广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2024-2025学年高一下学期5月数学月考模拟卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2024-2025学年高一下学期5月数学月考模拟卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 583.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 23:55:11 | ||
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文档简介
泰雅实验学校2025年5月高一数学月考模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
A． B．2 C． D．8
2．下列结论正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量
D．若与是平行向量，则
3．已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ）
A． B． C．CD D．
4．下列四个命题中正确的是（ ）
A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体
B．正三棱锥的每个面都是正三角形
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
5．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．，则
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若，则在上的投影向量是
10．圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（ ）
A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为
C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为
11．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中错误的是（ ）
A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与直线所成的角为定值
D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题
12．已知，则复数的虚部是 .
13．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 .
14．某半球形容器如图（左）所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图（右）所示，则小球的表面积等于 .
四、解答题
15．已知复数.
(1)若z为纯虚数，求a的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值．
16．已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）证明：平面；
（3）求三棱锥的体积.
17．已知向量，.
(1)求的值；
(2)若，，且，，三点共线，求实数的值.
18．在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积范围.
19．如下如图，水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点.
(1)证明：四边形是矩形；
(2)当水恰好流出时，求二面角的大小.
泰雅实验学校2025年5月高一数学月考模拟卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B A C C ABD BC
题号 11
答案 ABC
12．
13．10
14．
15．（1）复数为纯虚数，则且，
所以.
（2）复数在复平面内对应的点位于第二象限，
则且，解得，
，当且仅当时取等号，
所以a的取值范围是，的最小值为.
16．（1）连接，由底面，且，可得底面，
又由底面，所以，
又因为为正边的中点，所以，
因为，且平面，
所以平面.
（2）连接交与，则为的中点，连接，则.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，.
取的中点，连接，则，可得平面，
即为三棱锥的高，，
三棱锥的体积.
17．（1）因为向量，，
所以，
故；
（2），，
因为，，三点共线，
所以，解得.
18．（1）因为，，
所以，
因为，
所以，则，
因为，
所以，又，则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，则，
所以，
，
，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则，
则，
所以，
所以的面积范围.
19．（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，
因为始终在桌面上，所以，
在长方体中，平面平面，
所以，即，所以四边形是矩形.
（2）由题意知，，水的体积为，
所以，即，所以，
由（1）知，桌面与水面平行，所以二面角即为二面角，
由（1）知，又，所以，
所以即为所求的平面角，在直角梯形中，，
所以，所以二面角的大小为.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
A． B．2 C． D．8
2．下列结论正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量
D．若与是平行向量，则
3．已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ）
A． B． C．CD D．
4．下列四个命题中正确的是（ ）
A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体
B．正三棱锥的每个面都是正三角形
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
5．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．，则
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若，则在上的投影向量是
10．圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（ ）
A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为
C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为
11．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中错误的是（ ）
A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与直线所成的角为定值
D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题
12．已知，则复数的虚部是 .
13．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 .
14．某半球形容器如图（左）所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图（右）所示，则小球的表面积等于 .
四、解答题
15．已知复数.
(1)若z为纯虚数，求a的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值．
16．已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）证明：平面；
（3）求三棱锥的体积.
17．已知向量，.
(1)求的值；
(2)若，，且，，三点共线，求实数的值.
18．在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积范围.
19．如下如图，水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点.
(1)证明：四边形是矩形；
(2)当水恰好流出时，求二面角的大小.
泰雅实验学校2025年5月高一数学月考模拟卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B A C C ABD BC
题号 11
答案 ABC
12．
13．10
14．
15．（1）复数为纯虚数，则且，
所以.
（2）复数在复平面内对应的点位于第二象限，
则且，解得，
，当且仅当时取等号，
所以a的取值范围是，的最小值为.
16．（1）连接，由底面，且，可得底面，
又由底面，所以，
又因为为正边的中点，所以，
因为，且平面，
所以平面.
（2）连接交与，则为的中点，连接，则.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，.
取的中点，连接，则，可得平面，
即为三棱锥的高，，
三棱锥的体积.
17．（1）因为向量，，
所以，
故；
（2），，
因为，，三点共线，
所以，解得.
18．（1）因为，，
所以，
因为，
所以，则，
因为，
所以，又，则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，则，
所以，
，
，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则，
则，
所以，
所以的面积范围.
19．（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，
因为始终在桌面上，所以，
在长方体中，平面平面，
所以，即，所以四边形是矩形.
（2）由题意知，，水的体积为，
所以，即，所以，
由（1）知，桌面与水面平行，所以二面角即为二面角，
由（1）知，又，所以，
所以即为所求的平面角，在直角梯形中，，
所以，所以二面角的大小为.
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