
∵A′D′∥BC，
∴∠BCE=∠2=37.5°．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的面积，翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．B
【详解】如图，矩形ABCD与平行四边形BCFG中，BG=AB，
过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∵S矩形ABCD=BC·AB=2S平行四边形BCFG=2BC·GH，∴BG=2GH，
∵△BGH是Rt△，∠BHG=90°，∴∠GBH=30°，
故选B.
【点睛】本题考查了矩形的面积、平行四边形的面积以及直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的运用，根据已知条件推导出平行四边形的高与一边的关系是解题的关键.
12．C
【分析】由折叠可得△BEF≌△BAE，得出AE=EF，然后根据勾股定理列方程即可.
【详解】∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和矩形的性质．根据勾股定理列方程是解决本题的关键.
13．10
【详解】
∵AE=ME,AB=MN,BF=NF,
∴ME+DE+MN+CD+CF+NF
=AE+DE+AB+CD+CF+BF
=AD+AB+CD+BC
=2+3+2+3
=10.
点睛：本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．17
【详解】分析：首先根据平行线的性质得到∠DAF的度数，再根据对折的知识即可求出∠DAE的度数．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠BFA=∠DAF，
∵∠BFA=34°，
∴∠DAF=34°，
∵△AFE是△ADE沿直线AE对折得到，
∴∠DAE=∠FAE，
∴∠DAE=∠DAF=17°，
故答案为17.
点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等；矩形的折叠问题：折叠属于对称变化，它的对应角相等.理解折叠后对应角相等是本题的重点.
15． 5 12．
【分析】根据勾股定理求出AC，利用面积公式计算求解．
【详解】如图：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
由勾股定理得AC=；
矩形的面积为AB BC=3×4=12．
故答案为5，12．
【点睛】此题较简单，根据勾股定理及矩形的面积公式解答．
16．8
【详解】试题解析：∵矩形的一边长为6，一条对角线长为10，
∴矩形的另一边长为=8.
故答案为8.
17．=．
【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
【详解】矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，
故答案为=．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．
18．证明见解析
【详解】试题分析：
证明CD是线段BE的垂直平分线，得到DB=DE，又因为DB=AC，则得证.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠BCD=90°，
∵BC=CE，∴DC是BE的中垂线，∴BD=DE，
∴DE=AC．
19．（）见解析（）
【详解】试题分析：
（1）由已知条件易证∠GAD=∠ADE=∠CED，结合∠AGE=∠GAD+∠ADE，可得∠AGE=2∠CED，再结合∠AED=2∠CED即可得到∠AGE=∠AED，从而可得AE=AG；
（2）如下图，连接GH，由（1）中结论可知AE=AG=，结合BE=2，在Rt△ABE中可求得AB=11，结合BF=1可求得AF=10，再结合G是DF的中点，H是AD的中点由三角形中位线定理即可求得GH=5.
试题解析：
（）∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，
又∵ 为中点，
∴ ，
∴ ，
∵∠AGE=∠GAD+∠ADE，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
．
（）连接，由（）知：=，
在中，，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是中点，是中点，
∴ ．
20．17cm
【详解】试题分析：根据折叠的性质得到即可求解.
试题解析：
由题意得：
的周长为：
21．证明见解析
【详解】试题分析：
因为∠CDE=∠DCE，所以ED=EC，则可用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，从而得AE=BE.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴AE=BE．
22．（1）证明见解析；（2）边AB的长为10．
【详解】试题分析：（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似；
（2）根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
试题解析：解：（1）如图．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，∴∠APO=90°，∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，∴△OCP∽△PDA．
（2）∵PO：PA=1：2，∴===，∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边AB的长为10．
点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用．在（1）中掌握好相似三角形的判定是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得PC的长是解题的关键．
23．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
所有内角均为直角的平行四边形叫矩形.
【分析】见解析.
【详解】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
所有内角均为直角的平行四边形叫矩形.
【点睛】熟记定义是解题的关键.
24．32(cm)
【详解】根据轴对称的性质可以得到AB=AF,BE=FE，再利用等量代换即可求出四边形纸片ABCD的周长.
解：由题意可知,△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称,
所以AB=AF,BE=FE.
因为△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm,
即AD+DF+AF=24 cm,FC+CE+FE=8 cm,
所以四边形纸片ABCD的周长为：
AD+DC+BC+AB=AD+DF+FC+CE+BE+AB=(AD+DF+AF)+(FC+CE+FE)=24+8=32(cm).
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