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苏科版2024—2025学年八年级下册期末真题专项培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在四边形ABCD中，下列说法正确的是（ ）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是平行四边形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是平行四边形
2．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
5．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
7．根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．取一张边长为的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10． 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则 ．
12．如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字型”水管的进水口流入，在三处装有过滤网，该杂质经过 处过滤网的可能性最大．
13．已知，则代数式的值为 ．
14．化简： .
15．如图，四边形 是矩形，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，把矩形 沿 折叠.点A落在点D处，则点D的坐标是 .
16．当 时，分式的值为0．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知x＝ + ，y＝ ﹣ ，求：
（1） 的值；
（2）） + 的值．
18．已知：如图，在 ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AN为 ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）猜想当AD、BC满足怎样的数量关系时，四边形ADCE是正方形，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
20．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小明家去年12月份的水费是50元，而今年6月份的水费则是72元．已知小明家今年6月份的用水量比去年12月份的用水量多了5m3．
（1）求今年居民用水的价格；
（2）随着夏季高温到来，小明家7月份用水量至少比6月份增加20%．若小明家计划将7月份的水费控制在100元以内，则按计划小明家7月份最多可用水多少立方米？（结果精确到1m3）
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是边AB上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，点B的对应点为B'．
（1）若点B'刚好落在对角线AC上时，AB'＝ ；
（2）若点B'刚好落在线段CD的垂直平分线上，且在矩形内部时，求BE的长．
22．如图，点A (m，1)和点B在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，过点B作BD∥x轴交直线AC于点D，CD=3AC。
（1）若AD=BD，求k的值。
（2）连结OB，若四边形OBDC的面积为6，求点B的坐标。
23．如图，在正方形 中， 是对角线 上一点， 于点 ，交 ， 于点 .
（1）求证： .
（2）若 CH， ，求 的长.
24．如图，已知在 中， ， 为边 延长线上一定点.
（1）用直尺和圆规在边 的延长线上求作一点 ，使得 ，并连接 、 ，（不写做法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，若 ，猜想四边形 是哪种特殊的四边形 并证明你的猜想.
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，AB＝8，AC＝6，求BF的长.
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苏科版2024—2025学年八年级下册期末真题专项培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在四边形ABCD中，下列说法正确的是（ ）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是平行四边形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是平行四边形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A选项不正确；
B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B选项正确；
C、D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C、D选项不正确.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的判定定理判断即可.
2．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确；
B、∵不是同类二次根式，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的乘除法及二次根式的加减法逐项判断即可.
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解析】【分析】
A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误。
故选C.
4．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知： ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0，且分母不为0即可求解．
5．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
6．代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知x+1＞0，
解之：x≥-1.
故答案为：B
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
7．根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 且 原计划每天修建盲道米 ，
∴实际每天修建盲道（x+10）米.
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x十10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
8．取一张边长为的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=90°，∠ACD=45°，
在Rt△ACD中，AD=CD=2，
∴AC=，
∵第二次折叠，
∴∠ABE=∠D=90°，AB=AD=2，DE=BE，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=CB=AC-AB=.
故答案为：A.
【分析】根据正方形、勾股定理得∠ACD=45°，AC=，由折叠得△CBE是等腰直角三角形，AB=AD=2，DE=BE，由此可得解.
9．如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D分别是AB的中点 ，CD=10 ，
∴AB= 2CD=20，
∵点E、F分别是AC、BC的中点 ，
∴EF=AB=10.
故答案为：A.
【分析】直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线平行且等于第三边的一半，由此可得CD与AB的关系，和EF和AB的关系。
10． 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，BC=5，
∴CD=AB=3，AD=BC=5，AO=OC，OB=OD，
∵∠ACD=90°，
∴AD==4，
∴OC=OA=2，
在Rt△COD中，OD==，
∴BD=2OD=；
故答案为：.
【分析】由平行线的性质可得CD=AB=3，AD=BC=5，AO=OC，OB=OD，利用勾股定理求出AD=4，即得OC的长，再利用勾股定理求出OD，根据BD=2OD即可求解.
12．如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字型”水管的进水口流入，在三处装有过滤网，该杂质经过 处过滤网的可能性最大．
【答案】B
【解析】【解答】如图， 一粒杂质从进水口流入，从A流出有1种可能，从B流出有2种可能，从C流出有1种可能，可得共有1+2+1=4种等可能性，
∴从A经过的概率为，从B经过的概率为，从A经过的概率为，
∵＞，
∴从B处经过的滤网可能性最大.
故答案为：B.
【分析】列举出所有等可能情况及从A、B、C处分别流出的情况数，再利用概率公式求出概率，然后比较即可.
13．已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴（x-y）2=-4xy，
∴（x+y）2=0，
∴x=-y，
∴
=.
故答案为：.
【分析】首先根据已知条件得出（x-y）2=-4xy，然后进一步得到（x+y）2=0，即可得出x=-y，最后代入中，即可求得代数式的值。
14．化简： .
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
15．如图，四边形 是矩形，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，把矩形 沿 折叠.点A落在点D处，则点D的坐标是 .
【答案】
【解析】【解答】解：过D 作DE⊥x轴于E ，如图所示：
四边形ABCO是矩形，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，
，
把矩形ABCO 沿OB折叠，
，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，则根据勾股定理 得 ，解得 ，
，代值解得 ，
在 中， ，则根据勾股定理得 ，
在第二象限，
，
故答案为： .
【分析】过D作DE⊥x轴于E，由矩形和折叠性质得OA=BC，AB=OC，∠FDO=90°，OD=OA，结合已知用角角边可证△DFO≌△CFB，则FD=FC，设FD=FC=x，则FO=OC-FC可用含x的代数式表示出来，在Rt△DFO中，用勾股定理可得关于x的方程，解之求得x的值；根据S△DFO=DF×DO=FO×OE可求得OE的值；在Rt△DEO中，用勾股定理求得DE的值，再根据点D在第二象限可求解.
16．当 时，分式的值为0．
【答案】1
【解析】【解答】解：当x=1时，x-1=0，且x+1=2≠0，
∴分式的值为0.
故答案为：1.
【分析】分式的值等于0的条件是，分子等于0，且分母不等于0，依此解答即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知x＝ + ，y＝ ﹣ ，求：
（1） 的值；
（2）） + 的值．
【答案】（1）解： ，
，
；
（2）解： ，
，
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再将x、y的值直接代入计算即可；
（2）先利用分式加法化简，再利用完全平方公式化简，最后将x、y的值代入计算即可。
18．已知：如图，在 ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AN为 ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）猜想当AD、BC满足怎样的数量关系时，四边形ADCE是正方形，并说明理由．
【答案】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝ ×180°＝90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：当AD＝ BC时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝ BC，
∴AD＝ BC，
∴AD＝CD，
∴矩形ADCE是正方形．
【解析】【分析】（1）根据矩形的概念有三个角是直角的四边形是矩形，已知AD⊥BC，CE⊥AN，求证出∠DAE的度数，可证明出四边形ADCE为矩形；
（2）根据正方形的判定，可假设当AD＝ BC，由已知可得，CD＝ BC，由（1）得结论可知四边形ADCE为矩形，即可得证四边形ADCE是一个正方形．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EBD，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
（2）四边形ADCF是菱形，
理由如下：∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
又∵BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCF是菱形．
【解析】【分析】（1）利用三角形中线的性质可以得到BD＝CD，AE＝ED，利用平行线的性质可以得到∠AFE＝∠EBD，最后利用“AAS”证明△AEF≌△DEB即可；
（2）利用全等三角形的性质可以得到AF=BD=CD，可证明四边形ADCF时平行四边形，由直角三角形的性质可得AD=CD，可证明四边形ADCF时菱形。
20．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小明家去年12月份的水费是50元，而今年6月份的水费则是72元．已知小明家今年6月份的用水量比去年12月份的用水量多了5m3．
（1）求今年居民用水的价格；
（2）随着夏季高温到来，小明家7月份用水量至少比6月份增加20%．若小明家计划将7月份的水费控制在100元以内，则按计划小明家7月份最多可用水多少立方米？（结果精确到1m3）
【答案】（1）解：设去年12月份居民用水的价格为x元/m3，则今年居民用水的价格为（1+20%）x元/m3，
依题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴（1+20%）x＝（1+20%）×2＝2.4（元/m3）．
答：今年居民用水的价格为2.4元/m3．
（2）解：设小明家7月份可用水m立方米，
依题意得： ，
解得：36≤m＜41 ．
∵m为整数，
∴m可以取的最大值为41．
答：按计划小明家7月份最多可用水41立方米．
【解析】【分析】（1）设去年12月份居民用水的价格为x元/m3，则今年居民用水的价格为（1+20%）x元/m3，利用“数量=总价÷单价”结合小明家今年6月份的用水量比去年12月份的用水量多了5m3，即可得到分式方程，解之并检验后即可得到结论；
（2）设小明家7月份可用水m立方米，根据“7月份用水量至少比6月份增加20%．若小明家计划将7月份的水费控制在100元以内”列出一元一次不等式组求解即可。
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是边AB上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，点B的对应点为B'．
（1）若点B'刚好落在对角线AC上时，AB'＝ ；
（2）若点B'刚好落在线段CD的垂直平分线上，且在矩形内部时，求BE的长．
【答案】（1）2
（2）解：如图2：若点B'刚好落在线段CD的垂直平分线上，且在矩形内部时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AB//CD，
∵MN是D的垂直平分线，交D于M，交AB于N，
∴MN垂直平分AB，CM＝ CD＝2，
∴BN＝ AB＝2，
由折叠的性质得：B'E＝BE，CB'＝CB＝3，
∴MB'＝ ＝ ＝ ，
∴B'N＝3﹣ ，
设B'E＝BE＝x，则EN＝2﹣x，
在Rt△B'EN中，由勾股定理得：（3﹣ ）2+（2﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，
∴BE＝ ．
【解析】【解答】解：（1）如图1：若点B'刚好落在对角线AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝5，
由折叠的性质得：CB'＝CB＝3，
∴AB'＝AC﹣CB'＝5﹣3＝2，
故填2；
【分析】（1）由勾股定理求出AC=5，再由折叠的性质得出CB'＝CB＝3，即可求解；
（2）由折叠的性质得出B'E＝BE，CB'＝CB＝3，再由勾股定理得出MB'＝ ＝ ＝ ，B'N＝3﹣ ，设B'E＝BE＝x，则EN＝2﹣x，在Rt△B'EN中，由勾股定理得出方程，解方程即可。
22．如图，点A (m，1)和点B在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，过点B作BD∥x轴交直线AC于点D，CD=3AC。
（1）若AD=BD，求k的值。
（2）连结OB，若四边形OBDC的面积为6，求点B的坐标。
【答案】（1）解：∵A(m，1)，AC∥y轴．
∴AC=1，CD=3AC=3
AD=CD-AC=2
∴D (m，3)，
∵BD∥x轴，点A， B在函数y= (k>0，x>0) 的图象上，
∴B( ， 3)
∴BD=AD=m- = =2
∴m= 3
∴k=m=3
（2）解：延长DB交y轴于点E，∵B( ， 3)，
∴易知S四边形 OBDC = S矩形OCDE-S△OBE =OC·CD- BE·OE =3m- m= 6
∴m=
∴B( ，3)
【解析】【分析】（1）由题意可得 D (m，3)，B（，3），然后根据BD=AD就可得到m的值，进而得到k的值；
（2）延长DB交y轴于点E，则S四边形OBDC= S矩形OCDE-S△OBE =3m-m=6，求解可得m的值，进而得到点B的坐标.
23．如图，在正方形 中， 是对角线 上一点， 于点 ，交 ， 于点 .
（1）求证： .
（2）若 CH， ，求 的长.
【答案】（1）证明： 四边形 为正方形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
垂直平分 ，
（2）解：设 ，则 ，
四边形 为正方形，
， ，
在 中，由勾股定理得，
，
即 ，
解得： 或 （舍去），
故 .
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠FAE=∠HAE，然后证明△FEA≌△HEA，得到FE=EH，最后根据线段垂直平分线的性质进行证明即可；
（2）设AH=x，则CH=3x，HB=4-x，在Rt△CBH中，应用勾股定理可得x的值.
24．如图，已知在 中， ， 为边 延长线上一定点.
（1）用直尺和圆规在边 的延长线上求作一点 ，使得 ，并连接 、 ，（不写做法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，若 ，猜想四边形 是哪种特殊的四边形 并证明你的猜想.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
∵ ，
∴AB∥MN，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴AB=MN，
∴四边形 是平行四边形.
【解析】【分析】（1）利用尺规基本作图，作 ，即可；（2）先证明AB∥MN，再证明 ，可得AB=MN，进而即可得到结论.
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，AB＝8，AC＝6，求BF的长.
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在和中
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC；
（2）解：如图，连接DF交AC于点O，过点F作FH⊥AB，交BA的延长线于H，
∵AF∥BC，AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB⊥AC，AD是中线，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴AC⊥DF，AO＝CO＝3，OF＝OD＝DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形AFDB是平行四边形，
∴DF＝AB＝8，
∴OF＝OD＝4，
∵FH⊥AB，AB⊥AC，AC⊥DF，
∴四边形AOFH是矩形，
∴AH＝FO＝4，AO＝FH＝3，
∴，
∵FH⊥AB，
∴三角形FHB是直角三角形，
∴在中，根据勾股定理，
.
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，从而求出AF=DC即可；
（2）先证明四边形ADCF是菱形，得出AC⊥DF，再证明四边形AOFH是矩形，可得AH=FO=4，AO=FH=3，在Rt△FHB中，利用勾股定理求BF长即可.
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